旋轉(zhuǎn)降落傘系統(tǒng)角運動及穩(wěn)定性分析

馬曉冬，郭 銳，劉榮忠，呂勝濤

（南京理工大學 智能彈藥技術國防重點實驗室，南京210094）

旋轉(zhuǎn)傘是一類具有非軸對稱結(jié)構(gòu)的降落傘，充滿時傘衣形成與旋轉(zhuǎn)方向一致的排氣口。旋轉(zhuǎn)傘在空中下落時，流入傘衣的氣流從排氣口排出，產(chǎn)生的反作用力矩使傘衣繞傘軸旋轉(zhuǎn)。傘衣的高速旋轉(zhuǎn)使帶旋轉(zhuǎn)傘的傘物系統(tǒng)下降時具有良好的穩(wěn)定性［1］。隨著兵器技術、航空航天技術的飛速發(fā)展，旋轉(zhuǎn)傘作為氣動力減速器得到了廣泛應用，如末敏子彈的減速導旋主傘［2］等。

作為重要的減速裝置，降落傘具有良好的運動穩(wěn)定性是其可靠工作的必要條件，所以傘物系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究十分重要。文獻［3－4］通過理論建模，對運動方程線性化處理，給出了物傘系統(tǒng)平面運動的穩(wěn)定性判據(jù)。文獻［5］建立了傘艙系統(tǒng)剛性連接和彈性連接時的數(shù)學模型，分析了降落傘側(cè)向力系數(shù)、吊帶長度、降落傘和載荷質(zhì)量比及吊帶性質(zhì)對系統(tǒng)運動穩(wěn)定性的影響?？砂l(fā)現(xiàn)，已有運動穩(wěn)定性研究多關注結(jié)構(gòu)軸對稱的降落傘，對旋轉(zhuǎn)傘運動穩(wěn)定性的研究甚少。雖然文獻［1］指出旋轉(zhuǎn)傘由于高速旋轉(zhuǎn)而具有良好的穩(wěn)定性，但其運動穩(wěn)定性的相關規(guī)律還有待探索。

為了了解旋轉(zhuǎn)傘的運動穩(wěn)定性，本文從理論建模出發(fā)，建立旋轉(zhuǎn)傘－載物系統(tǒng)角運動的數(shù)學模型，研究系統(tǒng)主要參數(shù)對運動穩(wěn)定性的影響。

1 旋轉(zhuǎn)降落傘系統(tǒng)運動方程

1.1 基本假設

旋轉(zhuǎn)傘系統(tǒng)簡圖如圖1所示。處于平衡狀態(tài)的旋轉(zhuǎn)傘系統(tǒng)受到小擾動時，旋轉(zhuǎn)傘的充滿形狀及其與載物間的相對位置不發(fā)生明顯變化，故運動穩(wěn)定性分析時，采用如下假設：

①旋轉(zhuǎn)傘和載物均為剛體，且二者剛性連接。②只考慮旋轉(zhuǎn)傘的空氣動力，氣動力參數(shù)為常數(shù)，旋轉(zhuǎn)傘的壓心與質(zhì)心位置重合。③載物為一圓柱體，其軸線與傘軸重合。④不考慮風的影響。

圖1 傘彈系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡圖

1.2 坐標系

地面坐標系O0xyz，原點為初始時刻系統(tǒng)質(zhì)心在地面的投影，O0x軸沿水平線指向系統(tǒng)運動方向，O0y軸豎直向上，O0z軸按右手法則確定。

速度坐標系Ox2y2z2，O為系統(tǒng)質(zhì)心，Ox2軸沿系統(tǒng)質(zhì)心速度矢量v的方向，Oy2軸垂直于速度向上，Oz2軸按右手法則確定。其相對于O0xyz的方位由速度高低角θa和速度方位角ψ2確定，轉(zhuǎn)動角速度為

傘軸坐標系Oξηζ，Oξ為傘軸，Oη軸垂直于傘軸向上，Oζ按右手法則確定。其相對于O0xyz的方位由傘軸高低角φa和傘軸方位角φ2確定，轉(zhuǎn)動角速度為

