機(jī)動(dòng)飛行器多終端約束反演滑模末端導(dǎo)引方法

洪功名，陳萬春

(北京航空航天大學(xué) 宇航學(xué)院，北京100191)

0 引言

機(jī)動(dòng)飛行器在攻擊目標(biāo)時(shí)，不但需要考慮減小脫靶量，而且某些特殊的戰(zhàn)斗部期望以一定的角度命中目標(biāo)，從而獲得更好的毀傷效果。如某些再入機(jī)動(dòng)彈頭在其末制導(dǎo)段，需要飛行的速度方向基本與地面垂直，這樣可以使得末制導(dǎo)系統(tǒng)正常工作。另外，彈頭為獲得最大的侵徹深度，需要最終以一定碰撞角命中目標(biāo)。因此，終端角度的控制已成為精確打擊武器的一項(xiàng)重要性能。

文獻(xiàn)［1］在1973年首先給出一種帶落角約束形式的末制導(dǎo)律。經(jīng)過多年的發(fā)展，國(guó)內(nèi)外對(duì)有關(guān)帶角度約束的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)已經(jīng)有許多比較成熟的研究，部分成果已經(jīng)在實(shí)際中開始應(yīng)用。在設(shè)計(jì)帶角度約束的制導(dǎo)律時(shí)，常用的設(shè)計(jì)思想是基于比例導(dǎo)引律并附加偏置項(xiàng)［2］、基于最優(yōu)控制理論［3］，或基于變結(jié)構(gòu)控制。

變結(jié)構(gòu)控制中的反演設(shè)計(jì)(Backstepping)［4］是將Lyapunov函數(shù)的選取與控制器的設(shè)計(jì)相結(jié)合的一種回歸設(shè)計(jì)方法。它通過從系統(tǒng)最低階次微分方程開始，逐層鎮(zhèn)定設(shè)計(jì)最終達(dá)到全局鎮(zhèn)定，從而給出整個(gè)系統(tǒng)的控制律。滑模變結(jié)構(gòu)控制對(duì)參數(shù)不確定性和外界干擾具有較強(qiáng)的魯棒性，國(guó)內(nèi)外近些年來將反演滑模設(shè)計(jì)方法運(yùn)用到帶角度約束的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)上也取得了一些進(jìn)展。賈慶忠等［5］運(yùn)用反演遞推設(shè)計(jì)方法，得到適用于僅有角度測(cè)量的航空侵徹炸彈的帶末端落角約束的制導(dǎo)律。文獻(xiàn)［6］運(yùn)用反演設(shè)計(jì)方法，通過設(shè)計(jì)合適的Lyapunov函數(shù)，給出能滿足終端角度約束的巡航導(dǎo)彈和可重復(fù)使用飛行器RLV著陸段的末制導(dǎo)律，不同初始條件以及氣動(dòng)條件下的仿真結(jié)果顯示，該制導(dǎo)律具有很好的制導(dǎo)精度以及一定的魯棒性。但是這些都沒有考慮終端法向過載約束，仿真結(jié)果顯示末端可能出現(xiàn)較大的法向加速度，在環(huán)境及相關(guān)參數(shù)不確定性情況下容易出現(xiàn)明顯的脫靶量。

許多文獻(xiàn)在求解帶角度約束末制導(dǎo)律時(shí)，依賴對(duì)運(yùn)動(dòng)方程的線性化，得出解析形式的制導(dǎo)律。當(dāng)需要考慮的終端約束較多時(shí)，制導(dǎo)律的結(jié)果較為復(fù)雜。眾所周知，高階滑模的滑動(dòng)變量及其一定階導(dǎo)數(shù)具有在有限時(shí)間內(nèi)收斂的特點(diǎn)，本文利用反演滑模設(shè)計(jì)方法，不依賴運(yùn)動(dòng)方程的線性化，通過設(shè)計(jì)合適的滑動(dòng)面，使滑動(dòng)變量及其各階導(dǎo)數(shù)漸進(jìn)收斂于零來逐階滿足各個(gè)終端約束，最終給出整個(gè)系統(tǒng)的制導(dǎo)方法。在推導(dǎo)末制導(dǎo)律時(shí)考慮了終端法向過載約束，仿真結(jié)果顯示飛行器在接近目標(biāo)時(shí)法向加速度很小，這樣可以近似保證彈頭在彈體軸方向與速度方向近似重合的情況下命中目標(biāo)，從而提高彈頭的作戰(zhàn)效能。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 機(jī)動(dòng)飛行器末制導(dǎo)段數(shù)學(xué)模型

