考慮風(fēng)險(xiǎn)偏好的Stackelberg博弈模型及其在PPP項(xiàng)目中的數(shù)值求解

杜楊，豐景春.河海大學(xué)商學(xué)院，江蘇南京200；2.金陵科技學(xué)院建筑工程學(xué)院，江蘇南京269）

?

考慮風(fēng)險(xiǎn)偏好的Stackelberg博弈模型及其在PPP項(xiàng)目中的數(shù)值求解

杜楊1，2，豐景春1
1.河海大學(xué)商學(xué)院，江蘇南京211100；
2.金陵科技學(xué)院建筑工程學(xué)院，江蘇南京211169）

摘要：研究考慮風(fēng)險(xiǎn)偏好的Stackelberg博弈模型和均衡策略，針對(duì)公私合作制（PPP）項(xiàng)目補(bǔ)償決策問(wèn)題，根據(jù)前后補(bǔ)償?shù)奶攸c(diǎn)，建立相應(yīng)的補(bǔ)償策略數(shù)學(xué)模型.分別進(jìn)行集中決策和分散決策分析，得出PPP項(xiàng)目的最優(yōu)補(bǔ)償方案.通過(guò)數(shù)值分析比較和分析私人風(fēng)險(xiǎn)厭惡對(duì)于PPP補(bǔ)償機(jī)制的影響.研究表明：私人投資者風(fēng)險(xiǎn)厭惡會(huì)導(dǎo)致政府方補(bǔ)償成本增加，期望收益減少；私人投資者風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度會(huì)影響補(bǔ)償?shù)呐渲梅绞?，厭惡程度越低越傾向單一補(bǔ)償，厭惡程度越高越傾向混合補(bǔ)償.

關(guān)鍵詞：Stackelberg博弈模型；風(fēng)險(xiǎn)偏好；公私合作制項(xiàng)目；政府補(bǔ)償；決策分析

Stackelberg博弈模型的主要特點(diǎn)是針對(duì)主從決策問(wèn)題，即從決策者地位不同，將博弈雙方分成主動(dòng)方和從屬方.在公私合作制（public－private partnerships，PPP）項(xiàng)目中，兩大主體政府與私人投資者明顯地位不平等，而雙方的決策過(guò)程為政府確定投資方案，私人投資者進(jìn)行策略跟隨，完全適合采用Stackelberg博弈模型進(jìn)行分析.為了提高模型的實(shí)際適用性，博弈主體風(fēng)險(xiǎn)偏好等行為認(rèn)知因素不能忽略.而現(xiàn)有PPP項(xiàng)目補(bǔ)償研究中，要么將政府補(bǔ)償當(dāng)做實(shí)物期權(quán)［1－4］，要么專注于補(bǔ)償調(diào)節(jié)、補(bǔ)償政策等［5－10］，少數(shù)關(guān)注博弈互動(dòng)研究又忽視了主體認(rèn)知的影響［11］.因此，本文構(gòu)建考慮風(fēng)險(xiǎn)偏好的Stackelberg博弈模型，并結(jié)合PPP項(xiàng)目情境設(shè)定參數(shù)進(jìn)行求解分析.

1　基本博弈模型

考慮主體風(fēng)險(xiǎn)偏好差異的Stackelberg博弈模型為

式（1）中：π［f1（.）］，π［f2（.）］分別為主動(dòng)方和從屬方的收益函數(shù)；Ω為從屬方的保留效用；ξ為主動(dòng)方對(duì)從屬方的鼓勵(lì)或懲罰條件；g［π2（x，ξ）］為從屬方的效用函數(shù)；πa2［f1（x，ξ）］為效用函數(shù)g［π2（x，ξ）］的確定性等價(jià)收益.假定Arrow－Pratt絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)為ρ，則g［π2（x，ξ）］可表達(dá)為

πa2（x，ξ）可以通過(guò)下式求出，即

2　主要假設(shè)

