浸染數(shù)學(xué)式思維風(fēng)格 滲透有效的數(shù)學(xué)文化

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》指出，數(shù)學(xué)文化是“貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容之一”，并“要求滲透在每個(gè)模塊與專題中”.然而新課程改革至今雖已過(guò)去十余年，但課堂上究竟該如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，眾多一線教師仍深感茫然.有人認(rèn)為滲透數(shù)學(xué)文化太浪費(fèi)時(shí)間，影響升學(xué)率.有人認(rèn)為滲透數(shù)學(xué)文化無(wú)非就是課堂上介紹一些數(shù)學(xué)家的生平、言論或數(shù)學(xué)趣題，它們不過(guò)是知識(shí)傳授之余供學(xué)生消遣、可有可無(wú)的一塊內(nèi)容.這些觀點(diǎn)讓數(shù)學(xué)文化的浸染與知識(shí)點(diǎn)的傳授油水分離.其最終后果是學(xué)生學(xué)到了數(shù)學(xué)的殼卻丟了核；學(xué)到了數(shù)學(xué)的形式卻丟了靈魂.那么，在當(dāng)下的應(yīng)試環(huán)境下，我們究竟該如何教學(xué)，才能既兼顧學(xué)生的眼前利益，又能讓學(xué)生因數(shù)學(xué)的學(xué)科熏陶而有長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展的后勁？筆者認(rèn)為，揭示數(shù)學(xué)式思維風(fēng)格是魚(yú)與熊掌兼得的一個(gè)有效措施.

一、數(shù)學(xué)式思維風(fēng)格的意義

哈里森在他的《善用你的思考風(fēng)格》中給出的思維風(fēng)格含義是：“思維風(fēng)格是人們?cè)谟^察世界、理解世界及面對(duì)問(wèn)題、提出問(wèn)題時(shí)的方式，面對(duì)問(wèn)題或抉擇時(shí)，無(wú)論是否出于自覺(jué)，我們使用的一組特定的策略.”[1]斯騰伯格說(shuō)：“思維風(fēng)格是指人們所偏好的思維方式，它不是一種能力，而是一種偏好的表達(dá)和使用能力的方式.”[2]

上述論述表明，思維風(fēng)格是人們?cè)诿媾R問(wèn)題、解決問(wèn)題時(shí)偏好的思考策略與行為方式.這種方式表現(xiàn)出如下三個(gè)特點(diǎn)：一是它的獨(dú)特性；二是它的一貫性；三是它的綜合性.因此，思維風(fēng)格是個(gè)人價(jià)值觀與行為方式的綜合體現(xiàn).

數(shù)學(xué)家群體看問(wèn)題偏好共有的一套價(jià)值評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，我們可稱之為數(shù)學(xué)式思維風(fēng)格.具體地說(shuō)，即是數(shù)學(xué)共同體特有的研究問(wèn)題表現(xiàn)出來(lái)的著眼點(diǎn)的選擇、共享的一套價(jià)值觀念系統(tǒng)、問(wèn)題轉(zhuǎn)換偏好的方式方法.回溯數(shù)學(xué)的發(fā)明發(fā)現(xiàn)歷程，不難窺見(jiàn)數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)價(jià)值取向、數(shù)學(xué)審美評(píng)判這些觀念性成分對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)程的決定性作用.所以，揭示數(shù)學(xué)大師們的思維風(fēng)格，讓學(xué)生由感悟、默會(huì)、賞析到知識(shí)背后的思想動(dòng)機(jī)，是數(shù)學(xué)教育更高層次的追求.是數(shù)學(xué)文化教學(xué)表達(dá)的一種重要方式.這樣的教學(xué)，將促使教師不僅關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)的顯性層面，還將知識(shí)背后的數(shù)學(xué)價(jià)值判斷與審美選擇等數(shù)學(xué)獨(dú)有的思維特性加以彰顯與揭示.這樣學(xué)生不僅能學(xué)到“是什么”的知識(shí)，還能學(xué)到“為什么”“干什么”“怎么干”的知識(shí)，這種教學(xué)更能鞭辟入里地揭示數(shù)學(xué)思考的源頭與本質(zhì)，學(xué)生才能更好地像弗氏所說(shuō)進(jìn)行有效的“再創(chuàng)造”學(xué)習(xí)，“根之茂者其實(shí)遂，膏之沃者其光曄”.深受數(shù)學(xué)式風(fēng)格浸染的學(xué)生，走上社會(huì)即便忘掉了具體知識(shí)細(xì)節(jié)，相信他們也能自如地用相關(guān)的數(shù)學(xué)思想與適當(dāng)?shù)男袆?dòng)去應(yīng)對(duì)面臨的種種情況.