在傘軸坐標系中，系統(tǒng)相對于傘軸Oξ的自轉(zhuǎn)角為γ，則系統(tǒng)的總角速度為

速度坐標系到傘軸坐標系的轉(zhuǎn)換矩陣為

式中：δ1為高低攻角，δ2為方向攻角。則旋轉(zhuǎn)傘質(zhì)心速度在速度坐標系中的投影為

式中：Lp為旋轉(zhuǎn)傘質(zhì)心位置向量，在傘軸坐標系中Lp＝（－lp0 0）T。

1.3 受力分析

系統(tǒng)所受外力包括旋轉(zhuǎn)傘空氣阻力、升力、重力和載物重力，外力矩包括旋轉(zhuǎn)傘導旋力矩、極阻尼力矩、赤道阻尼力矩和外力產(chǎn)生的力矩。

將系統(tǒng)外力向速度坐標系投影。旋轉(zhuǎn)傘空氣阻力和升力分別為

式中：ρ為空氣密度，S為旋轉(zhuǎn)傘特征面積，Cx為旋轉(zhuǎn)傘阻力系數(shù)，C′y為旋轉(zhuǎn)傘升力系數(shù)導數(shù)，I為傘軸方向單位向量。

系統(tǒng)重力為

式中：mp、mb和ma分別為旋轉(zhuǎn)傘質(zhì)量、載物質(zhì)量和傘附加質(zhì)量。

力矩在傘軸坐標系中表示。導旋力矩為

式中：l為旋轉(zhuǎn)傘特征長度，mxw為導旋力矩系數(shù)。極阻尼力矩為

式中：m′xz為旋轉(zhuǎn)傘極阻尼力矩系數(shù)導數(shù)，d為特征直徑。

赤道阻尼力矩為

式中：m′zz為旋轉(zhuǎn)傘赤道阻尼力矩系數(shù)導數(shù)。

旋轉(zhuǎn)傘阻力、升力及傘物的重力對系統(tǒng)質(zhì)心的合力矩為

載物質(zhì)心矢量在傘軸坐標系中表示為Lb＝（lb0 0）T。

1.4 運動方程

1.4.1 系統(tǒng)質(zhì)心運動方程

地面坐標系中，根據(jù)質(zhì)心運動定理，旋轉(zhuǎn)傘系統(tǒng)質(zhì)心的運動方程為

向速度坐標系Ox2y2z2上投影，由于v，則質(zhì)心運動方程為

1.4.2 系統(tǒng)轉(zhuǎn)動方程

根據(jù)動量矩定理，旋轉(zhuǎn)傘系統(tǒng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動方程為

式中：J為系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量矩陣，在傘軸坐標系中，有：

式中：JA為系統(tǒng)赤道轉(zhuǎn)動慣量，JC為極轉(zhuǎn)動慣量。

2 角運動方程的建立

用復擺動角Φ和復偏角Ψ來描述旋轉(zhuǎn)傘系統(tǒng)的角運動［6］，其中：

設θi為理想彈道傾角，即理想彈道的速度方向與基準坐標系O0x的夾角，因為旋轉(zhuǎn)傘系統(tǒng)理想彈道的速度方向為豎直向下，所以θi＝－90°。小擾動時，擾動彈道接近理想彈道，令θa＝θi＋ψ1＝－90°＋ψ1，φa＝θi＋φ1＝－90°＋φ1。φ1，φ2，ψ1，ψ2，δ1，δ2均是小量。