假定項(xiàng)目需要的總投資為IP，其社會(huì)價(jià)值為V（IP），項(xiàng)目?jī)r(jià)值的系數(shù)為m，則V（IP）＝mIP，m＞0.PPP補(bǔ)償主要包括前補(bǔ)償（建設(shè)期）和后補(bǔ)償（運(yùn)營(yíng)期）.假定公益性部分占項(xiàng)目總投資額比例為∮（0＜∮＜1），T為特許經(jīng)營(yíng)期，則單期前補(bǔ)償為S＝∮IP.政府許諾給私人投資者R的基準(zhǔn)運(yùn)營(yíng)收益，表達(dá)為Re＝nIP，n＞1.其中：n為基準(zhǔn)運(yùn)營(yíng)收益率，可由資本資產(chǎn)定價(jià)模型（CAPM）進(jìn)行測(cè)算.后補(bǔ)償So由投資的實(shí)際收益與政府許諾的基準(zhǔn)收益的差值決定，則單期后補(bǔ)償為So＝θ（nIp－raIp）.其中：θ為運(yùn)營(yíng)期補(bǔ)償系數(shù)；r為基于項(xiàng)目投資額的實(shí)際運(yùn)營(yíng)收益率，其為隨機(jī)變量無(wú)法T∮a確定.假定ε為外界不確定因素決定的隨機(jī)擾動(dòng)量，ra為收益率的期望值，則Var（ε）＝σ2.

運(yùn)營(yíng)期維護(hù)成本為C（Ip），項(xiàng)目規(guī)模越大維護(hù)成本越大，且邊際成本遞增，則可設(shè)C（Ip）＝kIαP.其中：k，α為投資轉(zhuǎn)換為維護(hù)成本的參數(shù)，且k＞0，α＞1.

3　PPP博弈模型構(gòu)建

3.1 支付函數(shù)

根據(jù)以上假設(shè)，不考慮資金的時(shí)間價(jià)值，私人投資者P的單期支付函數(shù)為

公共資金有影子價(jià)格［12］，設(shè)影子價(jià)格系數(shù)為（1＋λ）S，且λ＞0，則政府G的單期支函數(shù)為式（5）中：V（IP）－Ra為項(xiàng)目消費(fèi)者剩余；π為生產(chǎn)者剩余；（1＋λ）S/T為政府支付的公共資金成本.TTP

3.2 Stackelberg博弈決策模型

政府方效用函數(shù)即為收益函數(shù)g（πG），而私人投資者需要考慮其風(fēng)險(xiǎn)偏好，其效用函數(shù)為p（πP）＝－exp（－ρπP）.（6）

式（6）中：ρ為絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù).易證，p′（πP）＞0，p″（πP）＜0.

由式（3），（6）和效用函數(shù)的遞增性易證，私人投資者最大化期望效用等價(jià)于最大化等價(jià)收益πAP，即

假定私人投資者的保留效用為ω，則其投資意愿需滿足參與約束條件，即

政府為風(fēng)險(xiǎn)中性，其期望效用函數(shù)與期望收益等價(jià)，即

4　博弈決策分析

4.1 集中決策博弈分析

集中決策是指在PPP項(xiàng)目中政府完全掌握主導(dǎo)權(quán)，占有更多信息，能夠代替私人投資者確定項(xiàng)目投資額以及補(bǔ)償方案，并達(dá)成社會(huì)效益最大化.

根據(jù)式（8），（9），并令

則集中補(bǔ)償決策模型可表達(dá)為

結(jié)合式（10），（11），（13），有

式（14）代入式（12），可得

當(dāng)式（15）一階條件等于0時(shí)，有最優(yōu)投資規(guī)模策略I＊P，可得

最優(yōu)單期補(bǔ)償為

其中，單期運(yùn)營(yíng)期望補(bǔ)償和單期建設(shè)期補(bǔ)償分別為

命題1 在集中決策時(shí)，項(xiàng)目存在最優(yōu)投資規(guī)模I＊P如式（16），并有最優(yōu)補(bǔ)償方案如式（17）.其中：最優(yōu)運(yùn)營(yíng)期補(bǔ)償如式（18）；最優(yōu)建設(shè)期補(bǔ)償如式（19）.

