“復(fù)式雙曲線”型問題探微

□王美蘭魏祖成

“復(fù)式雙曲線”型問題探微

□王美蘭魏祖成

在同一坐標(biāo)系中的兩條不同的雙曲線，我們稱之為“復(fù)式雙曲線”.以“復(fù)式雙曲線”為載體的試題，融入了豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想，結(jié)構(gòu)獨(dú)特，思維含量高，呈現(xiàn)形式新，現(xiàn)列舉幾例，從不同角度入手，歸納出這類問題的解題策略.

一、利用面積求值

例1如圖1，以O(shè)為中心的平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A、C在雙曲線上，B、D在雙曲線上，k1＝2k2（k1＞0），AB∥y軸，S?ABCD＝ 24，則k1＝__________.

圖1　

解析：利用平行四邊形的性質(zhì)設(shè)A（x，y1）、B（x，y2)，根據(jù)反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的性質(zhì)可知C（－x，－y1）、D（－x，－y2）.由反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別代入它們所在的函數(shù)圖象的解析式，求得y1＝－2y2，最后根據(jù)·2x＝24，可以求得k2＝y(tǒng)2x＝4，故k1＝8.

圖2　

（1）求雙曲線y1與y2的解析式；

（2）若平行于x軸的直線l交雙曲線y1于點(diǎn)A，交雙曲線y2于點(diǎn)B，在x軸上存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)A，B，O，P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

圖3　

（2）因?yàn)殡p曲線y1與y2關(guān)于y軸對稱，所以點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱，有OA＝OB.設(shè)，則，AB＝2m，因?yàn)樗倪呅蜲PAB是菱形，則OB＝AB，∴OA＝AB＝OB，所以△OAB是等邊三角形.所以∠AOB＝60°，設(shè)AB交y軸于E，則∠AOE＝30°，所以，m＝±3.又m＞0，所以m＝3，所以P（6，0）.同理，當(dāng)四邊形OABP是菱形時(shí)，P（－6，0）.綜上所述，滿足要求的點(diǎn)P有P（6，0）或P（－6，0）.

二、利用k求面積

圖4　

A.2B.3C.4D.5

圖5　

解析：分別過A、B作x軸垂線，垂足分別為E、F，則S?ABCD＝S?AEFB＝5.

A.5B.6C.7D.8

圖6　

解析：連接OP，由反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可求出△OPC及△OAC的面積分別為3和，進(jìn)而可得出△OPA的面積為同理△OPB的面積也為，所以四邊形PAOB的面積為5，故選A.