二、數(shù)學(xué)式思維風(fēng)格的特質(zhì)

米山國(guó)藏談過(guò)數(shù)學(xué)的七種精神，它們是：應(yīng)用化精神；擴(kuò)張化、一般化精神；組織化、系統(tǒng)化精神；思想的經(jīng)濟(jì)化精神；致力于發(fā)明發(fā)現(xiàn)的精神；統(tǒng)一建設(shè)的精神；嚴(yán)密化的精神.這七種精神活躍于數(shù)學(xué)家的研究中，表現(xiàn)為對(duì)周遭事物的認(rèn)識(shí)、理解、解釋、表述都是數(shù)學(xué)式思維風(fēng)格.

例如，陳省身由三角形內(nèi)角和為180°，轉(zhuǎn)換為外角和為360°，推廣并一般化，在此基礎(chǔ)上，陳省身發(fā)展出一般曲面上封閉曲線方向改變量總和的公式.

又如，歐拉研究哥尼斯堡七橋問(wèn)題，歐拉把橋、島分別抽象成線與點(diǎn)，把七橋問(wèn)題簡(jiǎn)化為通過(guò)4個(gè)點(diǎn)、7條線的“一筆畫”問(wèn)題.通過(guò)對(duì)“一筆畫”問(wèn)題的深入研究，尋找到滿足“一筆畫”的充要條件，漂亮而徹底解決了“七橋問(wèn)題”，[3]并由此誕生出數(shù)學(xué)的一大分支——圖論.

再如，哲學(xué)家總是在前人工作的基礎(chǔ)上，摧毀前人的建筑，用自己的工作證明別人是錯(cuò)的，寫出自己的一頁(yè).但數(shù)學(xué)家不一樣，數(shù)學(xué)家總是用自己的新建筑使前人的工作顯得更加完滿、更加鞏固，添上自己的一頁(yè).[4]比如，從數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性著眼，早期數(shù)學(xué)家希望數(shù)學(xué)的全部對(duì)象統(tǒng)一于自然數(shù)，然后希望統(tǒng)一于幾何、統(tǒng)一于邏輯、統(tǒng)一于算術(shù).經(jīng)過(guò)這些試圖統(tǒng)一的努力都失敗之后，誕生出哥德?tīng)柖ɡ?數(shù)學(xué)家正是在數(shù)學(xué)式思維風(fēng)格──“統(tǒng)一建設(shè)的精神”之下探索、失敗、再探索過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)了許多新的分支，通過(guò)不斷改組、不斷完善自己的理論，從而使數(shù)學(xué)王國(guó)更加生機(jī)勃勃，氣象萬(wàn)千.

一葉知秋，見(jiàn)微知著，上述案例讓我們看出數(shù)學(xué)式思維風(fēng)格的若干特質(zhì).

1.在變化中尋找不變量，在不變的事物中追尋可變量的思維習(xí)性.

2.遇到特殊問(wèn)題，試圖用一般化的思維習(xí)性解決.陳省身正是從不滿足于三角形、四邊形等多邊形內(nèi)角和隨邊數(shù)變化的特點(diǎn)出發(fā)，把外角和為常數(shù)的結(jié)論推廣到一般曲面，得到“陳氏類”理論.這種步步深入、由特殊到一般思考問(wèn)題的方式，體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)“擴(kuò)張化的精神”“統(tǒng)一建設(shè)的精神”及“嚴(yán)密化的精神”.

3.大膽想象、小心求證的思維習(xí)性，豐富的直覺(jué)、精巧的構(gòu)思的習(xí)性.非歐幾何的發(fā)明發(fā)現(xiàn)過(guò)程可說(shuō)明這一點(diǎn).

