氣動(dòng)變載荷加載系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階PID控制①

郭根旺 劉福才 龔正陽(yáng)

(燕山大學(xué)工業(yè)計(jì)算機(jī)控制工程河北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 秦皇島 066004)

0 引 言

氣動(dòng)技術(shù)具有價(jià)格低廉、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、工作可靠和無(wú)污染等一系列顯著的優(yōu)點(diǎn)，已經(jīng)在生產(chǎn)制造、醫(yī)療器械、儀器儀表等諸多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，成為工業(yè)生產(chǎn)中的重要手段之一[1]。在氣動(dòng)裝置控制領(lǐng)域，通常使用對(duì)電氣比例閥的控制實(shí)現(xiàn)氣動(dòng)裝置位置或壓力的控制。但由于氣體所具有的可壓縮性、流動(dòng)狀態(tài)復(fù)雜以及器件的非線性等問(wèn)題，導(dǎo)致了氣動(dòng)系統(tǒng)具有很強(qiáng)的非線性和時(shí)變性[2]。因此氣動(dòng)加載系統(tǒng)在實(shí)現(xiàn)高精度的控制方面存在著一定的困難，而設(shè)計(jì)一種可靠的控制器提高氣動(dòng)加載系統(tǒng)的控制精度具有重要的意義。

為了更好地實(shí)現(xiàn)氣動(dòng)變載荷加載系統(tǒng)的控制，近年來(lái)大量學(xué)者對(duì)氣動(dòng)系統(tǒng)的控制進(jìn)行了深入的研究。文獻(xiàn)[3]利用模糊狀態(tài)反饋的方法調(diào)節(jié)傳統(tǒng)PID控制的增益參數(shù)，使得氣動(dòng)裝置能夠?qū)崿F(xiàn)高精度的定位。文獻(xiàn)[4]采用了組合自校正控制器，有效地抑制了摩擦力等干擾因素對(duì)系統(tǒng)的影響，增強(qiáng)了氣動(dòng)伺服系統(tǒng)的魯棒性，有效地實(shí)現(xiàn)了氣動(dòng)裝置的精確定位。文獻(xiàn)[5]采用模糊PID控制器對(duì)氣動(dòng)裝置輸出壓力進(jìn)行控制，通過(guò)對(duì)偏差和偏差的變化率進(jìn)行模糊推理，在線調(diào)整PID的3個(gè)參數(shù)，由于模糊PID控制具有很好的自學(xué)習(xí)能力，增強(qiáng)了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，使控制具有了很好的自適應(yīng)能力，實(shí)現(xiàn)了壓力的精確輸出。文獻(xiàn)[6]提出了一種不依賴于模型的積分型線性自抗擾控制器，通過(guò)擴(kuò)張觀測(cè)器對(duì)干擾信號(hào)進(jìn)行估計(jì)和補(bǔ)償，并引入積分環(huán)節(jié)彌補(bǔ)了系統(tǒng)的非線性，消除了靜差，很好地實(shí)現(xiàn)了壓力的跟隨輸出。

上述幾種控制算法均得到了滿意的控制效果，但上述幾種算法存在著理論性較強(qiáng)、推導(dǎo)過(guò)程復(fù)雜、計(jì)算量較大等問(wèn)題，難以在實(shí)際工程中推廣，因此本文提出了在傳統(tǒng)整數(shù)階PID基礎(chǔ)上改進(jìn)的分?jǐn)?shù)階PID控制(fractional order PID，F(xiàn)OPID)。FOPID控制不依賴于系統(tǒng)模型，相較于傳統(tǒng)整數(shù)階PID控制增加了2個(gè)可調(diào)參數(shù)[7]，并采用粒子群算法對(duì)參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，提高了參數(shù)的精度，有效提高了氣動(dòng)加載系統(tǒng)的控制效果。