引入符號：

2.1 復偏角方程

當傘物系統(tǒng)在平衡位置附近時，假設1和2為小量，將受到的外力代入式（3）和式（4），略去高階小量，得：

第二式乘以i與第一式相加得復偏角方程：

式中：Δ＝δ1＋iδ2為傘系統(tǒng)復攻角。

由于

式中：X為任意變量，s為弧長。故可將式（10）的自變量從時間改為弧長：

2.2 復擺動方程

旋轉(zhuǎn)傘自轉(zhuǎn)角速度一般為3～6r／s，遠大于橫向擺動角ωζ，且tanφ2為小量，故ωξ≈。在平衡位置附近時，／dt＝0，得

將系統(tǒng)受到的力矩及ωζ≈＝、ωη＝－代入式（7）和式（8），并略去高階小量，得：

將第一式乘以（－i）與第二式相加，得復擺動角方程：

利用式（11），將式（14）轉(zhuǎn)化為

3 角運動及穩(wěn)定性

3.1 角運動分析

將Δ＝Φ－Ψ代入式（12）和式（15），得：

取系統(tǒng)主要參數(shù)：Cx＝1.1，lp／lb＝1.2，C′y＝0.03，m′zz＝0.02，mxw＝1，m′xz＝0.3，mp／mb分別取0.15 和 0.25，系統(tǒng)初始擾動：Φ0＝0.7°ei30°＝0.61°＋i0.35°，Φ′0＝0，Ψ0＝0.5°ei30°＝0.43°＋i0.25°。

圖2為給定系統(tǒng)參數(shù)下的攻角變化情況。mp／mb＝0.15時，δ1和δ2約在s＝20m 處衰減至0，旋轉(zhuǎn)傘系統(tǒng)較迅速地達到平衡位置Δ＝0，復攻角變化情況如圖3所示。mp／mb＝0.25時，δ1和δ2在平衡狀態(tài)附近震蕩變化，振幅有變大的趨勢，復攻角不會達到平衡位置，系統(tǒng)不穩(wěn)定。繼續(xù)增大mp／mb，δ1和δ2發(fā)散速率增大，傘系統(tǒng)最終發(fā)生翻滾。

可見，系統(tǒng)參數(shù)影響著旋轉(zhuǎn)傘系統(tǒng)的角運動。欲使旋轉(zhuǎn)傘系統(tǒng)具有良好的運動穩(wěn)定性，受到初始擾動時其角運動能很快地衰減至0，需掌握系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)角運動的影響規(guī)律。

圖2 系統(tǒng)攻角變化

圖3 復攻角變化

3.2 系統(tǒng)參數(shù)對穩(wěn)定性的影響

系統(tǒng)的平衡位置為Φ＝0，Ψ＝0，則方程組（16）即系統(tǒng)角運動擾動方程，其特征方程為

式中：

欲使旋轉(zhuǎn)傘系統(tǒng)穩(wěn)定，擾動方程的特征根必須都具有負的實部。由于特征方程系數(shù)含有虛數(shù)，穩(wěn)定性判據(jù)的理論求解困難，故對特征方程（17）進行數(shù)值求解，得到特征根。對于具有運動穩(wěn)定性的系統(tǒng)，擾動衰減至0的速率主要取決于特征值最大實部λp的數(shù)值大小。λp＜0，且其它參數(shù)一定時，｜λp｜越大，擾動衰減越快，則系統(tǒng)穩(wěn)定性越好。

圖4給出旋轉(zhuǎn)傘阻力系數(shù)和導旋力矩系數(shù)對λp的影響。當Cx＜2.0時，λp為負值，說明在選定系統(tǒng)參數(shù)下，旋轉(zhuǎn)傘系統(tǒng)具有運動穩(wěn)定性。隨著Cx的增大，｜λp｜先增大后減小，在Cx＝1.0附近取極值｜λp｜max。當Cx較小時（本例中小于1.0），mxw對λp無明顯影響。在Cx＝1.0附近時，mxw越大，即系統(tǒng)的穩(wěn)定轉(zhuǎn)速越高，｜λp｜max越小，λp變化越平緩。特別地，當mxw＝0時，｜λp｜max最大，但這并不是說明轉(zhuǎn)速越高，系統(tǒng)穩(wěn)定性越差。因為旋轉(zhuǎn)降落傘的阻力系數(shù)要比其他一般非旋轉(zhuǎn)傘要高，如渦環(huán)旋轉(zhuǎn)傘的阻力系數(shù)為0.95～1.55，而一般非旋轉(zhuǎn)傘的阻力系數(shù)只有0.3～0.9［1，7］，所以通過調(diào)整設計旋轉(zhuǎn)傘的結(jié)構(gòu)，可較容易地使Cx落在極值位置的附近，進而使系統(tǒng)擾動衰減速率大于非旋轉(zhuǎn)傘。當Cx很大時（大于極值點），mxw越大，｜λp｜越小，但大部分降落傘的阻力系數(shù)達不到如此大的數(shù)值。所以，與非旋轉(zhuǎn)傘相比，旋轉(zhuǎn)傘具有更好的運動穩(wěn)定性，而且在旋轉(zhuǎn)傘阻力系數(shù)變化范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)速越高，｜λp｜變化越平緩，即穩(wěn)定性受阻力系數(shù)的影響越小。