推論1 在集中決策模式下，PPP項(xiàng)目的最優(yōu)投資規(guī)模與項(xiàng)目的社會(huì)價(jià)值、運(yùn)營(yíng)收益期望值呈正相關(guān)，與公共資金成本、項(xiàng)目維護(hù)成本呈負(fù)相關(guān).PPP項(xiàng)目的最優(yōu)期望補(bǔ)償大小與建設(shè)期投資、維護(hù)成本、私人風(fēng)險(xiǎn)成本以及私人投資者風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度呈正相關(guān)關(guān)系，與期望運(yùn)營(yíng)收益呈負(fù)相關(guān).

由式（17）可知：當(dāng)S＊≠0時(shí)，綜上分析，可得推論2.

推論2 在集中決策模式下，當(dāng)PPP模式適用，即單期補(bǔ)償S＊不為0的前提下，單期補(bǔ)償S＊與期望運(yùn)營(yíng)收益、特許運(yùn)營(yíng)期呈負(fù)相關(guān)，與私人投資者保留效用、維護(hù)成本、建設(shè)投資呈正相關(guān).4.2 分散決策博弈分析

由于政府并不掌握私人投資者的全部信息，要想達(dá)到雙方利益協(xié)調(diào)，還必須從分散決策的角度做博弈分析.可以采用逆向歸納法求解，首先考慮私人投資者的策略選擇，其一階條件和二階條件為

分散決策第一階段下，私人投資者的最優(yōu)策略IP＊＊由下式給出

命題2 私人投資者存在最優(yōu)投資策略IP＊＊滿足式（22），且私人投資者的投資水平與建設(shè)期補(bǔ)償系數(shù)，項(xiàng)目特許運(yùn)營(yíng)期、運(yùn)營(yíng)期補(bǔ)償系數(shù)、基準(zhǔn)運(yùn)營(yíng)收益率、運(yùn)營(yíng)期實(shí)際收益率期望值、運(yùn)營(yíng)風(fēng)險(xiǎn)和私人投資者風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度等影響因素有關(guān).各影響因素之間的相關(guān)性，如表1所示.表1中：“0”表示不相關(guān)；“＋”表示正相關(guān)；“－”表示負(fù)相關(guān).

表1　私人投資者最優(yōu)策略各影響因素的相關(guān)性Tab.1　Correlation of influencing factors of private investor optimal strategy

4.3 政府博弈分析

分散決策的第二階段，政府掌握博弈主導(dǎo)權(quán)預(yù)測(cè)到私人投資的最優(yōu)投資策略I＊＊P，則政府的優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

將式24代回式23可得

令式（25）的一階條件等于0，可得

式（26）中：上標(biāo)＊＊＊表示政府在分散決策第二階段的最優(yōu)策略.易知，I＊＊＊P滿足式（22），即I＊＊＊P＝I＊＊P.分散決策下政府方最優(yōu)補(bǔ)償設(shè)計(jì)為

歸納上述分析可得命題3和推論3.

命題3 在分散決策下，私人投資者的最優(yōu)投資策略為IP＊＊滿足式（22），政府方通過(guò)提供參數(shù)為（θ＊＊，φ＊＊）的補(bǔ)償方案，可誘導(dǎo)出項(xiàng)目的最優(yōu)投資規(guī)模IP＊＊＊如式（26），θ＊＊，φ＊＊＊可分別由式（27），（28）給出.

推論3 補(bǔ)貼方案（θ＊＊＊，φ＊＊＊）可以使PPP項(xiàng)目私人投資者和政府的利益達(dá)到協(xié)調(diào)，在滿足私人投資者最優(yōu)策略的條件下，達(dá)到項(xiàng)目的最優(yōu)投資規(guī)模.此時(shí)，私人投資者的效用達(dá)到其自身的保留效用，（θ＊＊＊，φ＊＊＊）補(bǔ)貼方案下的社會(huì)最大凈效益也達(dá)到最大，形成有效補(bǔ)償機(jī)制.