1 氣動(dòng)變載荷加載系統(tǒng)分析

本文所研究的是基于摩擦磨損試驗(yàn)機(jī)的氣動(dòng)變載荷加載系統(tǒng)，該系統(tǒng)通過(guò)氣動(dòng)壓力加載模擬重力作用，相對(duì)于砝碼和液壓加載，氣動(dòng)加載更易實(shí)現(xiàn)變載荷控制[8]。裝置示意圖如圖1所示，其主要包括無(wú)油氣泵、氣動(dòng)三聯(lián)件、減壓閥、SMC的ITV2050電氣比例閥、二位五通閥、單桿雙作用氣缸、MCL-L壓力傳感器，工控機(jī)、數(shù)據(jù)采集卡、模擬量輸出卡和在無(wú)刷電機(jī)帶動(dòng)下可以旋轉(zhuǎn)的樣品臺(tái)。工控機(jī)通過(guò)PCI-1710U數(shù)據(jù)采集卡采集壓力傳感器的檢測(cè)數(shù)據(jù)，利用微軟基礎(chǔ)類(lèi)庫(kù)設(shè)計(jì)了實(shí)時(shí)控制程序，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，輸出信號(hào)經(jīng)PCI-1720模擬量輸出卡轉(zhuǎn)換為4～20 mA電流信號(hào)作用于電氣比例閥，實(shí)現(xiàn)了控制單桿雙作用氣缸壓力跟隨給定波形的輸出。該氣動(dòng)加載系統(tǒng)的物理參數(shù)如表1所示。通過(guò)對(duì)氣動(dòng)加載系統(tǒng)的分析，文獻(xiàn)[9]得出其模型的狀態(tài)方程如式(1)所示。

圖1 氣動(dòng)壓力加載系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

表1 氣動(dòng)加載系統(tǒng)物理參數(shù)表

(1)

2 分?jǐn)?shù)階PID控制器

FOPID控制為分?jǐn)?shù)階微分和積分的組合，其控制器結(jié)構(gòu)如式(2)所示，控制器中引入了微分和積分非整數(shù)階次，相對(duì)于整數(shù)階PID多了2個(gè)自由度，因此FOPID不僅可以適用于整數(shù)階PID的控制，而且增加了其靈活性，更加適用于非線性系統(tǒng)的控制，從而獲得比整數(shù)階PID更好的控制效果。

(2)

控制器結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。

圖2 分?jǐn)?shù)階PID控制器結(jié)構(gòu)圖

FOPID控制器是一個(gè)無(wú)限維的控制器，不能直接設(shè)計(jì)控制器，必須采用一些特殊的方法加以實(shí)現(xiàn)。在實(shí)際應(yīng)用中常采用一個(gè)有限維的階次方程來(lái)近似化FOPID控制器。FOPID控制器近似化分為間接近似和直接近似2大類(lèi)，間接法是將分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)近似轉(zhuǎn)化為一個(gè)連續(xù)的整數(shù)階系統(tǒng)，然后進(jìn)行離散化；直接法是將分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)直接離散化，再通過(guò)某種手段進(jìn)行有限化處理。

間接近似化經(jīng)過(guò)不斷的研究比較，目前常采用Oustaloup近似化的方法，以微分算子sμ為例，Oustaloup近似化可以在(ωb，ωh)的頻域段內(nèi)對(duì)其進(jìn)行近似化處理，其近似化處理公式如式(3)所示。

(3)

公式中未知參數(shù)的求解如下：

(4)

其中2N+1為近似化次數(shù)。

上述近似方法在頻率范圍兩端仍存在較大的誤差。經(jīng)過(guò)不斷的研究改進(jìn)得到了精度更高的改進(jìn)型Oustaloup近似法[10]：

(5)

公式中未知參數(shù)的求解如下：

(6)

式中，系數(shù)b和d的選取對(duì)近似化的結(jié)果具有重要的影響，通過(guò)對(duì)近似化方法不斷的理論分析與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，求得b=10、d=9時(shí)近似化效果最好[11]。

直接法設(shè)計(jì)FOPID離散控制器采用的方法是Tustin+CFF法。該方法首先將分?jǐn)?shù)階微積分算子利用Tustin離散化方法進(jìn)行離散化處理。其中T為采樣周期，計(jì)算公式如下[12]：

(7)

由于生成函數(shù)為無(wú)理函數(shù)，通常采用連分式展開(kāi)式(continued fraction expansion,CEF)的方法對(duì)生成函數(shù)進(jìn)行有理化處理。連分式的表達(dá)式為

(8)

通過(guò)簡(jiǎn)化計(jì)算，以逼近3階近似化模型為例，微積分算子sr的離散化模型為

(9)