圖4 λp與mxw的關系

圖5 為旋轉(zhuǎn)傘特征長度與直徑關系對λp的影響。可看出，增大l／d，｜λp｜max減小，相對應的Cx也減小，且減小幅度很大。所以，當旋轉(zhuǎn)傘阻力系數(shù)較小時，應增大旋轉(zhuǎn)傘特征長度；當旋轉(zhuǎn)傘阻力系數(shù)較大時，應盡量減小其特征長度。

圖5 λp與l／d的關系

圖6 給出旋轉(zhuǎn)傘與載物質(zhì)量關系對λp的影響。減小mp／mb，｜λp｜max先增大后減小，且相對應的Cx增大。當mp／mb很小時（如小于0.05），λp始終為負值，系統(tǒng)具有運動穩(wěn)定性，但｜λp｜max對應的Cx大于旋轉(zhuǎn)傘阻力系數(shù)的變化范圍，故系統(tǒng)擾動衰減較慢。當mp／mb很大時（如小于0.15），｜λp｜相對較小，系統(tǒng)穩(wěn)定性較差。繼續(xù)增大mp／mb（如等于0.25），在Cx＝1附近，λp將變?yōu)檎担到y(tǒng)不具備運動穩(wěn)定性。所以，對于結(jié)構(gòu)確定的旋轉(zhuǎn)傘，可通過調(diào)節(jié)載物質(zhì)量，使｜λp｜max與旋轉(zhuǎn)傘的Cx正好對應，從而運動穩(wěn)定性達到最優(yōu)。

圖6 λp與mp／mb的關系

4 結(jié)論

本文基于經(jīng)典彈道方程，在小擾動的條件下，建立旋轉(zhuǎn)傘系統(tǒng)的復偏角方程和復擺動角方程，通過角運動擾動方程的特征值研究系統(tǒng)的運動穩(wěn)定性。

①旋轉(zhuǎn)降落傘的運動穩(wěn)定性優(yōu)于結(jié)構(gòu)軸對稱的非旋轉(zhuǎn)降落傘，轉(zhuǎn)速越高，旋轉(zhuǎn)傘系統(tǒng)穩(wěn)定性受阻力系數(shù)影響越小。

②為提高系統(tǒng)擾動衰減速率，當旋轉(zhuǎn)傘阻力系數(shù)較小時，應增大旋轉(zhuǎn)傘特征長度；當旋轉(zhuǎn)傘阻力系數(shù)較大時，應盡量減小其特征長度。

③相對于旋轉(zhuǎn)傘，載物質(zhì)量過大時，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，但系統(tǒng)受到擾動后達到穩(wěn)定狀態(tài)時間長；載物質(zhì)量過小時，系統(tǒng)出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象；實際應用中，要選取合適的旋轉(zhuǎn)傘和載物質(zhì)量，使系統(tǒng)在較短的時間內(nèi)達到穩(wěn)定狀態(tài)。

④旋轉(zhuǎn)傘系統(tǒng)運動穩(wěn)定性的好壞與旋轉(zhuǎn)傘阻力系數(shù)關系密切。在設計及應用中，可根據(jù)旋轉(zhuǎn)傘阻力系數(shù)設定系統(tǒng)其他參數(shù)，使旋轉(zhuǎn)傘系統(tǒng)具有良好的運動穩(wěn)定性。

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