4.善于數(shù)學(xué)化、合理表征的思維習(xí)性.歐拉為了解決哥尼斯堡七橋問(wèn)題，把島與道路抽象成點(diǎn)與線，上述“數(shù)學(xué)化”過(guò)程使人更易集中精力于問(wèn)題的關(guān)鍵處.同時(shí)，七橋問(wèn)題的解決過(guò)程讓我們看到恰當(dāng)表征的重要性——將七橋問(wèn)題表征為“一筆畫”問(wèn)題.七橋問(wèn)題的解決過(guò)程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)“思想的經(jīng)濟(jì)化精神”，而類比七橋問(wèn)題設(shè)計(jì)出周游世界問(wèn)題體現(xiàn)的是“致力于發(fā)明發(fā)現(xiàn)的精神”.[5]

從畢氏試圖把數(shù)學(xué)統(tǒng)一于自然數(shù)，到形式主義代表人物希爾伯特希望把數(shù)學(xué)統(tǒng)一于算術(shù)，體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)式的思維風(fēng)格──“統(tǒng)一建設(shè)的精神”“嚴(yán)密化的精神”.

人的觀念系統(tǒng)中若持有這七種數(shù)學(xué)精神，他的思維風(fēng)格必將是數(shù)學(xué)式的，外顯的行為處事方式也將是數(shù)學(xué)式的；這種人往往在沒(méi)有數(shù)學(xué)的地方能看到數(shù)學(xué)，并總能恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)學(xué)式思維高效經(jīng)濟(jì)地解決問(wèn)題.

戴維斯指出：“在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)工作的方式應(yīng)當(dāng)與做研究的數(shù)學(xué)家類似，這樣才能有更多的機(jī)會(huì)取得成功.”[6]這段話恰好說(shuō)明了相比于知識(shí)的汲取，讓學(xué)生感悟、模仿、習(xí)得數(shù)學(xué)式思維風(fēng)格更具深遠(yuǎn)意義.

三、浸染數(shù)學(xué)式思維風(fēng)格的教學(xué)策略endprint

（一）生書(shū)熟講 熟書(shū)生溫

華羅庚在《高等數(shù)學(xué)講義》中說(shuō)：我講書(shū)喜歡埋下伏筆，有些重要概念、方法盡可能早地在具體問(wèn)題中提出，生書(shū)熟講，熟書(shū)生溫，似乎在復(fù)習(xí)，但把新東西講進(jìn)去了.揭示數(shù)學(xué)式思維風(fēng)格，我們不妨效仿華老的做法，即對(duì)整個(gè)中學(xué)教材體系進(jìn)行梳理，對(duì)教材中體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)式思維不厭不倦地反復(fù)揭示.比如每次上概念課前，教師都應(yīng)該例行思考：本節(jié)概念課，在引入、定義以及進(jìn)行數(shù)學(xué)規(guī)定時(shí)，究竟體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的哪些特色思維？在概念引入前是否需要介紹相關(guān)的數(shù)學(xué)價(jià)值觀念，而把本節(jié)內(nèi)容納入為上述觀點(diǎn)的具體應(yīng)用？學(xué)完概念后對(duì)學(xué)生提點(diǎn)：反思學(xué)習(xí)過(guò)程，在哪些環(huán)節(jié)能看出數(shù)學(xué)人的一貫做法？長(zhǎng)久下去，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)式思維風(fēng)格就能多一份了然，在后續(xù)學(xué)習(xí)中，只要遇到類似情境，就能自覺(jué)地運(yùn)用數(shù)學(xué)式思維，遇新思陳、推陳出新，對(duì)知識(shí)的學(xué)習(xí)與運(yùn)用就能做到前呼后應(yīng)、上掛下連.這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自然是自覺(jué)、自?shī)省⒆缘们腋咝У?