為了簡(jiǎn)化問題，以固定目標(biāo)和飛行器質(zhì)心為基準(zhǔn)，將飛行器運(yùn)動(dòng)分解為俯仰平面和轉(zhuǎn)彎平面［3］。研究飛行器在質(zhì)心M、目標(biāo)T和地心所確定的俯仰平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。將飛行器和目標(biāo)都看作質(zhì)點(diǎn)，彈-目關(guān)系示意圖如圖1所示。

圖1 彈-目關(guān)系示意圖Fig.1 Geometry of vehicle-target positions

圖中:T為目標(biāo)的位置;xB為彈體軸;H為高度;x為縱向射程;LOS為視線;λ為視線角;V為飛行器的速度;γ為彈道傾角，以速度方向繞水平方向逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正;α為迎角，以彈體軸方向繞速度方向逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正;θ為俯仰角，以彈體軸方向繞水平方向逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正;am為法向加速度。運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為:

式中:D為阻力;m為質(zhì)量;g為重力加速度;L為升力。

1.2 終端約束

為提高彈頭的作戰(zhàn)效能，一般要求機(jī)動(dòng)飛行器能以一定落角或彈道傾角命中目標(biāo)，即終端彈道傾角要求滿足約束γend=γF，γF為需求的終端彈道傾角。除此之外，終端法向過載較大，容易在環(huán)境及相關(guān)參數(shù)不確定性下出現(xiàn)較明顯的脫靶量。另一個(gè)需要考慮的終端約束是法向加速度，即am，end=0。彈頭一般為軸對(duì)稱，終端法向加速度為零，可以使得迎角較小，由于θ≈α+γ，這樣彈頭(即彈體軸)能夠近似與速度方向一致。

1.3 反演設(shè)計(jì)

對(duì)于一個(gè)高階系統(tǒng)，其n－1階導(dǎo)數(shù)已知，并有:

設(shè)計(jì)高階滑模變結(jié)構(gòu)控制u，使得f(x)及其n－1階導(dǎo)數(shù):

在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)。可以運(yùn)用如下反演設(shè)計(jì)方法［4］，在此考慮最常用的二階系統(tǒng)，有:

令滑動(dòng)面為:

可設(shè)候補(bǔ)Lyapunov函數(shù)為:

求導(dǎo)得:

為保證滑動(dòng)面s1在有限的時(shí)間內(nèi)趨近于零，必須選擇合適的使得負(fù)定。文獻(xiàn)［6］給出一種的選擇方法:

式中:n為大于1的正常系數(shù);tr為趨近零的時(shí)刻。這樣選擇可以保證滑動(dòng)面s1在tr時(shí)刻趨近零，在運(yùn)用制導(dǎo)律時(shí)可將tr－t用剩余飛行時(shí)間Tgo代替。

由于系統(tǒng)相對(duì)階為2，再設(shè)滑動(dòng)面

考慮候補(bǔ)Lyapunov函數(shù)

求導(dǎo)得:

在此，可令趨近律為:

式中:η，K為正數(shù)，其大小影響收斂速度。對(duì)s2求導(dǎo)得:

式中出現(xiàn)了控制項(xiàng)，聯(lián)立式(12)和式(13)，可得控制u表達(dá)式為:

為削弱符號(hào)函數(shù)引起的顫振，最常用的方法是用飽和函數(shù)sat(s)［4］代替理想滑動(dòng)模態(tài)中的符號(hào)函數(shù)sign(s)。

2 設(shè)計(jì)末制導(dǎo)律

末制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)分為俯仰平面和轉(zhuǎn)彎平面，轉(zhuǎn)彎平面的最優(yōu)制導(dǎo)律為比例導(dǎo)引律［3］，不需要再設(shè)計(jì)，所以本文只設(shè)計(jì)俯仰平面內(nèi)的制導(dǎo)律。

需要考慮的終端約束有彈道傾角和法向加速度約束，而飛行器最終需要命中目標(biāo)，加上射程約束，共有3個(gè)約束。因此，末制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)是一個(gè)三階滑?？刂茊栴}，關(guān)鍵是滑動(dòng)面f(x)的選取。