5　數(shù)值分析

5.1 風(fēng)險(xiǎn)偏好對(duì)激勵(lì)效能和補(bǔ)償方式的影響

項(xiàng)目各參數(shù)賦值如下：m＝2.7；λ＝0.5；k＝0.1；α＝1.1；ra＝1.01；ω＝1×108.

根據(jù)式（27），（28），使用Mathematica 9.0軟件作數(shù)值分析結(jié)果，如圖1，2所示.圖1，2中：ρ為絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)；θ為運(yùn)營(yíng)期補(bǔ)償系數(shù).由圖1（a）可知：當(dāng)私人投資者風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度較低時(shí)，可以選擇采取完全后補(bǔ)償（運(yùn)營(yíng)期補(bǔ)償）方式（φ＝0）；但隨著私人投資者厭惡程度加深，必須提高建設(shè)期補(bǔ)償?shù)谋壤?

當(dāng)政府財(cái)政資金充足或項(xiàng)目預(yù)期收益不足時(shí)，只要私人投資者厭惡程度合適，政府有可能采取完全建設(shè)期補(bǔ)償?shù)姆绞秸T導(dǎo)出最優(yōu)投資規(guī)模.由圖2可知：隨著私人投資者厭惡程度的加深，前補(bǔ)償降低而后補(bǔ)償增加.

圖1　θ＞1時(shí)，ρ對(duì)θ和∮的影響Fig.1　Whenθ＞1，influence ofρchanges onθandφ

圖2　0≤θ＜1時(shí)，ρ對(duì)θ和∮的影響Fig.2　When 0≤θ＜1，influence ofρchanges onθandφ

5.2 私方風(fēng)險(xiǎn)偏好政府效用的影響

由于私人投資者的效用始終為ω，因此，只討論風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度對(duì)政府收益的影響.沿用節(jié)5.1其他賦值，令ρ1＝0，ρ2＝1，可分別得到風(fēng)險(xiǎn)厭惡和風(fēng)險(xiǎn)中性政府期望效益曲線，如圖3所示.圖3中：πG為政府期望收益；i為投資規(guī)模.

圖3　私人投資者風(fēng)險(xiǎn)中性和風(fēng)險(xiǎn)厭惡假設(shè)下的政府收益曲線Fig.3　Curves of government utility in risk－neutral and risk－aversion respectively

由圖3（a），（b）可知：在設(shè)定的參數(shù)下，考慮私方風(fēng)險(xiǎn)厭惡在最優(yōu)投資規(guī)模處的政府期望收益要小于風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)下的政府期望收益.當(dāng)私人投資者保留效用很大或期望運(yùn)營(yíng)收益很小時(shí)，可能造成無(wú)論給出何種補(bǔ)償方案都無(wú)法避免政府效用出現(xiàn)負(fù)值的情況，此時(shí)，PPP模式就不再適用.

6　結(jié)束語(yǔ)

在考慮公私雙方風(fēng)險(xiǎn)偏好差異的基礎(chǔ)上，針對(duì)PPP項(xiàng)目補(bǔ)償問(wèn)題，構(gòu)建公私雙方的Stackelberg博弈模型，探討了協(xié)調(diào)公私利益的有效機(jī)制，并得出了補(bǔ)償方案的最優(yōu)形式，通過(guò)數(shù)值分析研究了私人風(fēng)險(xiǎn)厭惡對(duì)社會(huì)凈效益和補(bǔ)償方式的影響.結(jié)果表明：考慮私人風(fēng)險(xiǎn)厭惡會(huì)導(dǎo)致政府期望效用小于風(fēng)險(xiǎn)中性情形；私人投資者風(fēng)險(xiǎn)厭惡的變化會(huì)影響補(bǔ)償?shù)淖顑?yōu)配置方式.當(dāng)運(yùn)營(yíng)補(bǔ)償優(yōu)先（θ＞1）時(shí)，私人風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度的增加會(huì)降低運(yùn)營(yíng)補(bǔ)償?shù)谋壤?，提高建設(shè)期補(bǔ)償?shù)谋壤?；相反，私人風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度的增加會(huì)加大最優(yōu)補(bǔ)償方案中運(yùn)營(yíng)補(bǔ)償?shù)谋壤瑴p少建設(shè)期補(bǔ)償?shù)谋壤?