3 粒子群優(yōu)化算法

粒子群優(yōu)化算法是假設(shè)在一個(gè)D維的目標(biāo)搜索空間中，N個(gè)沒(méi)有質(zhì)量和體積的粒子組成一個(gè)群落，第i個(gè)粒子的位置為xi=(xi1,xi2,…,xiD)，該粒子的飛行速度vi=(vi1,vi2,…,viD)，該粒子經(jīng)歷的最優(yōu)位置pbest=(pi1,pi2,…,piD)稱為個(gè)體極值，i=1,2,…,N。粒子群迄今為止搜索到的最優(yōu)位置稱為全局極值gbest=(g1,g2,…,gD)，引入適應(yīng)度函數(shù)作為評(píng)價(jià)因子，通過(guò)不斷迭代，使每個(gè)粒子不斷地向自身歷史最佳位置和全局歷史最佳位置聚集，當(dāng)達(dá)到最大迭代次數(shù)或滿足優(yōu)化條件后結(jié)束[13，14]。本文中采用了帶有權(quán)重的粒子群算法，該改進(jìn)算法能夠取得更好的收斂效果。

(10)

其中，c1和c2為粒子群優(yōu)化算法的學(xué)習(xí)因子，r1(t)和r2(t)為[0，1]區(qū)間的隨機(jī)數(shù)，w是權(quán)重,目前常采用的變換公式為

(11)

其中，wmax為最大權(quán)重，一般取0.9；wmin為最小權(quán)重，一般取0.4；Tmax為最大迭代次數(shù)，t為當(dāng)前迭代次數(shù)。

氣動(dòng)加載系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)主要通過(guò)調(diào)節(jié)FOPID的5個(gè)參數(shù)來(lái)改善控制系統(tǒng)的性能，綜合考慮系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速性，本文采用的適應(yīng)度函數(shù)如式(12)所示。

(12)

其中e(t)為誤差[15]。

4 控制系統(tǒng)仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 系統(tǒng)仿真驗(yàn)證

仿真過(guò)程中利用Simulink對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行構(gòu)建，采用粒子群算法對(duì)控制器參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，利用優(yōu)化參數(shù)設(shè)計(jì)了FOPID控制器，其中粒子群優(yōu)化算法的種群規(guī)模N=100，迭代次數(shù)為50，當(dāng)階躍信號(hào)輸入時(shí)，尋優(yōu)過(guò)程如圖3所示。

圖3 尋優(yōu)過(guò)程圖

圖4的輸入信號(hào)為壓力F=100 N的恒值信號(hào)，從仿真結(jié)果可以看出，傳統(tǒng)整數(shù)階PID的響應(yīng)速度慢，超調(diào)量較大，采用FOPID控制后可以有效地加快響應(yīng)速度和降低超調(diào)量。

圖4 恒值加載仿真跟蹤曲線圖

圖5的輸入信號(hào)為周期T=10 s、壓力F=20～100 N的正弦波信號(hào)，由圖5仿真曲線可以看出傳統(tǒng)整數(shù)階PID控制具有明顯的超調(diào)，而FOPID控制時(shí)超調(diào)量小，且其仿真曲線更加平滑、抖動(dòng)小。

圖5 正弦波加載仿真跟蹤曲線圖

圖6的輸入信號(hào)為周期T=10 s、壓力F=20～100 N的三角波信號(hào)，由圖6可知，在傳統(tǒng)整數(shù)階PID控制時(shí)跟蹤曲線存在抖振，并存在滯后性，而在FOPID控制下跟蹤曲線沒(méi)有抖振和滯后，且尖端跟蹤效果更好，表明FOPID控制在三角波信號(hào)輸入時(shí)能夠取得顯著的改進(jìn)效果。

圖6 三角波加載仿真跟蹤曲線圖

圖7的輸入信號(hào)為周期T=10 s、壓力F=20～100 N的方波信號(hào)，從仿真圖中可以看出當(dāng)信號(hào)發(fā)生階躍突變時(shí)，F(xiàn)OPID控制的響應(yīng)速度更快，且誤差相比傳統(tǒng)整數(shù)階PID更小，跟蹤效果良好。

圖7 方波加載仿真跟蹤曲線圖

4.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證FOPID控制器在實(shí)際工程中的效果,本文利用圖8所示的氣動(dòng)變載荷摩擦磨損試驗(yàn)機(jī)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。該裝置可完成測(cè)試不同重力條件下空間機(jī)構(gòu)摩擦磨損的實(shí)驗(yàn)，首先對(duì)該系統(tǒng)在下樣件靜止時(shí)輸入4種不同波形的信號(hào)，得出跟蹤曲線和誤差曲線，然后將下樣件在電機(jī)帶動(dòng)下旋轉(zhuǎn)，并可實(shí)現(xiàn)樣品臺(tái)小幅度的上下振動(dòng)，從而相當(dāng)于對(duì)氣動(dòng)加載系統(tǒng)加入外部干擾，同樣進(jìn)行4種輸入波形的測(cè)試，得出跟蹤曲線和誤差曲線。

