常利率下分紅稀疏風(fēng)險(xiǎn)模型的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)

趙金娥, 李 明, 何樹紅

(1.紅河學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院 云南 蒙自 661199； 2.云南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 云南 昆明 650091)

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常利率下分紅稀疏風(fēng)險(xiǎn)模型的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)

趙金娥1, 李 明1, 何樹紅2

(1.紅河學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院 云南 蒙自 661199； 2.云南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 云南 昆明 650091)

考慮到保險(xiǎn)公司的投資收益及分紅策略,建立常利率和常數(shù)紅利邊界策略下的稀疏風(fēng)險(xiǎn)模型,其中保費(fèi)收入不再是時(shí)間的線性函數(shù),而是一個(gè)復(fù)合Poisson過程,且索賠次數(shù)是保單到達(dá)數(shù)的稀疏過程.利用全期望公式及盈余過程的強(qiáng)馬氏性,得到了期望折現(xiàn)罰金函數(shù)、破產(chǎn)時(shí)的Laplace變換、破產(chǎn)時(shí)赤字的期望折現(xiàn)以及破產(chǎn)概率滿足的積分微分方程,并借助合流超幾何函數(shù)給出指數(shù)保費(fèi)和指數(shù)索賠下破產(chǎn)概率的具體表達(dá)式.

紅利； 常利率； 期望折現(xiàn)罰金函數(shù)； 破產(chǎn)概率； 合流超幾何函數(shù)

0 引言

風(fēng)險(xiǎn)理論主要研究和處理保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中的隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn)模型,并從定量角度分析保險(xiǎn)公司經(jīng)營的安全性,是當(dāng)前精算界和數(shù)學(xué)學(xué)科研究的熱門課題.傳統(tǒng)的風(fēng)險(xiǎn)理論主要集中在對破產(chǎn)概率的研究,并且在大多數(shù)情況下只能得到破產(chǎn)概率的近似表達(dá)式或上界估計(jì)[1-3].1998年Gerber等[4]將破產(chǎn)時(shí)刻、破產(chǎn)前瞬時(shí)盈余和破產(chǎn)時(shí)赤字這三個(gè)破產(chǎn)理論中最為關(guān)注的精算指標(biāo)融入到一個(gè)函數(shù)中,提出了期望折現(xiàn)罰金函數(shù),這一重要函數(shù)的提出為研究破產(chǎn)理論帶來極大便利,也在很大程度上推動(dòng)了風(fēng)險(xiǎn)理論的發(fā)展,并出現(xiàn)了大量的研究成果[5-7].近年來隨著人們對投資理財(cái)認(rèn)知程度的提高以及保險(xiǎn)業(yè)競爭的日益激烈,保險(xiǎn)公司為了吸引更多的客戶,推出了分紅保險(xiǎn),這使得分紅與破產(chǎn)問題成為當(dāng)前保險(xiǎn)管理及保險(xiǎn)精算中備受關(guān)注的問題,而關(guān)于紅利邊界策略下經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型的研究已較為透徹.自文獻(xiàn)[8]首次提出常數(shù)紅利邊界策略下保費(fèi)收入為復(fù)合Poisson過程風(fēng)險(xiǎn)模型以來,該模型已引起學(xué)者們的極大關(guān)注.考慮到保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中保單到達(dá)和索賠發(fā)生的相依性,文獻(xiàn)[9]對文獻(xiàn)[8]進(jìn)行推廣,研究了索賠次數(shù)是保單到達(dá)數(shù)的p-稀疏過程且保費(fèi)隨機(jī)收取風(fēng)險(xiǎn)模型的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)和最優(yōu)紅利策略.

由于在保險(xiǎn)公司的實(shí)際運(yùn)營中,保險(xiǎn)公司會(huì)將大部分的保費(fèi)收入用于投資,并且投資所得占當(dāng)前保險(xiǎn)公司總收入的絕大部分,因此市場利率對保險(xiǎn)公司的盈余將產(chǎn)生重要影響.作者在文獻(xiàn)[9]的基礎(chǔ)上考慮投資收益,建立常利率和常數(shù)紅利邊界策略下保費(fèi)收入為復(fù)合Poisson過程,而索賠計(jì)數(shù)過程為保單到達(dá)過程的p-稀疏過程的風(fēng)險(xiǎn)模型.首先得到了模型的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)滿足的積分微分方程,然后通過期望折現(xiàn)罰金函數(shù)得到了破產(chǎn)時(shí)的Laplace變換、破產(chǎn)時(shí)赤字的期望折現(xiàn)以及破產(chǎn)概率滿足的積分微分方程,最后在保費(fèi)額與索賠額均服從指數(shù)分布的情形下借助合流超幾何函數(shù)得到了破產(chǎn)概率的具體表達(dá)式,所得結(jié)果推廣了文獻(xiàn)[7]及文獻(xiàn)[9]的相關(guān)結(jié)論.