第一個(gè)約束是射程，f→0可以保證飛行器命中目標(biāo)。而位移的一階導(dǎo)數(shù)為速度，考慮到飛行器的縱向速度與彈道傾角直接相關(guān)，因此設(shè)計(jì)第二個(gè)約束為縱向速度，f'→0可以保證終端彈道傾角滿足約束要求;位移的二階導(dǎo)數(shù)為加速度，射程的二階導(dǎo)數(shù)即彈道傾角的一階導(dǎo)數(shù)為法向加速度，f″→0可以保證終端法向加速度滿足約束要求。另外，垂直方向上命中目標(biāo)是由剩余飛行時(shí)間趨向于零來保證的。有了以上的分析，構(gòu)造滑動(dòng)面如下:

式中:T為目標(biāo)位置;x為當(dāng)前飛行器縱向位置;V為速度;γF為終端約束要求的最終彈道傾角。s→0可以使得最終脫靶量為零，滿足射程要求，從而命中目標(biāo)。假設(shè)速度項(xiàng)不變(實(shí)際中變化較小)，對(duì)式(15)求導(dǎo)可得:

式中:am為法向加速度。由于大落角再入時(shí)sinγ不為零，因此s¨→0可以保證最終的法向加速度為零，從而間接使得最終的迎角很小。在此可以將飛行控制系統(tǒng)用一階延遲環(huán)節(jié)表示，指令加速度與實(shí)際加速度之間有如下關(guān)系:

式中:Tα為飛行控制系統(tǒng)時(shí)間常數(shù);acmd為指令加速度。繼續(xù)對(duì)式(18)求導(dǎo)可得:

式中出現(xiàn)了控制項(xiàng)指令加速度u(acmd)，因此根據(jù)反演設(shè)計(jì)方法，可求得控制u(acmd)為:

其中:

根據(jù)上述制導(dǎo)律得出指令加速度u(acmd)后，即可求得相應(yīng)的指令迎角αcmd。

3 制導(dǎo)方案

典型再入機(jī)動(dòng)飛行器，如美國(guó)的潘興-2導(dǎo)彈［7］的機(jī)動(dòng)彈頭，當(dāng)彈頭到達(dá)目標(biāo)區(qū)上空45 km左右高度，開始將彈道拉起?？紤]到熱防護(hù)，彈頭在這一階段近似保持最大迎角飛行。彈道拉起后有一段近似平飛段，在慣性制導(dǎo)系統(tǒng)控制下進(jìn)行減速控制。最后進(jìn)行下拉導(dǎo)引控制，控制彈道傾角滿足相關(guān)約束，同時(shí)命中目標(biāo)。根據(jù)再入機(jī)動(dòng)彈頭彈道的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)如下制導(dǎo)方案:

(1)彈道拉起段

此段由空氣舵產(chǎn)生彈頭最大的可用迎角。轉(zhuǎn)彎平面內(nèi)利用的比例導(dǎo)引律產(chǎn)生側(cè)滑角指令控制彈頭方向近似指向目標(biāo)，這樣可以使得彈頭在飛行到下拉導(dǎo)引段時(shí)，近似為俯仰平面的控制。

(2)平飛減速段

此段彈頭可以進(jìn)行減速控制，如錐形減速。即彈頭用于控制彈道傾角的配平迎角為零，并以一定的總迎角繞彈頭速度方向以一定的角速率旋轉(zhuǎn)。

(3)下拉導(dǎo)引段

此段彈頭俯仰平面內(nèi)控制由本文給出的末制導(dǎo)律來控制，轉(zhuǎn)彎平面內(nèi)由比例導(dǎo)引律控制。這樣可以使得彈頭準(zhǔn)確命中目標(biāo)，同時(shí)滿足各終端角度約束。

4 仿真結(jié)果及分析

再入機(jī)動(dòng)彈頭再入初始點(diǎn)運(yùn)動(dòng)參數(shù)為:速度V0=2 000 m/s，彈道傾角 γ0= － 45 °，高度 H0=45 km。終端約束為:目標(biāo)位置x=70 km，終端法向過載約束 am，end=0。另外，最大迎角約束 αmax=25°，最大側(cè)滑角βmax=15°。分別考慮終端彈道傾角約束 γF= －90°，－80°，－70°，－60°的情況，仿真結(jié)果如圖2～圖4所示。