圖8 氣動(dòng)壓力加載系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

圖9中分別為加載壓力F=100 N的恒值加載時(shí)下樣件不同狀態(tài)下的跟蹤曲線和誤差曲線。由實(shí)驗(yàn)曲線可以看出，在傳統(tǒng)整數(shù)階PID控制時(shí)，響應(yīng)速度慢，當(dāng)下樣件旋轉(zhuǎn)后誤差明顯變大，而FOPID控制時(shí)響應(yīng)速度快，誤差小，當(dāng)下樣件旋轉(zhuǎn)后誤差變化小，抗干擾能力強(qiáng)，控制效果良好。

圖9 恒值加載實(shí)驗(yàn)曲線圖

圖10中分別為周期T=10 s，壓力F=20～100 N的正弦波加載時(shí)下樣件不同狀態(tài)下的跟蹤曲線和誤差曲線。從響應(yīng)曲線可以看出，當(dāng)正弦波信號(hào)加載時(shí)，F(xiàn)OPID控制下的跟蹤曲線抖振小，曲線平滑，滯后性和抗干擾能力都優(yōu)于傳統(tǒng)整數(shù)階PID，實(shí)現(xiàn)了正弦波信號(hào)較好的跟蹤。

圖10 正弦波加載實(shí)驗(yàn)曲線圖

圖11中分別為周期T=10 s，壓力F=20～100 N的三角波加載時(shí)下樣件不同狀態(tài)下的跟蹤曲線和誤差曲線。從實(shí)驗(yàn)圖分析可知，當(dāng)三角波加載時(shí)傳統(tǒng)整數(shù)階PID控制的跟蹤曲線出現(xiàn)了明顯的畸變，尤其在尖端點(diǎn)誤差較大，且存在較大的時(shí)滯，采用FOPID控制后，跟蹤曲線震蕩小，時(shí)滯小，在尖端點(diǎn)也能夠?qū)崿F(xiàn)較好的跟蹤。

圖11 三角波加載實(shí)驗(yàn)曲線圖

圖12中分別為周期T=10 s，壓力F=20～100 N的方波加載時(shí)下樣件不同狀態(tài)下的跟蹤曲線和誤差曲線。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)給定信號(hào)發(fā)生階躍突變時(shí)，傳統(tǒng)整數(shù)階PID控制的響應(yīng)速度慢，不能快速地實(shí)現(xiàn)對(duì)輸入信號(hào)有效的跟蹤，跟蹤誤差大，當(dāng)采用FOPID控制時(shí)響應(yīng)速度快，給定信號(hào)發(fā)生突變時(shí)能夠更加有效地實(shí)現(xiàn)信號(hào)跟蹤。

圖12 方波加載實(shí)驗(yàn)曲線圖

5 結(jié) 論

氣動(dòng)裝置系統(tǒng)具有成本低、維護(hù)簡(jiǎn)單、清潔可靠、實(shí)用性強(qiáng)等一系列顯著的優(yōu)點(diǎn)，但氣動(dòng)裝置也存在著氣體可壓縮性、氣體流動(dòng)狀態(tài)復(fù)雜，氣體受外界溫度影響較大，響應(yīng)速度慢以及器件存在非線性等一系列不利于控制的因素，傳統(tǒng)整數(shù)階PID控制在控制氣動(dòng)裝置方面存在著不足，影響氣動(dòng)裝置的實(shí)際應(yīng)用效果。

本文針對(duì)上述氣動(dòng)加載系統(tǒng)存在的缺點(diǎn)提出了FOPID控制，對(duì)FOPID控制器的實(shí)現(xiàn)方法進(jìn)行了詳細(xì)的介紹，針對(duì)FOPID在設(shè)計(jì)中存在參數(shù)較多的問(wèn)題采用粒子群優(yōu)化算法對(duì)參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，利用Matlab進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，設(shè)計(jì)了離散數(shù)字控制器，并在氣動(dòng)壓力加載摩擦磨損試驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，將FOPID控制效果和傳統(tǒng)整數(shù)階PID的控制效果進(jìn)行了比較，從多方面充分證明了FOPID可以取得更好的控制效果。