一類分?jǐn)?shù)階q -差分系統(tǒng)邊值問題解的存在性

孫明哲， 侯成敏

( 延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系， 吉林 延吉 133002 )

一類分?jǐn)?shù)階q -差分系統(tǒng)邊值問題解的存在性

孫明哲， 侯成敏

( 延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系， 吉林 延吉 133002 )

研究了一類帶有分?jǐn)?shù)階邊值條件的分?jǐn)?shù)階q-差分系統(tǒng)正解的存在性.首先,給出了該問題解的表達(dá)式,并分析了格林函數(shù)的性質(zhì)，然后運用基本的不動點定理證明了該問題正解的存在性和唯一性.最后，用具體例子驗證了文中主要結(jié)論的正確性.

分?jǐn)?shù)階q-差分； 邊值問題； 正解

q-微積分對量子力學(xué)、核及高能物理等領(lǐng)域的研究具有重要作用[1-2].1910年， Jackson[3]首先引入了q-微積分概念,之后Al-Salam[4]和Agarwal[5]分別給出了分?jǐn)?shù)階q-微積分的基本概念和基本性質(zhì)，同時q-微積分的基本理論也得到了不斷地發(fā)展[6-7].近年來，分?jǐn)?shù)階q-差分邊值問題作為新的研究方向受到國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注,而且有了一定的研究成果[8-10].文獻(xiàn)[11]研究了非線性分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)

的正解.受文獻(xiàn)[11]啟發(fā)，本文討論了非線性分?jǐn)?shù)階q-差分系統(tǒng)

(1)

的正解的存在性和唯一性.其中2<α, β≤3, 1<υ<2, ξ,η>0, f,g∶[0,1]×[0,+∞)→[0,+∞)為非負(fù)連續(xù)函數(shù).

1 預(yù)備知識

定義2[8]將冪指函數(shù)(a-b)n的q-類似定義為：

由定義3易知, Γq(x+1)=[x]qΓq(x).

定義5[8]將函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,b]上的q-積分定義為

若函數(shù)f在區(qū)間[0,b]上的q-積分存在,則有:

性質(zhì)1[8](DqIqf)(x)=f(x), (IqDqf)(x)=f(x)-f(0) (f(x)在x=0處連續(xù)).

性質(zhì)2[8][a(t-s)](α)=aα(t-s)(α),tDq(t-s)(α)=[α]q(t-s)(α-1),

這里iDq表示與變量i有關(guān)的q-導(dǎo)數(shù).

性質(zhì)3[8]若α>0, a≤b≤t, 則(t-a)(α)≥(t-b)(α).

定義6[8]將Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階q-積分定義為

定義7[8]將Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階q-導(dǎo)數(shù)定義為

性質(zhì)4[8]設(shè)α,β≥0, f(x)是定義在[0,1]上的函數(shù),則:

性質(zhì)5[8]設(shè)α>0, p是正整數(shù),則

性質(zhì)6[8]設(shè)α∈R+, λ∈(-1,∞), 則

② 存在u∈?U, λ∈(0,1)有u=λTu.

2 主要結(jié)果及其證明

考慮下面方程

(2)

定理1 設(shè)y∈C[0,1]且2≤α≤3， 那么u(t)是問題(2)的解當(dāng)且僅當(dāng)u(t)有以下形式:

(3)

證明 假設(shè)u(t)是問題(2)的解,由定義7和性質(zhì)5有

利用邊值條件u(0)=0, (Dqu)(0)=0解得C3=0, C2=0.由性質(zhì)4、性質(zhì)6和定義7可知

整個扇體是由多期濁流沉積而成，不同期次的濁流因規(guī)模、能量、攜砂量、搬運距離、水體深度等不同，所形成的濁積扇規(guī)模、粒度、沉積厚度、沉積展布等也各不相同。因此，同一地質(zhì)條件下一定范圍內(nèi)不同期次濁流所形成的沉積扇體，平面上呈大小不等的“串珠狀”［2］，剖面上呈不規(guī)則“迭瓦狀”。多個“串珠”疊合即形成宏觀上的大扇體（圖4）。

從而

反之,如果u(t)滿足(3)式，則不難推出u(t)是問題(2)的解.證畢.

