基于“類比體驗(yàn)”的教學(xué)設(shè)計(jì)

蘇建強(qiáng)

一、背景分析

浙教版《數(shù)學(xué)》七上“一元一次方程的應(yīng)用（1）”既是對解一元一次方程學(xué)習(xí)的自然延伸和拓展，也是建構(gòu)方程、函數(shù)模型解決實(shí)際問題的起始課，因而該內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)倍受教師的關(guān)注.但通過對大量相關(guān)教參、課件及設(shè)計(jì)的研究發(fā)現(xiàn)：一部分設(shè)計(jì)中，由于教師漠視了對方程建?；舅枷敕椒ǖ臍w納和提煉，教學(xué)過程成了小學(xué)階段學(xué)生學(xué)習(xí)相應(yīng)內(nèi)容的翻版和重復(fù)；而絕大部分設(shè)計(jì)中，因?yàn)槿笔Я藢W(xué)生對“為什么列方程”“怎么列方程”“怎么審題”“為什么要檢驗(yàn)”等問題釋疑的設(shè)計(jì)，致使整個(gè)教學(xué)過程脫離了學(xué)生學(xué)習(xí)的最近發(fā)展區(qū).

二、目標(biāo)定位

（1）在實(shí)踐探究中通過“類比”理解方程建模的必要性和一般方法，體會(huì)模型、類比思想在實(shí)際生活中的應(yīng)用，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)概括能力；

（2）通過對不同問題解決的類比、歸納，獲得并完善列方程解應(yīng)用題的初步經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)的能力.

三、教學(xué)片段的設(shè)計(jì)與實(shí)踐

（一）類比算理悟優(yōu)劣

設(shè)計(jì)中通過播放一段有關(guān)2014年仁川亞運(yùn)會(huì)的視頻，并由嘉嘉和善善的對話引入正題.

活動(dòng)背景1 中國隊(duì)在此次亞運(yùn)會(huì)上共獲得金牌151枚，銀牌108枚，銅牌83枚.

問題1 中國代表隊(duì)獲得的金牌數(shù)是印度代表隊(duì)獲得的金牌數(shù)的13倍還多8枚，求印度隊(duì)在本屆亞運(yùn)會(huì)上共獲得了幾枚金牌.

學(xué)生很快得到了以下兩種列式的方法：

算式法：（151-8）÷13.

方程法：設(shè)印度隊(duì)獲得x枚金牌數(shù)，由題意可得13x+8=151.

問題2 這兩種方法在思考問題的方向上有什么區(qū)別？

生：列算式是逆向的，列方程是正向的.

師：讓我們一起回憶一下小學(xué)里列算式解應(yīng)用題的一般思路：理清數(shù)量關(guān)系（如圖1，教師結(jié)合課件，一邊播放一邊引導(dǎo)學(xué)生分析）.

再倒過來列算式，這時(shí)是逆流而上（教師故意放慢語速，并配以自下而上的手勢）.而列方程呢，只要用字母表示未知量，順流而下，省時(shí)又省力（教師加快語速，同樣配以自上而下的手勢）.（略停頓）既然這樣，今天我們就選擇順流而下，看看列方程解應(yīng)用題在初中又會(huì)是怎樣的呢？（至此新課的導(dǎo)入已是水到渠成）

點(diǎn)評：設(shè)計(jì)中教師以仁川亞運(yùn)會(huì)中，中國代表隊(duì)和印度代表隊(duì)所獲獎(jiǎng)牌數(shù)為背景引入新課，符合七年級學(xué)生對新鮮事物充滿好奇的心理特點(diǎn)，從而有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)、探究的興趣.再通過類比兩種列式的方法在思維上的異同，輔之以媒體、語速和手勢的變化，使學(xué)生較直觀地感受到列方程的優(yōu)勢所在，既能激起學(xué)生自覺選擇列方程解應(yīng)用題的熱情，又能促使學(xué)生獲得方程建模的先行組織者.

（二）類比三量悟分工

活動(dòng)背景2 嘉嘉、善善兩人分別從相距49千米的“新聞中心”和“華城體育場”騎自行車相向而行，嘉嘉比善善提前半小時(shí)出發(fā)，且每小時(shí)比善善少行2千米，當(dāng)善善出發(fā)后2小時(shí)兩人相遇.

問題3 根據(jù)已知條件，我們還可以得到哪些信息呢？

生：（幾乎異口同聲）可以求嘉嘉和善善的速度；（零星的幾個(gè)聲音）那也可以求他們相遇時(shí)所走的路程.

師：那就求一求嘉嘉和善善的速度分別是多少吧！

教師要求學(xué)生獨(dú)立完成，之后引導(dǎo)學(xué)生針對解題過程中的問題分析原因，并歸納得列方程解應(yīng)用題的一般步驟.在此過程之中，學(xué)生還展示了不同的設(shè)元方法及所列方程.

