正十七邊形尺規(guī)作圖證明復數(shù)解法

李孝民

（成都七中，四川成都 610000）

正十七邊形尺規(guī)作圖證明復數(shù)解法

李孝民

（成都七中，四川成都 610000）

本論文對十八世紀末德國數(shù)學家約翰·卡爾·弗里德里希·高斯(Johann Carl Friedrich Gauss)所解決的正十七邊形尺規(guī)作圖問題再次進行了討論。當年高斯運用了三角函數(shù)的知識求出了cos的表達式,它是數(shù)的加減乘除平方根的組合,故正17邊形可用尺規(guī)作出。而本論文主要運用了復數(shù)的知識，加以結合旋轉對稱的思想，通過另一種途徑得出了cos的表達式，與高斯用三角函數(shù)方法所得結果具有等價性。然而在借助計算機幫助的過程中，發(fā)現(xiàn)了所得結果與原結果的差異性并且進行了大膽嘗試與復雜的運算，將所得多重根式倒推，還發(fā)現(xiàn)了一些多元高次方程組與一元高次方程的聯(lián)系。

尺規(guī)作圖 尺規(guī)作圖 復數(shù)

引言

尺規(guī)作圖，是從古希臘時期的幾何學家們開始就一直在探討的問題，作圖所用的直尺，是沒有刻度的，尺規(guī)作圖最簡單的應用就是平分角。古希臘數(shù)學家歐幾里得已經(jīng)指出，正三邊形、正四邊形、正五邊形、正十五邊形和邊數(shù)是上述邊數(shù)兩倍的正多邊形的幾何作圖是能夠用圓規(guī)和直尺實現(xiàn)的，在那之后關于這個問題的研究沒有多大進展。而德國數(shù)學家卡爾·弗里德里?！じ咚乖?9歲時因為偶然的機會解決了困擾了數(shù)學家兩千年之久的正十七邊形尺規(guī)作圖問題。繼而在數(shù)論的基礎上提出了可用尺規(guī)作圖的正奇數(shù)邊多邊形的條件：尺規(guī)作圖正多邊形的邊數(shù)目必須是2的非負整數(shù)次方和不同的費馬素數(shù)的積，解決了兩千年來懸而未決的難題。

在之后的兩百多年中也有很多的學者對此著名歷史問題進行了研究，其中就包括R.C.Archibald，W.Bishop，P.Vélez和O.Luis等人。他們中的很多對這個歷史事件重新進行了論述并且從不同角度重新看待該歷史問題，然而本文即是從復數(shù)與方程組的角度重新對此問題進行了研究。

一、本文所論述的研究過程

由于受到正十七邊形尺規(guī)作圖過程的啟發(fā)，該過程便是通過復雜的尺規(guī)作圖過程將一個圓平均分成17份，然后將17個點作為正十七邊形的頂點再相連，便得到所求作圖形，然而因為想到這是在一個單位圓中作圖，圓心指向17個頂點便可以得到17個依次夾角都為的單位向量。并且高斯用三角函數(shù)證明的過程中，便是建立了一個平面直角坐標系。由此聯(lián)想到，可以建立一個復平面，其中每一個之前的向量都使之對應一個復數(shù)，因為這些向量之間都可以通過互相旋轉所得，相鄰兩向量之間夾角又相同，于是所對應的復數(shù)之間也必然存在著很多的關系，除此之外，因為旋轉，我們還可以將這17個向量所組成的集合擴展開來，得到無數(shù)的向量，不過其余的向量都與之前的這17個重合，于是可以避免很多證明過程中的限制。此外，論證到最后的時候，對四元四次方程與一元十六次方程的關系，以及用多重根式形式的解倒推其所對應的一元高次方程也進行了粗淺的討論，絕不僅局限于對正十七邊形尺規(guī)作圖證明的討論。

二、探究與證明過程

1.首先，作一個復平面（如右圖），以x軸作為實軸，y軸作為虛軸，O為原點，再以O點為圓心作一個單位圓，圓上分別取，Z0， Z1，Z2......使得單位向量依次相鄰兩向量之間夾角都為

2.設復數(shù)Z0對應向量對應向量對應向量設，將復數(shù)用三角形式表示如下：

3.再由De Moive定理可得：

同理可得：

此處提供兩種求法：

解法（1）利用第2、3步的結論以及平方差公式：

解法（2）利用第3步構造等比數(shù)列:

由于

則構成了一個首項為1，公比為Z1的等比數(shù)列。

由等比數(shù)列求和公式可得：

則可得同樣的結果：

將a,b,c,d代換成復數(shù)和，再乘開可得：

7.此時可發(fā)現(xiàn)很多內在聯(lián)系：

8.運用數(shù)學軟件Wolfram Mathematica9.0解此方程組，所得實數(shù)解有8組。

由圖象可得a,b,c,d大概范圍：

由于根式形式過于復雜，我們在實數(shù)解組中排出多余組解的步驟中暫時選取小數(shù)，并且保留六位有效數(shù)字：

Wolfram Mathematica9.0所得小數(shù)結果如下圖：

顯然①～④組和⑤～⑧分別都是循環(huán)的，一共相當于是八組包括循環(huán)對稱的實數(shù)解。

根據(jù)a,b,c,d大概范圍，可以排除其余七組，最后只剩下：

9.實際上Wolfram Mathematica9.0得到根式結果的過程如下圖：

第一步：

第二步：

第三步：

第四步：

第五步：

第六步：

第七步：

這樣，我們就得到了根式形式的所有實數(shù)解。

再結合之前的小數(shù)，將其與根式形式對應：

11.高斯用三角函數(shù)法所求：

所以用本文復數(shù)方法所得結果與高斯方法所得結果具有等價性。

13.四元四次方程組與一元十六次方程

以上關于正十七邊形尺規(guī)作圖證明的過程已經(jīng)完成，下面我們由方程組所得三重根式解引發(fā)的思考進行簡單粗略的討論：

（1）借助Wolfram Mathematica9.0的幫助，我們可以知道

八個實數(shù)解實際上是一元八次方程x8+x7-7x6-6x5+15x4+10x3-10x2-4x+1=0的八個解，而其余八個虛數(shù)

八個虛數(shù)解實際上是一元八次方程x8+2x7+3x6+2x5+3x4+6x3+7x2+4x+1=0的八個解。

將兩個一元八次方程相乘，我們便可以得到，原四元四次方程組的四個實數(shù)解和四個虛數(shù)解就是下面一元十六次方程的解：

所以說該四元四次方程組與這個一元十六次方程是對應的（即使方程組的解為循環(huán)對稱的）。

（2）觀察解的形式，可以發(fā)現(xiàn)最多即是三重根式，而且不論是實數(shù)解還是虛數(shù)解都是兩兩共軛的。現(xiàn)在我們將要嘗試通過解來倒推出一元十六次方程。首先我們舉一個例子來分析：

這樣子我們就通過一個根式解逆向推導出了含有這個解得一元二次方程。由這個例子我們可以得到啟發(fā)：我們可以先把三重根式移到方程一邊，然后再兩邊平方，接下來是二重，一重，直到整個方程不再含有根式，我們便得到了一個含有該解的整系數(shù)方程。根據(jù)代數(shù)數(shù)的定義描述：代數(shù)數(shù)指任何整系數(shù)多項式的復根，即若x是一個代數(shù)數(shù)，那么必然存在整數(shù)使得x是以下方程:由于“任何可以從整數(shù)或有理數(shù)通過有限次四則運算和正整數(shù)次開方運算得到的數(shù)都是代數(shù)數(shù)”，而此時四元四次方程組的根即為代數(shù)數(shù)，我們便可以嘗試將其作為一個整系數(shù)方程的根。

（3）然而經(jīng)過了十分復雜的運算，最終得到的是這樣一個一元十六次方程：

這個結果不免令人疑惑，然而我們再次借助數(shù)學軟件Wolfram Mathematica9.0的幫助，將方程左邊分解因式，分解到最簡時即得到兩個八次式的乘積，兩個式子分別是和于是我們便可以發(fā)現(xiàn)：即是之前八個實數(shù)解對應的一元八次方程的左邊部分。所以我們通過選取形式相似且兩兩共軛的八個實數(shù)解中的一個來推導，的確推導出了一個含有該八個解對應的八次式作為其中一個因式的一元十六次方程。

（4）由于八個實數(shù)解結構形式相似，八個虛數(shù)解結構形式也相似，但是實數(shù)解和虛數(shù)解之間就是千差萬別，經(jīng)過以上推導得到的結果，我們可以猜想：選取一個復數(shù)解進行推導時也是得出類似的結果。但是如果我們同時選取了實數(shù)和復數(shù)或許會得到不同結果。此處有兩種嘗試：

嘗試1：選取一個實數(shù)解（設為x1）和一個虛數(shù)解（設為x2），那么我們可以嘗試用(x-x1)(x-x2)=0這樣的方法來嘗試推導一個既含有實數(shù)解對應八次式又含有虛數(shù)解對應八次式的一元高次方程。

嘗試2：選取兩個共軛的實數(shù)解（設為x1和x2）和兩個共軛的虛數(shù)解（設為x3和x4），那么我們可以嘗試用(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4) =0的方法推導，或許可以簡便我們的運算，因為共軛我們便可以使用平方差公式。這樣可以盡量減少平方次數(shù)，從而盡量減少方程次數(shù)。

（5）然而經(jīng)過實踐，由于還含有虛數(shù)單位i需要化去等原因，很遺憾兩種嘗試的結果都是高于16次的方程。但是我們仍然可以確定的是這個四元四次方程組對應著一個一元十六次方程。