參考文獻(xiàn)：

［1］MASON S P，BALDWIN C Y.Evaluation of government subsidies to large－scale energy projects：A contingent claims approach［J］.Advances in Futures and Options Research，1988，33（1）：169－181.

［2］HO S P，LIU L Y.An option pricing－based model for evaluating the financial viability of privatized infrastructure projects［J］.Construction Management and Economics，2002，20（2）：143－156.

［3］李明順，陳濤，滕敏.交通基礎(chǔ)設(shè)施PPP項(xiàng)目實(shí)物期權(quán)定價(jià)及敏感性分析［J］.系統(tǒng)工程，2011，29（3）：67－73.

［4］郭健.公路基礎(chǔ)設(shè)施PPP項(xiàng)目交通量風(fēng)險(xiǎn)分擔(dān)策略研究［J］.管理評(píng)論，2013，25（7）：11－19，37.

［5］CHEAH C，LIU Ji－cai.Valuing governmental support in infrastructure projects as real options using Monte Carlo simulation［J］.Construction Management and Economics，2006，24（5）：545－554.

［6］JUN J.Appraisal of combined agreements in BOT project finance：Focused on minimum revenue guarantee and revenue capagreements［J］.International Journal of Strategic Property Management，2010，14（2）：139－155.

［7］WIBOWO A.Valuing guarantees in a BOT infrastructure project［J］.Engineering，Construction and Architectural Management，2004，11（6）：395－403.

［8］FEARNLEY N，BEKKEN J T，NORHEIM B.Optimal performance－based subsidies in Norwegian intercity rail transport［J］.International Journal of Transport Management，2004，2（1）：29－38.

［9］鄧小鵬，熊偉，袁競(jìng)峰，等.基于各方滿意的PPP項(xiàng)目動(dòng)態(tài)調(diào)價(jià)與補(bǔ)貼模型及實(shí)證研究［J］.東南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，39（6）：1252－1257.

［10］CHOWDHRURY A N，CHAROENNGAM C.Factors influencing finance on PPP projects in Asia：A legal framework to reach the goal［J］.International Journal of Project Management，2009，27（1）：51－58.

［11］吳孝靈，周晶，彭以忱，等.基于公私博弈的PPP項(xiàng)目政府補(bǔ)償機(jī)制研究［J］.中國(guó)管理科學(xué)，2013，21（增刊1）：198－204.

［12］劉明.中國(guó)公共資金邊際成本估量與分析［J］.財(cái)經(jīng)論叢，2009（6）：31－38.

（責(zé)任編輯：黃曉楠 英文審校：黃心中）

Stackelberg Game Model with Risk Preference and Numerical Solving in the PPP Project Problem

DU Yang1，2，F(xiàn)ENG Jing－chun1
（1.Business School，Hehai University，Nanjing 211100，China；
2.Architectural Engineering Institute，Jinling Institute of Technology，Nanjing 210098，China）

Abstract：Based on the game theory and risk preference，the Stackelberg game model and equilibrium strategy are established on decision－making problem for government compensation in public－private partnerships（PPP）project.After centralization and decentralization decision analysis，the optimal plan is obtained.Research results show that the compensation cost and the optimal scale of investment considering the risk preference are more than the risk－neutral hypothesis and the effects on the government′s expected revenue are contrary.The research results also show the degree of the private′s risk－aversion will affect the configuration mode of the government compensation.

Keywords：stackelberg game model；risk preference；public－private partnerships project；government compensation；decision analysis

通信作者：豐景春（1963－），男，教授，博士，主要從事工程管理和項(xiàng)目管理及其信息化方面的研究.E－mail：feng.jingchun＠163.com.

中圖分類號(hào)：C 931；O 29

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1000－5013（2015）04－0472－06

doi：10.11830/ISSN.1000－5013.2015.04.0472

收稿日期：2015－06－16

基金項(xiàng)目：國(guó)家社科基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目（14AZD024）；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目（2014B09014）；中國(guó)博士后科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2014M551498）