定理2 格林函數(shù)G(t,s)具有下面的性質(zhì)：

① G(t,s)≥0, 對一切t,s∈[0,1]；

② G(t,s)≤G(1,s), 對一切t,s∈[0,1].

證明 易知G(t,s)在[0,1]×[0,1]上是連續(xù)的.下面證明G1(t,s)≥0, 記

g1(t,s)=(1-s)(α-υ-1)tα-1-(t-s)(α-1), 0≤s≤t≤1;

g2(t,s)=(1-s)(α-υ-1)tα-1, 0≤t≤s≤1.

1)易見g2(t,s)≥0.利用性質(zhì)2和性質(zhì)3可得

tα-1[(1-s)(α-υ-1)-(1-s)(α-1)].

同理可知G2(t,s)≥0， 即G(t,s)≥0.證畢.

同理可知G2(t,s)≤G2(1,s), 即G(t,s)≤G(1,s)成立.證畢.

下面討論問題(1)解的存在性和唯一性.

證明 由定理1易知定理3結(jié)論成立.事實上，設(shè)算子T∶X×Y→X×Y, 其中

(4)

由定理1可知，算子T的不動點即為邊值問題(1)的解.

定理4 如果f(t,v), g(t,u)在[0,1]×[0,+∞)→[0,+∞)上是連續(xù)的，那么(4)式定義的算子T∶P→P是完全連續(xù)的.

證明 設(shè)(u,v)∈P， 由于G(t,q s), f(t,v), g(t,u)是非負(fù)連續(xù)函數(shù)，因此算子T∶P→P是連續(xù)的.設(shè)Ω是P的有界子集，即存在常數(shù)h>0， 對于?(u,v)∈Ω， 有‖(u,v)‖≤h成立.選取

(5)

那么有

類似地，有

定理5 如果f(t,v), g(t,u)在[0,1]×[0,+∞)→[0,+∞)上連續(xù)，且存在函數(shù)m(t)>0, n(t)>0滿足:

證明 設(shè)(u,v)∈P， 由于G(t,q s), f(t,v), g(t,u)是非負(fù)連續(xù)函數(shù)，有T(u,v)(t)≥0， 故T(P)?P.

類似地，有‖T2u2-T2u1‖≤θ‖u2-u1‖.因此‖T(u2,v2)-T(u1,v1)‖≤max(ρ,θ)‖(u2,v2)-(u1,v1)‖， 即T是一個壓縮映像.由定理4知T是完全連續(xù)的，由Banach不動點定理知算子T在P上有唯一的不動點，即邊值問題(1)有唯一的正解.

定理6 如果f(t,v), g(t,u)在[0,1]×[0,+∞)→[0,+∞)上連續(xù)，且滿足:

那么邊值問題(1)至少有一個正解(u,v)， 且

考慮特征值問題

(u,v)=λT(u,v), λ∈(0,1).

(6)

對于λ∈(0,1)， 假設(shè)(u,v)是(6)式的解，則得到

例1 考慮邊值問題

(7)

例2 考慮邊值問題

(8)

因此,問題(8)滿足定理6的所有條件,從而問題(8)至少有一個正解.

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Existence of solutions for boundary value problems with a coupled system of fractional q -differences

SUN Mingzhe， HOU Chengmin

(DepartmentofMathematics，CollegeofScience，YanbianUniversity，Yanji133002，China)

We study the existence of positive solutions for a fractional q-difference system with a fractional boundary condition. Firstly, expressions of the solutions are presented, and properties of the Green function are analyzed. Secondly, the existence and uniqueness of the positive solutions of the problem are proved by basic fixed point theorem. Finally, the main conclusions are verified by some specific examples.

fractional q-differences; boundary value problem; positive solution

2014-12-15 基金項目： 吉林省教育廳“十二五”科學(xué)技術(shù)研究項目(吉教科合字[2014]第20號)

孫明哲(1979—)，女，講師，研究方向為微分方程理論.

1004-4353(2015)01-0010-07

O175.6

A