《反比例函數(shù)》中的數(shù)學(xué)思想

□劉頓

《反比例函數(shù)》中的數(shù)學(xué)思想

□劉頓

數(shù)學(xué)思想是人們對(duì)數(shù)學(xué)理論和內(nèi)容的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體化形式，實(shí)際上兩者的本質(zhì)是相同的，差別只是站在不同的角度看問(wèn)題.通?；旆Q為“數(shù)學(xué)思想方法”.常見(jiàn)的數(shù)學(xué)四大思想為：轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程.

一、轉(zhuǎn)化與化歸思想

例1如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy，一次函數(shù)y＝ax＋b的圖象與x軸交于點(diǎn)A（－2，0），與y軸交于點(diǎn)C，與反比例函數(shù)在第一象限的圖象交于點(diǎn)B（m，n），連結(jié)OB，若S△AOB＝6，S△BOC＝2.

（1）求一次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求反比例函數(shù)的表達(dá)式.

圖1　

分析：要求兩個(gè)函數(shù)的解析式，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)B的坐標(biāo)，此時(shí)由△AOB、△BOC的面積可得到△AOC的面積，再由點(diǎn)A的坐標(biāo)可得到OC的長(zhǎng)度.同理可得到△BOC中OC邊上的高、△AOB中AO邊上的高，即點(diǎn)B的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo).

解：如圖1，過(guò)點(diǎn)B分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、D，連接OB.

∵S△AOB＝6，S△BOC＝2，

∴S△AOC＝4.

又∵點(diǎn)A（－2，0），

∴OA＝2，∴OC＝4，

∵S△BOC＝2，∴BD＝1，

∵AO＝2，S△AOB＝6，

∴BE＝6，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，6）.

（1）∵一次函數(shù)y＝ax＋b的圖象過(guò)點(diǎn)A、B，

即一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝2x＋4.

點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)表達(dá)式，一般先根據(jù)題意，求出圖象上相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法列方程求解.對(duì)于一次函數(shù)，需要確定圖象上兩點(diǎn)的坐標(biāo)，而反比例函數(shù)只要確定圖象上一點(diǎn)的坐標(biāo)即可.

二、分類討論思想

例2如圖2，已知矩形OABC的一個(gè)頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2），反比例函數(shù)（k＞0）的圖象經(jīng)過(guò)矩形的對(duì)稱中心E，且與邊BC交于點(diǎn)D.

（1）求反比例函數(shù)的解析式和點(diǎn)D的坐標(biāo).

（2）若過(guò)點(diǎn)D的直線y＝mx＋n將矩形OABC的面積分成3∶5的兩部分，求此直線的解析式.

圖2　

分析：（1）先求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后可以求出反比例函數(shù)的解析式，而點(diǎn)D的縱坐標(biāo)和點(diǎn)B相同，代入反比例函數(shù)解析式可以求出橫坐標(biāo).（2）分情況求解.點(diǎn)D的坐標(biāo)已知，可以在OA、OC、AB邊上分別作出把矩形OABC的面積分成3∶5的兩部分的點(diǎn)的草圖，然后求出這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，最后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式.

解：（1）∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2），矩形的對(duì)稱中心為點(diǎn)E，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，1）.

又∵CB∥OA，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2），∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為2.

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2）.

（2）①當(dāng)直線y＝mx＋n與矩形的另一個(gè)交點(diǎn)在OC上時(shí)，直線y＝mx＋n左側(cè)最大面積為

而S矩形OABC＝OA×OC＝8，

不符合要求，

因此直線y＝mx＋n與矩形的另一個(gè)交點(diǎn)不可能在OC上.

②當(dāng)直線y＝mx＋n與矩形的另一個(gè)交點(diǎn)在OA上時(shí)，設(shè)在OA邊上有點(diǎn)F，直線y＝mx＋n過(guò)點(diǎn)F且將矩形OABC的面積分成3∶5的兩部分，如圖2，設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x，0）.

根據(jù)題意，得再分兩種情形：

解得x＝2，∴F（2，0），

∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，0），

∴y＝－2x＋4；

解得x＝4，∴F（4，0），

此時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)A重合，

∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，0），

③當(dāng)直線y＝mx＋n與矩形的另一個(gè)交點(diǎn)在AB上時(shí)，直線y＝mx＋n右側(cè)最大面積為

而S矩形OABC＝OA×OC＝8，

∴符合要求，通過(guò)上一步可得此時(shí)直線y＝mx＋n的解析式為y＝

點(diǎn)評(píng)：分情況討論是我們經(jīng)常遇到的問(wèn)題，解答此類題目往往丟分較多，會(huì)出現(xiàn)不懂什么時(shí)候分類和分類遺漏造成的錯(cuò)誤.在本題中，容易出錯(cuò)的地方是第（2）小題求解析式時(shí)，一是想當(dāng)然地認(rèn)為要求的點(diǎn)一定在邊OA上，忽視點(diǎn)在其他兩個(gè)邊上的情況；二是當(dāng)點(diǎn)在OA上時(shí)，誤認(rèn)為一定是左邊的圖形與右邊的圖形面積比是3∶5，忽視左右比是5∶3的情況.

三、數(shù)形結(jié)合思想

例3如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)B（2，1）.

圖3　

（1）求m的值和一次函數(shù)y＝kx＋b的解析式；

（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（2，1），

又∵一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象經(jīng)過(guò)A（1，0），B（2，1），

∴一次函數(shù)的解析式為y＝x－1.

（2）由圖象看出，當(dāng)x＞2時(shí)，一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象在反比例函數(shù)的圖象上方，即當(dāng)x＞2時(shí)，成立，∴不等式的解集為x＞2.

四、函數(shù)與方程思想

例4將油箱注滿k升油后，轎車(chē)可行駛的總路程s（單位：千米）與平均耗油量a（單位：升/千米）之間是反比例函數(shù)關(guān)系（k是常數(shù)，k≠0）.已知某轎車(chē)油箱注滿油后，以平均耗油量為每千米耗油0.1升的速度行駛，可行駛700千米.

（1）求該轎車(chē)可行駛的總路程s與平均耗油量a之間的函數(shù)解析式（關(guān)系式）.

（2）當(dāng)平均耗油量為0.08升/千米時(shí)，該轎車(chē)可以行駛多少千米？

（2）利用（1）的中解析式求解.

∴該轎車(chē)可行駛的總路程s與平均耗油量a之間的函數(shù)解析式為了

∴當(dāng)平均耗油量為0.08升/千米時(shí)，該轎車(chē)可以行駛875千米.

點(diǎn)評(píng)：要利用反比例函數(shù)的關(guān)系式來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，就得先求出反比例函數(shù)關(guān)系中的k，要知道這個(gè)k就得有一個(gè)相關(guān)的條件.