采用絕對值反饋的混沌系統(tǒng)投影同步的電路實(shí)現(xiàn)

黃苗玉，閔富紅，王恩榮（南京師范大學(xué)電氣與自動化工程學(xué)院，江蘇南京210042）

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采用絕對值反饋的混沌系統(tǒng)投影同步的電路實(shí)現(xiàn)

黃苗玉，閔富紅，王恩榮
（南京師范大學(xué)電氣與自動化工程學(xué)院，江蘇南京210042）

摘要：針對變形蔡氏電路的全狀態(tài)混合投影同步（FSHPS）問題，提出一種非線性反饋同步控制方案.在響應(yīng)系統(tǒng)中引入關(guān)于狀態(tài)變量的絕對值函數(shù)進(jìn)行反饋控制，實(shí)現(xiàn)全部狀態(tài)變量在比例因子相同和相異情況下的投影同步.利用Multisim軟件設(shè)計(jì)模塊化的同步電路，數(shù)值仿真和硬件實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：文中的全狀態(tài)混合投影同步方案具有有效性和可行性.

關(guān)鍵詞：全狀態(tài)混合投影同步；蔡氏電路；反饋控制；非線性；絕對值函數(shù)

混沌同步在保密通信、生物工程、信息科學(xué)等領(lǐng)域表現(xiàn)出巨大的應(yīng)用潛力，已成為非線性科學(xué)領(lǐng)域中的熱點(diǎn)課題之一［1－3］.自1990年P(guān)ecora等［4］首次在電子線路中實(shí)現(xiàn)混沌同步研究后，混沌同步已發(fā)展出完全同步、反同步、廣義同步和投影同步等多種方式［5－9］.近年，Hu等［10］將投影同步推廣到全狀態(tài)混合投影同步，即對于維數(shù)相同的混沌系統(tǒng)，其對應(yīng)狀態(tài)變量之間擁有獨(dú)立的比例因子.由于比例因子可以任意組合，因而全狀態(tài)混合投影同步囊括了完全、反相和混合同步等多種同步方式.這種特殊的同步現(xiàn)象在實(shí)現(xiàn)數(shù)字保密通信的安全快速傳輸方面有著重要的應(yīng)用前景，并初步取得了一些研究成果［11－14］.Giuseppe等［13］在驅(qū)動系統(tǒng)中引入一個(gè)標(biāo)量同步信號作為新的驅(qū)動系統(tǒng)，再設(shè)計(jì)控制器以實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)的全狀態(tài)混合投影同步.薛懷慶等［14］基于反饋控制原理，提出一種不需要進(jìn)行李雅普諾夫穩(wěn)定性證明的同步控制器，實(shí)現(xiàn)了混沌系統(tǒng)的全狀態(tài)投影同步.但上述方法僅從理論分析和數(shù)值仿真角度進(jìn)行研究，設(shè)計(jì)的控制器較為復(fù)雜，不易進(jìn)行電路實(shí)現(xiàn).本文基于非線性反饋控制理論，提出一種利用絕對值函數(shù)進(jìn)行反饋控制的同步方案.

1　問題描述與系統(tǒng)模型

考慮兩個(gè)非線性混沌系統(tǒng)，即

式（1），（2）中：x＝（x1，x2，…，xn）∈Rn，y＝（y1，y2，…，yn）∈Rn分別為驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量；u為待設(shè)計(jì)的控制器.如果存在一個(gè)非零常數(shù)矩陣α＝diag（α1，α2，…，αn）∈Rn×n使兩系統(tǒng)狀態(tài)向量的投影誤差系統(tǒng)滿足

則該驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)之間是全狀態(tài)混合投影同步.

蔡氏電路是目前眾多混沌電路中最具代表性的一種，其典型的電路結(jié)構(gòu)已成為理論和實(shí)驗(yàn)研究混沌的一個(gè)范例.用函數(shù)x｜x｜代替蔡氏電路中分段函數(shù)可得非光滑變形蔡氏電路［15］，其數(shù)學(xué)模型為

式（4）中：g（x）＝ax＋bx｜x｜，a，b為參數(shù)變量；x，y，z為狀態(tài)變量；α，β為系統(tǒng)參數(shù).當(dāng)α＝10，a＝－1/6，b＝1/16時(shí)，參數(shù)β的變化對系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)的影響，如圖1所示.圖1中：x為狀態(tài)變量.由圖1可知：當(dāng)β∈［15.935，15.945］∪［16.181，16.700］時(shí)，Lyapunov指數(shù)小于零，系統(tǒng)為周期狀態(tài)；當(dāng)β∈［15.800，15.935）∪（15.945，16.181）時(shí)，Lyapunov指數(shù)大于零，系統(tǒng)為混沌狀態(tài).