比如我們讓學(xué)生感悟“思想的經(jīng)濟(jì)化精神”的體現(xiàn)──“化歸”思想，初中學(xué)習(xí)二元一次方程、分式方程、無(wú)理方程最后都是化歸為一元一次方程.那么高中學(xué)習(xí)一元二次方程時(shí)，學(xué)生也將自覺(jué)運(yùn)用“化歸”這一思維的望遠(yuǎn)鏡，“看到”需要通過(guò)分解因式化歸為一元一次方程.同樣，一元高次方程需要分解因式化歸為一元一次方程.后續(xù)方程內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生就能知道“怎么干”“干什么”“為什么這么干”，從而對(duì)解方程的思路了然于胸.在學(xué)習(xí)指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)初期，學(xué)生對(duì)形如y=a f （x），y=loga f（x）的函數(shù)單調(diào)性、值域等類問(wèn)題常感吃力，但只要令f（x）=t，則只需先考慮t的單調(diào)性、t的取值范圍，問(wèn)題就化歸為初始的簡(jiǎn)單函數(shù)y=at，y=logat的問(wèn)題了.在三角函數(shù)學(xué)習(xí)中，學(xué)習(xí)y=Asin（ω+φ）的圖象與性質(zhì)時(shí)，無(wú)論是求值域、求單調(diào)區(qū)間，還是求對(duì)稱軸等，只要化歸為最基本的函數(shù)y=sint（t=ωx+φ）的相關(guān)問(wèn)題.同樣，立幾問(wèn)題多是降維化歸為平幾問(wèn)題.“書(shū)讀百遍，其義自現(xiàn)”，學(xué)生對(duì)化歸的方式遇之愈豐，知之愈明，遷移愈廣. 李白說(shuō)“但得此中味，勿為醒者傳”，不斷經(jīng)歷化歸這一化繁為簡(jiǎn)過(guò)程的學(xué)生，對(duì)化歸思維的妙處肯定與李白詩(shī)中的醉漢有得一比，都是身心得到了難以言喻的高峰體驗(yàn).

（二）溯源析流 道術(shù)合一

杜威說(shuō)：“如果學(xué)生不能籌劃自己解決問(wèn)題的方法，自己尋找出路，他就學(xué)不到什么，即使他能背出一些正確的答案，百分之百正確，他還是學(xué)不到什么.”弗賴登塔爾一直倡導(dǎo)“做中學(xué)”，他的理由是“……數(shù)學(xué)家從來(lái)不按照他們發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)的真實(shí)過(guò)程來(lái)介紹他們的工作，實(shí)際上經(jīng)過(guò)艱苦曲折的思維推理獲得的結(jié)論，他們常常以‘顯而易見(jiàn)或是‘容易看出輕描淡寫地一筆帶過(guò)；而教科書(shū)則做得更徹底，往往把表達(dá)的思維過(guò)程與實(shí)際創(chuàng)造的進(jìn)程完全顛倒……”[7]因此，要讓學(xué)生“做中學(xué)”有成效，學(xué)生就應(yīng)該了解一些數(shù)學(xué)式思維風(fēng)格，這樣當(dāng)學(xué)生自己“做數(shù)學(xué)”時(shí)，他們才會(huì)胸中有章法、目力能預(yù)見(jiàn)，才不至于整天被老師牽著鼻子暈頭轉(zhuǎn)向，逐漸地，學(xué)習(xí)狀態(tài)就能像貝特拉米所期望的那樣“學(xué)生應(yīng)該及早地像數(shù)學(xué)大師那樣去追求和進(jìn)行思考活動(dòng)”.這種親歷“做數(shù)學(xué)”的學(xué)習(xí)，學(xué)生除學(xué)到知識(shí)，還能不斷感悟、印證數(shù)學(xué)式思維風(fēng)格的美妙與奇崛，這是溯源析流、道術(shù)合一的數(shù)學(xué)教學(xué).