1 模型介紹

定義1 設(shè)(Ω,F,P)是一完備概率空間,文中所涉及到的隨機(jī)變量均定義在該空間上,則對t≥0,常利率下保險(xiǎn)公司在t時(shí)刻的盈余過程為

其中,r,u為非負(fù)常數(shù),r表示常利率,u=U(0)是保險(xiǎn)公司的初始資本；M(t)為至?xí)r刻t為止收到的保單數(shù);Yi表示對第i份保單收取的保險(xiǎn)費(fèi);τi為第i份保單到達(dá)的時(shí)刻；N(t)為至?xí)r刻t為止發(fā)生的索賠次數(shù);Xi表示第i次的索賠額;κi為第i次索賠發(fā)生的時(shí)刻.

對上述模型作如下假設(shè)：

(1) 計(jì)數(shù)過程{M(t),t≥0}是強(qiáng)度為λ>0的Poisson過程,而{N(t),t≥0}是{M(t),t≥0}的p-稀疏過程；

(3) {M(t),t≥0},{Xi,i≥1}和{Yi,i≥1}相互獨(dú)立.

給定紅利界限b(u≤b),若保險(xiǎn)公司的盈余超過紅利界限b,超出部分全部用來分紅,若盈余在紅利界限以下便不發(fā)放紅利.于是在該紅利邊界策略下保險(xiǎn)公司的盈余過程{Ub(t),t≥0}可表示為

(1)

為破產(chǎn)時(shí)的期望折現(xiàn)罰金函數(shù),也叫Gerber-Shiu函數(shù).

顯然,當(dāng)ω(x,y)=y時(shí),(1)式即為破產(chǎn)時(shí)赤字的期望折現(xiàn)

當(dāng)ω(x,y)=1時(shí),(1)式為破產(chǎn)時(shí)的Laplace變換,用φb(u)表示,即

當(dāng)ω(x,y)=1且δ=0時(shí),(1)式為破產(chǎn)概率

2 期望折現(xiàn)罰金函數(shù)

定理1 當(dāng)0≤u≤b時(shí),期望折現(xiàn)罰金函數(shù)mb(u)滿足如下積分微分方程：

(2)

注1 當(dāng)r=0時(shí),(2)式即為文獻(xiàn)[9]中的(3.6)式；當(dāng)r=0且b→∞時(shí),(2)式即為文獻(xiàn)[7]中的(2.1)式.

證明 在無窮小的時(shí)間區(qū)間(0,Δt]上,利用盈余過程的強(qiáng)馬氏性及全期望公式,有

mb(u)=E[mb(Ub(Δt))]=[1-λΔt+ο(Δt)]e-δΔtE[mb(uerΔt)]+

[(λΔt+ο(Δt))(1-p)]e-δΔtE[mb(uerΔt+Y)]+

[(λΔt+ο(Δt))p]e-δΔtE[mb(uerΔt+Y-X)]+ο(Δt).

(3)

由于

(4)

(5)

將(4)式和(5)式代入(3)式,有

兩邊同時(shí)除以Δt,并令Δt→0,有

由此可得(2)式.

當(dāng)u>b時(shí),保險(xiǎn)公司把超過b的那部分盈余全部進(jìn)行分紅,此時(shí)mb(u)=mb(b).

定理2 當(dāng)0≤u≤b時(shí),赤字的期望折現(xiàn)函數(shù)φb(u)滿足如下積分微分方程：

(6)

當(dāng)u>b時(shí),φb(u)=φb(b).

注2 當(dāng)r=0時(shí),(6)式即為文獻(xiàn)[9]中的(3.8)式.

證明 在(2)式中令ω(x,y)=y,即得結(jié)論.

定理3 當(dāng)0≤u≤b時(shí),破產(chǎn)時(shí)的Laplace變換滿足如下積分微分方程：

(7)

當(dāng)u>b時(shí),φb(u)=φb(b).