圖1　非光滑變形蔡氏電路系統(tǒng)隨參數(shù)β變化時(shí)動力學(xué)特性Fig.1　Dynamic characteristics of non－smooth modified Chua′s circuit system by varying parameterβ

2　全狀態(tài)混合投影同步

2.1 同步控制器的提出

以非光滑變形蔡氏電路為例，對其全狀態(tài)混合投影同步問題進(jìn)行研究.驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)為模型相同，初始值和系統(tǒng)參數(shù)均不相同的兩個(gè)系統(tǒng).設(shè)驅(qū)動系統(tǒng)為

響應(yīng)系統(tǒng)為

式（6）中：u1，u2，u3分別為加在對應(yīng)狀態(tài)變量上的非線性控制器.狀態(tài)誤差信號e1＝x2－p1x1，e2＝y(tǒng)2－p2y1，e3＝z2－p3z1.其中，p1，p2，p3為x，y，z的投影同步比例因子.根據(jù)式（5），（6），誤差系統(tǒng)為

如果沒有施加控制器，驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)在初始條件和參數(shù)取值不同的情況下，系統(tǒng)的運(yùn)動軌線將大相徑庭.如果設(shè)計(jì)合適的控制器對響應(yīng)系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)加以控制，當(dāng)時(shí)間趨于無窮時(shí)，可實(shí)現(xiàn)誤差e1，e2，e3收斂于零，與驅(qū)動系統(tǒng)同步.以往的控制器設(shè)計(jì)［11－14］采用消除誤差系統(tǒng)中的非線性項(xiàng)和反饋控制相結(jié)合的方法，結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜.文中提出一種結(jié)構(gòu)簡單新穎的非線性反饋控制器，其數(shù)學(xué)模型為

該控制器采用絕對值的形式零.因此，可以根據(jù)需要，選擇合適的比例因子p＝［p1，p2，p3］T與控制增益k＝［k1，k2，k3］T（k1，k2，k3大于0），可實(shí)現(xiàn)驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)同步的全狀態(tài)混合投影同步.

在數(shù)值仿真中，采用Runge－Kutta法求解式（5），（6），驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的初值分別為（0.6，0.6，0.6），（0.4，0.3，0.1），選取參數(shù)β1＝15.4，β2＝16.4，使兩個(gè)系統(tǒng)分別處于雙渦卷混沌狀態(tài)和雙周期狀態(tài).取比例因子p分別為［1/3，1/3，1/3］T，［1，1/2，1/3］T，對應(yīng)的控制增益k分別為［40，100，40］T，［50，200，50］T，其同步誤差曲線如圖2所示.由圖2可知：在絕對值控制器的作用下，誤差信號（e）隨時(shí)間（t）的增加快速趨于零，驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)到同步.

圖2　非光滑變形蔡氏電路同步誤差曲線Fig.2　Synchronization errors curve of non－smooth modified Chua′s circuit system

2.2 電路設(shè)計(jì)

基于混沌電路的模塊化設(shè)計(jì)方法［16］，對式（5），（6）進(jìn)行微分－積分轉(zhuǎn)換，并采用線性電阻、線性電容、運(yùn)算放大器（TL082CP）、乘法器（AD633JN，內(nèi)部增益為0.1）和二極管（IN5179）以實(shí)現(xiàn)非光滑變形蔡氏電路的同步，如圖3所示.其驅(qū)動電路的數(shù)學(xué)模型為

比較式（5）與式（9），可得各參數(shù)的表達(dá)式為

式（10）中：令α＝10，a＝1/6，b＝1/16，則Ri＝100kΩ（i＝1，2，3，4，7，8，9，11，15，16），Ri＝10kΩ（i＝5，6，10，12，13，17，18，19，20，22，23，26），R21＝5kΩ，R24＝16kΩ，R25＝60kΩ.

為了在實(shí)際示波器中觀測到混沌波形，需要提高混沌信號的頻率.因此，將C1，C2，C3的值統(tǒng)一縮小為原來的1/100，即由理論上的1μF置換成10nF.β的取值則由R14決定，R14采用100kΩ的可調(diào)電阻，改變R14的值可以得到混沌系統(tǒng)的不同運(yùn)動狀態(tài).

絕對值非線性反饋控制器的電路為虛線表示的中間部分（圖3），可調(diào)電阻R54，R64，R74分別用來調(diào)節(jié)p1，p2，p3的取值，可調(diào)電阻R62，R72，R82分別用來調(diào)節(jié)k1，k2，k3的取值，當(dāng)R53＝R55＝R63＝R65＝R73＝R75＝10kΩ時(shí)，有

實(shí)際電路中運(yùn)算放大器（TL082CP）的輸出限幅為±13.5V，若要在其線性工作區(qū)域?qū)崿F(xiàn)同步控制，則需要對比例因子的取值范圍進(jìn)行進(jìn)一步分析.由式（12）可知：R54/R56，R64/R66，R74/R76的范圍為［0，＋∞），當(dāng)其為0時(shí)，即R54，R64，R74取0，則p1＝p2＝p3＝2；當(dāng)其為＋∞時(shí)，即R56，R66，R76取0時(shí)，則p1＝p2＝p3無限趨近于0.因此，同步控制電路的比例因子取值范圍為（0，2］，不僅可以實(shí)現(xiàn)驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的完全同步，還可以在運(yùn)放的線性工作范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)對驅(qū)動系統(tǒng)狀態(tài)變量的合理縮小與放大.