14.我們下面嘗試這種方法能否推廣：

憑借高斯得出的正多邊形尺規(guī)作圖條件，17以后的費馬質數(shù)是257，由于數(shù)值太大所以我們僅討論17之前的費馬質數(shù)，即3和5。

我們首先進行邊形（即正三邊形）的試驗：

可見此方法同樣適用于正三邊形。

接下來進行邊形（即正五邊形）的試驗：

同樣地，

將a,b作為方程x2+x-1=0，解此方程再結合可得

可見此方法同樣適用于正五邊形。

結論

德國數(shù)學家卡爾·弗里德里?！じ咚勾髮W二年級時得出正十七邊形的尺規(guī)作圖法，并給出了可用尺規(guī)作圖的正多邊形的條件。解決了兩千年來懸而未決的難題，1799年以代數(shù)基本定理的四個漂亮證明獲博士學位。而當年的他是運用了三角函數(shù)的知識求出了的表達式?？紤]到三角函數(shù)和復數(shù)之間有千絲萬縷的聯(lián)系，論文就主要嘗試了運用復數(shù)的知識，結合復平面中各向量旋轉對稱的關系，還借助了計算機的幫助，從一開始的圖形與復數(shù)運算的問題最終轉化到了高次方程組的問題，得出一個四元四次方程組，并利用數(shù)學建模軟件Mathematica得出該方程組的所有復數(shù)解。根據(jù)未知數(shù)的范圍排除其余各組解以后，最終將符合的一組解帶入，得出的結果與高斯用三角函數(shù)方法所得結果相比較發(fā)現(xiàn)兩個結果相等。然而本文不僅僅局限于對該歷史問題提出另一種解決方法，更針對于在證明過程中的一些發(fā)現(xiàn)提出了新的猜想并進行了大嘗試和研究。首先是針對證明最后的四元四次方程組的根式形式解討論了所對應的一元十六次方程并且發(fā)現(xiàn)了其與方程組的對應關系。之后又進行了本文所論述方法的推廣，根據(jù)高斯得到的判斷正多邊形能夠尺規(guī)作圖的條件討論了當邊數(shù)等于另外兩個費馬質數(shù)3和5的情況，發(fā)現(xiàn)同樣適用，所以此方法具有一定的推廣性，但對于數(shù)值稍大的費馬素數(shù)找到方程組則有一定困難。此外本文論證過程還有其他缺點，比如簡潔性不夠，相對于高斯的三角函數(shù)的方法，本文的論證方法則十分復雜。并且在將圖形的問題轉化為方程的過程中則喪失了原有的對稱美以及尋找內在聯(lián)系時找到了四個方程，但內在聯(lián)系很多，或許能夠找到更多的方程。

[1]Gauss,C.F.§365 and 366 in“Disquisitiones Arithmeticae”. Leipzig,Germany:Fleischer,1801.Reprinted in New Haven,CT: Yale University Press,1965.

[2]Archibald,R.C."The History of the Construction of the RegularPolygon ofSeventeen Sides." Bull.Amer.Math.Soc.22, 239-246,1916.

[3]Archibald,R.C."Gauss and the Regular Polygon of Seventeen Sides."Amer.Math.Monthly 27,323-326,1920.

[4]Bishop,W."How to Construct a Regular Polygon."Amer. Math.Monthly 85,186-188,1978.

[5]Dickson,L.E."Construction of the Regular Polygon of 17 Sides."§8.20 in Monographs on Topics of Modern Mathematics Relevant to the Elementary Field(Ed.J.W.A.Young).New York: Dover,pp.372-373,1955.

[6]Hardy,G.H.and Wright,E.M."Construction of the Regular Polygon of 17 Sides."§5.8 in An Introduction to the Theory of Numbers,5th ed.Oxford,England:Clarendon Press,pp.57-62,1979.

[7]Richmond,H.W."A Construction for a Regular Polygon of Seventeen Sides."Quart.J.Pure Appl.Math.26,206-207,1893.

[8]Smith,L.L."A Construction of the Regular Polygon of Seventeen Sides."Amer.Math.Monthly 27,322-323,1920.

[9]Vélez,P.and Luis,O."A Chord Approach for an Alternative Ruler and Compasses Construction of the 17-Side Regular Polygon." Geom.Dedicata 52,209-213,1994.

致謝：特別感謝指導老師祁祖海在整個過程中耐心的指導，包括遇到各種問題都幫助提出策略進行嘗試，以及對整篇文章的思路進行了正確引導。其次還要感謝百度貼吧好友 qsd573在利用數(shù)學軟件Wolfram Mathematica9.0過程中的幫助。

This article focuses on the problem of the construction of a regular heptadecagon by ruler and compass which had been solved by the German mathematician Johann Carl Friedrich Gauss in the end of the eighteenth century.In 1798,Gauss used the method of trig function and got the expression of cos,which is the combination of the addition,subtraction,multiplication,division and square root of numbers,demonstrating that a regular heptadecagon can be constructed by ruler and compass.This article mainly applies the complex number as the tool,combining with the thought of rotation and reflection,and gained the expression of cosin another way.There is a obvious equivalence between the result using this method and the result of Gauss using the trig function as the tool.However,with the help of the computer,I found the differences between these two results and did some daring tries and complex operations.By reversely deducing the equation using the complex quadratic radical as the solution of it,I also discovered some relations between univariate equation of higher degree and multivariate equation set of higher degree.

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