圖2 彈道曲線Fig.2 Trajectory profile

圖2 為射程高度曲線，可以看出不同終端彈道傾角約束下，本文制導(dǎo)方法都能導(dǎo)引彈頭準(zhǔn)確命中目標(biāo)，機(jī)動(dòng)彈道明顯的特點(diǎn)為先拉起，近似平飛，最后下拉以一定角度命中目標(biāo)。

圖3 彈道傾角曲線Fig.3 Flight path angle profile

圖4 法向過載曲線Fig.4 Normal overload profile

圖3 為相應(yīng)的彈道傾角曲線，仿真結(jié)果顯示彈道傾角最終都能滿足約束要求。圖4為相應(yīng)的法向過載曲線，顯示本文方法最終法向過載非常小，理想情況下的仿真結(jié)果終端法向過載小于0.02。

圖5給出了終端傾角約束為－90°情況下，末制導(dǎo)段的滑動(dòng)變量及其一、二階導(dǎo)數(shù)隨時(shí)間變化情況。可以看出，滑動(dòng)變量及其一、二階導(dǎo)數(shù)都能漸進(jìn)收斂到零，滿足相應(yīng)的終端約束。

圖5 末制導(dǎo)段滑動(dòng)變量s，s'，s″曲線Fig.5 Sliding surface profile in terminal guidance

為了更加清楚地顯示本文制導(dǎo)律在末制導(dǎo)段的特點(diǎn)，對(duì)比分析下拉導(dǎo)引段的仿真結(jié)果。將本文提出的制導(dǎo)方案(BDTG)與經(jīng)典的彈道整形制導(dǎo)律(TSGL)在相同條件下進(jìn)行仿真對(duì)比。經(jīng)典的TSGL［8］為:

式中:nc為指令加速度;Vc為相對(duì)速度為視線角速率。設(shè)計(jì)下拉導(dǎo)引段仿真初始高度H0=10 km，初始彈道傾角γ0=－10°，迎角為0°，分兩種情形進(jìn)行仿真，分別距離目標(biāo)縱向剩余射程Rgo=6 km和Rgo=10 km，圖6和圖7給出了仿真結(jié)果對(duì)比。

圖6 縱向射程6 km時(shí)彈道曲線、法向過載曲線Fig.6 Contrast trajectory and normal overload profile for 6 km downrange case

圖7 縱向射程10 km時(shí)彈道曲線、法向過載曲線Fig.7 Contrast trajectory and normal overload profile for 10 km downrange case

圖7 的法向過載曲線中，BDTG法仿真結(jié)果最開始法向過載為零，是由于末制導(dǎo)律在靠近目標(biāo)一定距離才開始導(dǎo)引而導(dǎo)致的。從法向過載曲線對(duì)比圖可以看出，為了使得最終的法向過載近似為零，本文的制導(dǎo)方法能夠使飛行器在距離目標(biāo)一定距離時(shí)維持一段較長(zhǎng)時(shí)間大過載的下拉導(dǎo)引，使得彈道迅速下壓，之后法向過載平緩降低到接近零。從彈道曲線可以看出，本文制導(dǎo)方法使得彈道更加快速下壓，轉(zhuǎn)向垂直狀態(tài)。TSGL法的仿真結(jié)果顯示，飛行器在靠近目標(biāo)時(shí)，剩余飛行時(shí)間較小造成指令加速度較大，最終法向過載容易出現(xiàn)跳動(dòng)，如果存在氣動(dòng)、環(huán)境等不確定性，則容易造成明顯的脫靶。

在仿真時(shí)考慮存在多種擾動(dòng)情況，進(jìn)一步驗(yàn)證本文制導(dǎo)方法的魯棒性。擾動(dòng)主要有參數(shù)不確定性、外界的干擾和測(cè)量誤差。參數(shù)不確定性主要考慮氣動(dòng)力系數(shù)拉偏和大氣參數(shù)不確定性:由于與法向加速度直接相關(guān)的是升力系數(shù)，在此將升力系數(shù)拉偏±20%，大氣密度拉偏±20%。外界的干擾主要考慮縱向風(fēng)的影響，風(fēng)向考慮與飛行器飛行方向同向、反向兩種方向，風(fēng)場(chǎng)數(shù)據(jù)參考CIRA-86，圖8給出了風(fēng)速隨高度變化曲線，橫坐標(biāo)Vwind表示風(fēng)速。