圖3　同步電路原理圖Fig.3　Principle diagram of synchronization circuit

為了驗(yàn)證同步電路的有效性，在保持電路其他參數(shù)不變的情況下，將R14，R40調(diào)為66，61kΩ的阻值，電容初始值設(shè)為C1（0）＝0.6V，C4（0）＝0.4V，使驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)分別處于雙渦卷和雙周期兩種運(yùn)動狀態(tài).按照數(shù)值仿真將比例因子p分別設(shè)為［1/3，1/3，1/3］T，［1，1/2，1/3］T，對應(yīng)的比例因子調(diào)節(jié)電阻和反饋電阻的參數(shù)調(diào)節(jié)至R54＝R64＝R74＝50kΩ，R62＝R82＝25kΩ，R72＝1kΩ，以及R54＝10 kΩ，R64＝30kΩ，R74＝50kΩ，R62＝R82＝20kΩ，R72＝0.1kΩ，其同步曲線如圖4，5所示.由圖4，5可知：加入反饋控制器以后，響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量始終與驅(qū)動系統(tǒng)達(dá)到相位相同，幅值對應(yīng)成比例，即實(shí)現(xiàn)了兩個(gè)系統(tǒng)的全狀態(tài)投影同步.

圖4　p1＝p2＝p3＝1/3同步相圖Fig.4　Phase plane of synchronization with p1＝p2＝p3＝1/3

圖5　p1＝1，p2＝1/2，p3＝1/3同步時(shí)序圖Fig.5　Timing diagram of synchronization with p1＝1，p2＝1/2，p3＝1/3

2.3 電路實(shí)驗(yàn)結(jié)果

根據(jù)圖3進(jìn)行硬件電路實(shí)驗(yàn)，元件的取值均參照仿真電路中的設(shè)置，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6～8所示.響應(yīng)系統(tǒng)由周期軌道迅速轉(zhuǎn)變?yōu)殡p渦卷狀態(tài)的混沌運(yùn)動，幅值和相位都精確跟隨驅(qū)動系統(tǒng)，這與數(shù)值模擬與電路仿真結(jié)果相一致，驗(yàn)證了所提出的全狀態(tài)混合投影同步方案的有效性和可行性.

圖6　變形蔡氏電路運(yùn)動狀態(tài)Fig.6　Motion states of modified Chua′s circuit

圖7　p1＝p2＝p3＝1/3同步相圖Fig.7　Phase plane of synchronization with p1＝p2＝p3＝1/3

圖8　p1＝1，p2＝1/2，p3＝1/3同步時(shí)序圖Fig.8　Timing diagram of synchronization with p1＝1，p2＝1/2，p3＝1/3

3　結(jié)束語

針對非光滑的變形蔡氏電路，提出一種基于絕對值函數(shù)的同步控制方案.設(shè)計(jì)并搭建驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的硬件電路，通過調(diào)節(jié)同步控制器的控制增益，可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)全狀態(tài)變量在任意比例因子下的投影同步.雖然只是對變形蔡氏電路進(jìn)行研究，但由于所設(shè)計(jì)的同步控制器無須已知驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的精確模型，可在不改變結(jié)構(gòu)的情況下適用于一般混沌系統(tǒng)的同結(jié)構(gòu)和異結(jié)構(gòu)的投影同步.設(shè)計(jì)的同步方案結(jié)構(gòu)簡單，易于工程實(shí)現(xiàn)，能夠從電路層面上對混沌的同步現(xiàn)象進(jìn)行直觀描述.考慮到電路系統(tǒng)易受外界干擾導(dǎo)致系統(tǒng)變化，而設(shè)計(jì)的控制器仍能使同步不受影響，具有較好的魯棒性.

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（責(zé)任編輯：錢筠 英文審校：楊建紅）

Chaotic Projective Synchronization Based on Absolute Feedback and Its Circuit Implementation

HUANG Miao－yu，MIN Fu－h(huán)ong，WANG En－rong
（School of Electical and Automation Engineering，Nangjing Normal University，Nangjing 210042，China）

Abstract：A synchronization method based on nonlinear feedback control is proposed for the full state hybrid projective synchronization（FSHPS）of modified Chua′s system.The absolute function of states variable are introduced into the response system to realize the project synchronization in the same and different scale factor.The modularized synchronization circuit is designed and realized using Multisim.Numerical simulation and circuit implementation show the effectiveness of the proposed scheme in the paper..

Keywords：full state hybrid projective synchronization；Chua′s circuit；feedback control；nolinear；absolute function

通信作者：閔富紅（1972－），女，副教授，博士，主要從事非線性系統(tǒng)混沌分析與控制的研究.E－mail：minfuhong＠njnu.edu.cn.

中圖分類號：TP 13

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1000－5013（2015）04－0437－06

doi：10.11830/ISSN.1000－5013.2015.04.0437

收稿日期：2014－09－23

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51075215，51475246）；江蘇省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（BK20131402）