注3 當(dāng)r=0時(shí),(7)式即為文獻(xiàn)[9]中的(4.1)式.

證明 略.

定理4 當(dāng)0≤u≤b時(shí),破產(chǎn)概率ψb(u)滿足如下積分微分方程：

(8)

當(dāng)u>b時(shí),ψb(u)=ψb(b).

證明 略.

3 破產(chǎn)概率的具體表達(dá)式

一般情形下很難給出以上積分微分方程的精確解,但在索賠額與保費(fèi)額均服從指數(shù)分布時(shí)可得到破產(chǎn)概率的精確表達(dá)式.

設(shè)F(x)=1-e-αx(x>0),G(y)=1-e-βy(y>0),則(8)式為

(9)

(9)式兩邊對u求導(dǎo),有

(10)

(10)式兩邊再對u求導(dǎo),有

(11)

由(9)～(11)式,有

(12)

解之得

分別是第一類和第二類合流超幾何函數(shù).所以

A1h1(u)+A2h2(u),

所以

ψb(u)=A0+A1H1(u)+A2H2(u),

這里

又由文獻(xiàn)[10]有ψb(0)=1及ψb(+∞)=0,故A0=1,且

1+A1H1(+∞)+A2H2(+∞)=0.

(13)

在(9)式中令u=b,有

(14)

聯(lián)立(13)和(14)式,解得

[1] 楊洋,林金官,高慶武.時(shí)間相依更新風(fēng)險(xiǎn)模型中無限時(shí)絕對破產(chǎn)概率的漸近性[J].中國科學(xué):數(shù)學(xué),2013,43(2):173-184.

[2] 劉超,王永茂,顏玲,等.帶干擾的多險(xiǎn)種二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率[J].鄭州大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版,2012,44(1):46-49.

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[5]LiShuanming,LuYi.Ontheexpecteddiscountedpenaltyfunctionfortwoclassesofriskprocesses[J].Insurance:MathematicsandEconomics, 2005,36(2):179-193.

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[9] 趙金娥,李明,何樹紅.一類稀疏風(fēng)險(xiǎn)模型的Gerber-Shiu函數(shù)和最優(yōu)紅利策略[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì),2014,30(4):439-448.

[10]方世祖,羅建華.雙復(fù)合Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2006,22(2):271-278.

(責(zé)任編輯：孔 薇)

The Expected Discounted Penalty Function for a Thinning Risk Model with Constant Interest and Dividends

ZHAO Jin-e1, LI Ming1, HE Shu-hong2

(1.CollegeofMathematics,HongheUniversity,Mengzi661199,China;2.CollegeofMathematicsandStatistics,YunnanUniversity,Kunming650091,China)

Considering the insurance company’s investment income and dividend strategy, a thinning risk model was established. In contrast with the classical risk model where the premium process was a linear function of time, the aggregate premium process was a compound Poisson process and the claim number process was a thinning process of the premium arriving number process. Moreover, there were a constant interest and a constant dividend barrier strategy in this model. By taking full advantage of the total expectation formula and the strong Markov property of the surplus process, the integro-differential equations for the expectation discounted penalty function, the Laplace transform of the time of ruin, the discounted expectation of the deficit at ruin and the ruin probability were derived. Meanwhile, the explicit expression for the ruin probability was given in terms of the confluent hypergeometric functions when the individual stochastic premium amount and claim amount were exponentially distributed.

dividend; constant interest; expected discounted penalty function; ruin probability; confluent hypergeometric function

2015-05-30

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目,編號11301160;云南省科技廳自然科學(xué)研究基金資助項(xiàng)目,編號2013FZ116;云南省教育廳科研基金資助項(xiàng)目,編號2013C014；紅河學(xué)院科研基金資助項(xiàng)目，編號XJ15SX06.

趙金娥(1978-),女,云南大理人,講師,碩士,主要從事保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)理論研究,E-mail:zhaojine0829@163.com;通訊作者：李明(1983-),男,湖南長沙人,講師,碩士,主要從事偏微分方程數(shù)值解研究,E-mail:mathlm@126.com.

趙金娥,李明,何樹紅.常利率下分紅稀疏風(fēng)險(xiǎn)模型的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)[J].鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2015,47(3)：37-42.

O211.67

A

1671-6841(2015)03-0037-06

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.03.007