方法1：設(shè)嘉嘉的速度為x千米/小時(shí)，可得2.5x+2（x+2）=49；

方法2：設(shè)善善的速度為x千米/小時(shí)，可得2.5（x-2）+2x=49；

方法3：設(shè)嘉嘉相遇時(shí)所走的路程為x千米，可得+2=；

方法4：設(shè)善善相遇時(shí)所走的路程為x千米，可得+2=.

問題4 在行程問題所涉及的三個(gè)基本量（速度、時(shí)間、路程）中，針對嘉嘉、善善來說哪些是已知量，哪些是未知量？

問題5 這兩個(gè)未知量在設(shè)元和列方程時(shí)，分別扮演了哪個(gè)角色？

通過對已知條件的分析可知嘉嘉和善善兩人相遇時(shí)所用的時(shí)間是已知量，速度及所走路程是未知量.進(jìn)而在對上述4種典型解法的類比分析后，不難歸納得到解決行程問題時(shí)三個(gè)基本量扮演著不同角色，即“一量知，一量設(shè)，還有一量列等量”.

點(diǎn)評：在教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師沒有采用師生共同“分析題意—列方程解題—?dú)w納一般步驟”的常規(guī)思路.而是基于學(xué)生已有發(fā)展水平，采用了學(xué)生“體驗(yàn)列方程解題—交流解題思路—?dú)w納一般步驟”的教學(xué)策略，充分關(guān)注了學(xué)生“主體”地位的發(fā)揮.在引導(dǎo)學(xué)生分析三量間的分工時(shí)，教師更以一句“難道，這三量之間還真有分工？”燃起了學(xué)生通過“類比”的方法尋求不同方法中所隱含的規(guī)律的熱情.

（三）類比方程悟本質(zhì)

正當(dāng)學(xué)生沉浸于發(fā)現(xiàn)三量分工的竊喜之中時(shí)，教師給出了第6問.

問題6 審題分析有章可循了，列方程有規(guī)律嗎？有怎樣的規(guī)律呢？

教師通過引導(dǎo)學(xué)生類比上述的方法1、方法3所列方程兩邊的代數(shù)式進(jìn)行分析，歸納得到列方程的實(shí)質(zhì)是“用不同的代數(shù)式表示同一個(gè)量，并用等號(hào)連結(jié)”，列方程的基本方法是“直接列，間接列，兩式等號(hào)兩邊立”.

師：（教師指著板書中的4種典型解法）請按照大組序號(hào)分別選擇對應(yīng)的設(shè)元方法，再列出一個(gè)不同形式的方程，并說說方程兩邊的代數(shù)式都表示什么？

片刻之后，學(xué)生所列的方程就五花八門地呈現(xiàn)在黑板上了.

方法1：根據(jù)相遇時(shí)嘉嘉所走路程得2.5x=49-2（x+2）；方法2：根據(jù)相遇時(shí)善善所走路程得2（x+2）=49-2.5x；方法3：根據(jù)嘉嘉的速度得=-2；方法4：根據(jù)兩人速度差為2得-=2；…endprint

點(diǎn)評：一波未平又起一浪，隨著問題6的解決，讓原本“眼前一亮”的學(xué)生更體會(huì)到了數(shù)學(xué)的“神奇”.隨著學(xué)生所列的新方程在黑板上令人眼花繚亂地呈現(xiàn)之時(shí)，聽課教師眼中的“列方程解應(yīng)用題，會(huì)者自會(huì)，不會(huì)者學(xué)也學(xué)不會(huì)”的“魔咒”不攻自破，學(xué)生心中的“數(shù)學(xué)不難，數(shù)學(xué)問題的解決是有規(guī)律的”之感油然而生.

（四）類比沖突顯地位

活動(dòng)背景3 某天，游泳中心共賣出門票1601張，折合人民幣的收入為61639元，全價(jià)票為每張40元，折扣票每張為全價(jià)票的九折.

問題7 請求出這天游泳中心共賣出全價(jià)票幾張？

由“活動(dòng)背景2”的鋪墊，大部分學(xué)生很快就完成了設(shè)元、列方程兩個(gè)步驟.不一會(huì)兒，幾個(gè)解題速度較快的同學(xué)面露“難”色，口中念叨著“老師，怎么票子的張數(shù)不是整數(shù)？”與此同時(shí)，在教室里聽課的幾個(gè)老師也竊竊私語起來.

師：不會(huì)吧！票子的張數(shù)肯定是正整數(shù)，同桌之間互相檢查一下，是不是方程列錯(cuò)了，要么是方程解錯(cuò)了，照理不可能有其他原因了.

生：老師，我的做法應(yīng)該沒有問題（聲音顯得有些不自信）.