圖8 風(fēng)場(chǎng)模型Fig.8 Wind field model

仿真時(shí)運(yùn)用制導(dǎo)律給出指令，需要當(dāng)前彈道傾角、剩余飛行時(shí)間等信息，實(shí)際中有測(cè)量誤差，可加入高斯白噪聲來模擬。上述三種擾動(dòng)(氣動(dòng)力系數(shù)、大氣密度正負(fù)拉偏和風(fēng)向)組合，共8種情形，加上理想情形，總共9次仿真結(jié)果的終端誤差數(shù)據(jù)如表1所示(射程脫靶量均較小，小于0.1 m，故表中沒有列舉)。

表中，第1列為仿真的擾動(dòng):“同”指風(fēng)向與飛行器飛行方向一致，“反”則相反;中間的數(shù)字代表大氣密度拉偏量，第3個(gè)數(shù)字代表氣動(dòng)力系數(shù)拉偏量。

表1 多擾動(dòng)下的終端誤差對(duì)比Table 1 Terminal errors of flight path angle and normal overload under multiple disturbances

從仿真結(jié)果可以看出，運(yùn)用本文的制導(dǎo)方法，終端彈道傾角誤差非常小，在10－4量級(jí)，最終法向過載小于0.3。由于擾動(dòng)的存在，運(yùn)用彈道整形制導(dǎo)律仿真結(jié)果的最終法向過載存在較大不確定性，而且彈道傾角誤差相比也大許多。

仿真結(jié)果還顯示，彈頭末速度約為900～1 100 m/s，機(jī)動(dòng)彈頭要求撞擊地面的速度為410～1 070 m/s［7］，可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)母郊訙p速控制。本文設(shè)計(jì)的制導(dǎo)方案中，預(yù)留了一段平飛減速段，從圖3中可以看出有一段10～15 s的近似平飛段，可以用于減速控制，初步仿真表明，平飛段錐形減速可以有最大300 m/s的最終附加減速效果。

5 結(jié)束語

針對(duì)機(jī)動(dòng)飛行器帶終端約束的末制導(dǎo)問題，本文基于反演設(shè)計(jì)方法，通過設(shè)計(jì)合適的滑動(dòng)面，將高階滑模的滑動(dòng)變量及其一定階導(dǎo)數(shù)在有限時(shí)間內(nèi)漸進(jìn)收斂的特點(diǎn)與各個(gè)終端約束相結(jié)合，得到能夠滿足終端彈道傾角和法向過載約束要求的末制導(dǎo)律。本文制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)不需要線性化，對(duì)多個(gè)終端約束逐階設(shè)計(jì)來滿足要求。在存在多擾動(dòng)情況下的仿真結(jié)果顯示制導(dǎo)律有很好的制導(dǎo)精度，具有一定的魯棒性。同時(shí)本文給出的制導(dǎo)方案預(yù)留一段近似平飛段，該段可以用于減速控制。

［1］ Kim M，Grider K V.Terminal guidance for impact attitude angle constrained flight trajectories［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，1973，9(6):852-859.

［2］ Kim B S，Lee J G，Han H S.Biased PND law for impact with angular constraint［J］.Transactions on Aerospace and Electronic Systems，1998，34(1):277-288.

［3］ 趙漢元.飛行器再入動(dòng)力學(xué)和制導(dǎo)［M］.長(zhǎng)沙:國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，1997:214-230.

［4］ Slotine J E，Li W.應(yīng)用非線性控制［M］.程代展，譯.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2006:173-176.

［5］ 賈慶忠，劉永善，劉藻珍.電視制導(dǎo)侵徹炸彈落角約束變結(jié)構(gòu)反演制導(dǎo)律設(shè)計(jì)［J］.宇航學(xué)報(bào)，2008，29(1):208-214.

［6］ Harl N，Balakrishnan SN.Reentry terminal guidance through sliding mode control［J］.AIAA Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2010，33(1):186-199.

［7］ 康佳仁.潘興-2精確末制導(dǎo)技術(shù)分析［J］.導(dǎo)彈與航天運(yùn)載技術(shù)，1991(12):45-61.

［8］ Zarchan P.Tactical and strategic missile guidance［M］.Progress in Aeronautics and Astronautics，AIAA，Reston，VA，2012:569-601.