比如教師講授復(fù)數(shù)時(shí)，把復(fù)數(shù)概念的引入設(shè)計(jì)成：“已知兩數(shù)的和是10，積是40，求這兩數(shù).”讓學(xué)生面臨當(dāng)初數(shù)學(xué)家同樣的困窘.這時(shí)教師設(shè)計(jì)先行組織者，即讓學(xué)生了解從自然數(shù)到正分?jǐn)?shù)、負(fù)整數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)、有理數(shù)、無(wú)理數(shù)、實(shí)數(shù)的發(fā)展歷程，知曉數(shù)學(xué)式思維風(fēng)格，即對(duì)數(shù)系擴(kuò)充的規(guī)則要求（因襲數(shù)性）.再啟發(fā)學(xué)生，對(duì)于前面的每一種數(shù)，都找到了它的幾何表征并要研究其運(yùn)算與性質(zhì)，那么復(fù)數(shù)呢，能否有幾何表征方式？復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則又是什么樣的？……這樣既避免了學(xué)生無(wú)方向的低效摸索，又讓其在數(shù)學(xué)式思維風(fēng)格引導(dǎo)下，像數(shù)學(xué)家一樣經(jīng)歷知識(shí)的“再創(chuàng)造”過(guò)程.讓學(xué)生體悟到數(shù)學(xué)研究的一般精神與方法.這種方式的學(xué)習(xí)對(duì)于學(xué)生的意義，正如美國(guó)諺語(yǔ)所說(shuō)：我聽(tīng)到的會(huì)忘記，看到的能記住，唯有做過(guò)的才入骨入髓.[7]

（三）返身自觀 緘默顯化

由于教學(xué)進(jìn)度關(guān)系，由于自身的怠惰與麻痹，或受師生知識(shí)水平所限，師生容易關(guān)注顯性知識(shí)的傳遞與學(xué)習(xí)，而讓個(gè)體在學(xué)習(xí)中的一些緘默感受一滑而過(guò).比如為何集合中元素要規(guī)定三性，為什么要定義直線的方向向量而非法向量，有了傾斜角為何還要用直線的斜率來(lái)刻畫直線的傾斜程度，數(shù)學(xué)歸納法為什么有了奠基步與遞推步后就可以證明對(duì)一切自然數(shù)都成立？如此諸多緘默感受會(huì)積壓在學(xué)生心頭.其實(shí)學(xué)生緘默困惑點(diǎn)有極大成分是數(shù)學(xué)式思維風(fēng)格導(dǎo)致的結(jié)果. 學(xué)生懵懂，教師難言.如果師生在教學(xué)中能經(jīng)常駐足停留片刻，返身自觀其思維活動(dòng)中涉及的思路、方法、觀念，進(jìn)行顯化慢分析，并與同伴交流，一方面能放大定格其中的數(shù)學(xué)式思維風(fēng)格，并有效固化在學(xué)生的觀念系統(tǒng)中；另一方面能幫助學(xué)生糾正模糊懵懂觀念上的偏差.比如定義直線的方向向量是為了刻畫和確定直線的方向，因?yàn)橹本€的方向相同指的是直線互相平行，而一條直線的法向量無(wú)法確定直線的方向.兩個(gè)不共線的法向量可以確定一個(gè)平面，而與平面垂直的直線方向是確定的，但用不共線的兩個(gè)法向量刻畫直線顯然不符合數(shù)學(xué)“思想的經(jīng)濟(jì)化精神”.講過(guò)橢圓第二定義后，教師可以讓學(xué)生反思一篇小論文：學(xué)過(guò)橢圓第二定義后，我們還可研究什么內(nèi)容，怎么研究？定義需作哪些改變？由數(shù)學(xué)的“統(tǒng)一建設(shè)的精神”學(xué)生知曉，前面既然討論了e<1，下面需要討論e>1，e=1的情況，這些教學(xué)內(nèi)容盡可以放手讓學(xué)生自己去探究.由于這些知識(shí)是學(xué)生自己親身“做數(shù)學(xué)”的體驗(yàn)，他們更易對(duì)數(shù)學(xué)式思維風(fēng)格在數(shù)學(xué)應(yīng)用中的普適有效有深刻的認(rèn)同感.

當(dāng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的基本認(rèn)識(shí)是以文化觀念為積淀而不是單純以知識(shí)為唯一目的，就可以獲得更長(zhǎng)久、更真實(shí)的對(duì)于數(shù)學(xué)的印象……這種長(zhǎng)久性只有在數(shù)學(xué)課程達(dá)到文化層面的時(shí)候才有可能達(dá)到.[8]只有持續(xù)地在教學(xué)中濡染數(shù)學(xué)式思維風(fēng)格，學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升才能不期而至，不為而成.在當(dāng)前應(yīng)試環(huán)境下，這是讓數(shù)學(xué)課程抵達(dá)文化層面的最佳途徑.

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