師：讓我們一起看看這位同學(xué)的解法，問題到底出在哪里？

通過師生共同分析發(fā)現(xiàn)這位同學(xué)的解法的確沒有問題，且75%的同學(xué)采用了類似的做法.此時(shí)教師話鋒一轉(zhuǎn)，道明緣由“原來是在網(wǎng)上搜索數(shù)據(jù)時(shí)把總收入的個(gè)位數(shù)抄錯(cuò)了”，并引出下問.

問題8 請把總收入的個(gè)位數(shù)改一改，使這天賣出的票數(shù)為整數(shù).

隨著教室后排的一個(gè)聲音響起（老師，只要把“9”改成“6”就可以了），教師有意安排的“思維沖突”逐漸進(jìn)入了收尾小結(jié)階段.

點(diǎn)評：問題解決后的反思向來是學(xué)生的一個(gè)“弱項(xiàng)”，教師再三強(qiáng)調(diào)的“檢驗(yàn)”在關(guān)鍵時(shí)刻學(xué)生還是會(huì)“忘了”.在“活動(dòng)背景2”的解決中，教師只點(diǎn)到為止說明了列方程解應(yīng)用題要求檢驗(yàn)，并沒有做過多強(qiáng)調(diào).而在“活動(dòng)背景3”的解決中，教師卻有意安排了一個(gè)“錯(cuò)誤”營造檢驗(yàn)必要性的“氛圍”，這樣的類比也是本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)中獨(dú)具匠心之處.隨著從“6錯(cuò)抄成9”到“9還原成6”（當(dāng)然，9也可還原成2）的“思維沖突”的形成與“數(shù)據(jù)修復(fù)”的完成，驗(yàn)根反思的必要性也深深映入學(xué)生的記憶之中.

（五）類比情境悟通法

問題9 “活動(dòng)2”“活動(dòng)3”中問題的解決都用了列方程的方法，類比兩活動(dòng)的背景你能找出它們之間的聯(lián)系嗎（教師在“背景”兩字上略加重語氣）？

“如果把票子的單價(jià)看作是速度，那么票子的張數(shù)就是時(shí)間……”，學(xué)生七嘴八舌地互相補(bǔ)充后，教師如圖2點(diǎn)明了這類問題的實(shí)質(zhì)都是a×b=c型的問題.接著教師又如此引導(dǎo)道：“其中三量間的分工，一量知，一量…… ”

點(diǎn)評：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)沒有一定解題的量的積累就不可能有學(xué)生對數(shù)學(xué)本源的質(zhì)的感悟，但只有解題而缺少類比、反思的學(xué)習(xí)將留下的是“入得寶山而空手歸”的遺憾.“問題9”的設(shè)計(jì)不僅給人以在整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)中有“長江后浪推前浪”之感，還讓人看到了“輕負(fù)高質(zhì)”“走出題?！钡囊痪€曙光.

四、思考

（一）基于學(xué)生疑問明確教學(xué)重難點(diǎn)

在教學(xué)設(shè)計(jì)中，很多教師都苦于找不到“過人之處”，抱怨自己的課“很難上”.其實(shí)，這樣的課往往是努力方向最明確、潛在亮點(diǎn)最多的課，學(xué)生學(xué)習(xí)中的疑問就是教學(xué)設(shè)計(jì)中的亮點(diǎn)所在之處.本課設(shè)計(jì)中，教學(xué)始終圍繞“為什么要列方程而不用算式”“怎么分析題意、審題”“列方程的一般方法是怎樣的”“為什么一定要檢驗(yàn)”等問題展開，一環(huán)緊扣一環(huán)，每一活動(dòng)的開展都基于之前學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，自然又不流于形式.

（二）著眼學(xué)生能力提升開展類比體驗(yàn)

鄭毓信教授曾指出數(shù)學(xué)就是要讓學(xué)生“數(shù)學(xué)地思考問題，用數(shù)學(xué)的眼睛看世界”.而用數(shù)學(xué)的思維思考問題，用數(shù)學(xué)的眼睛看世界的基本方法之一就是“類比”.比較才知事物之間的相同點(diǎn)——聯(lián)系，比較了才明事物之間的不同點(diǎn)——區(qū)別，只有知“聯(lián)系”明“區(qū)別”，才能真正認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì).本課設(shè)計(jì)中，從“選擇列方程的方法解應(yīng)用題”到“問題解決中檢驗(yàn)必要性的體驗(yàn)”，都以學(xué)生親身經(jīng)歷為切入點(diǎn)，通過營造適合學(xué)生實(shí)際的教學(xué)情境實(shí)現(xiàn)“類比”；從“三量之間的分工”“列方程的基本方法”到“不同題型的通解通法”的歸納，無不在學(xué)生一次次的觀察、類比、猜想與驗(yàn)證中完成. 在一次次的“類比”中，學(xué)生的思維得到了發(fā)展，能力得到了提升.endprint