關(guān)于根與底座的幾點(diǎn)注記

王正萍，劉 洋，許慶兵

（1.滁州職業(yè)技術(shù)學(xué)院督導(dǎo)室，安徽滁州239000；2.滁州學(xué)院數(shù)學(xué)系，安徽滁州239000）

在環(huán)論的發(fā)展歷史上，學(xué)者們很早就得出：在每個(gè)有限維代數(shù)A中，存在一個(gè)雙邊的理想B，使得A/B是半單的。這就為A的研究提供了三個(gè)著手點(diǎn)：利用半單代數(shù)的理論對(duì)A/B的研究；對(duì)冪零理想B的研究；對(duì)A與A/B關(guān)系的研究。一個(gè)自然的問(wèn)題是A/B的性質(zhì)是否可以提升到A上來(lái)。由于上述方法為代數(shù)研究帶來(lái)了豐碩的成果，從而在對(duì)任意環(huán)與模的研究過(guò)程中，人們也希望有一個(gè)與B相當(dāng)?shù)膶?duì)象可以利用，這就引出了根與底座的概念，這一概念現(xiàn)在已成為代數(shù)學(xué)的重要概念及工具之一。

1 根與底座的等價(jià)定義

根與底座的概念有多種形式，這些形式都是等價(jià)的，為了方便介紹這些概念，首先介紹極大子模、極小子模、大子模與小子模等概念。更多相關(guān)的一些知識(shí)可以參見(jiàn)文獻(xiàn)［1-5］。

M的一個(gè)子模A稱為極大子模（極小子模）當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意B?M，B真包含于A，則B=M（對(duì)任意B?M，B 真包含于 A，則 B=0）。

M的一個(gè)子模A稱為在M的小子模（亦稱為多余子模，記為A＜＜M），若對(duì)任意U?M，A+U=M，則U=M。M的一個(gè)子模A稱為在M的大子模（亦稱為本質(zhì)子模，記為A?M）），若對(duì)任意U?M，A∩U=0，則U=0。設(shè)U是R模類，M是左R模Im h稱為U在M中的跡（trace），Re j（M，U）稱為U在M中的余跡（reject）。

定義1 設(shè)K是M的小子模，則M的小子模的和稱為M的根，記為

定義2 設(shè)L是M的極大子模，則M的極大子模的交稱為M的根，記為

事實(shí)上，這三個(gè)定義是等價(jià)的，下面給出證明。

證明 定義1?定義2

定義2?定義3

設(shè)L在M中極大，vL：M→M/L是到單模M/L上的自然滿同態(tài)，則Ker（vL）=L，因而有Re j（M，N）?

定義3?定義1

對(duì)任意同態(tài) h：M→N，若 K=M，由文獻(xiàn)［1］5.1.3（c），h（K）=N，若 N 半單，則 0是 N 的惟一小子模，所以h（K）=0，即K?Ker（h），因而定義3蘊(yùn)含定義1。

底座是根的對(duì)偶概念，下面給出底座的幾個(gè)等價(jià)定義。

定義4 設(shè)K是M的小子模，則M的小子模的交稱為M的底座，記為

定義5 設(shè)L是M的極大子模，則M的極大子模的和稱為M的底座，記為

證明 定義4?定義5

設(shè)L是M的單子模且K?M，則K∩L≠0?K∩L=L?K?L，所以定義4蘊(yùn)含定義5

定義5?定義6

由于一個(gè)半單模的同態(tài)像仍為半單模，對(duì)半單模的和也有這樣的結(jié)果，所以Tr（M，N）必是M的一個(gè)半單子模，即M是單子模的和，因此是M的一切單子模的和。

定義6?定義4

下面給出根與底座的一些常見(jiàn)的性質(zhì)，關(guān)于這些性質(zhì)的證明可以參見(jiàn)文獻(xiàn)［1-2］。

性質(zhì)1對(duì)R模M有：

（1）對(duì)任意態(tài)射 f：M→N，有：

1）f（Rad（M））?Rad（N）；

2）Rad（M/Rad（M））=0；

3）若Ker f?Rad（M），則f（Rad（M））=Rad（f（M））。

（2）Rad（M）是M的一個(gè)自同態(tài)子模。

（3）若M的每個(gè)真子模包含在一個(gè)極大子模中，則Rad（M）=M。

（4）M有限生成當(dāng)且僅當(dāng)Rad（M）=M且M/Rad（M）是有限生成。

（5）若 M=⊕ΛMλ，則 Rad（M）=⊕ΛRad（Mλ），且 M/Rad（M）?⊕ΛMλ/Rad（Mλ）。

（6）若M有限余生成且Rad（M）=0，則M半單且有限生成。

性質(zhì)2對(duì)R模M有：

（1）對(duì)任意態(tài)射f：M→N，有（fSoc（M））?Soc（N）。

（2）對(duì) K?M，有 So c（K）=K∩Soc（M）。

（3）Soc（M）?M 當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)每個(gè)子模 K?M，Soc（K）≠0。

（4）Soc（M）是M的自同態(tài)子模。

（5）Soc（⊕ΛMλ）=⊕ΛSoc（Mλ）。

模n剩余類環(huán)Zn是一類常見(jiàn)而又重要的環(huán)，下面給出其底座的計(jì)算方法。

例 1 計(jì)算 Zn的根 Rad（Zn）。

例2 計(jì)算Zn的底座Soc（Zn）。

注 （1）對(duì) Z/p1…pkZ，Rad（Z/p1…pkZ）=0，Soc（Z/p1…pkZ）=Z/p1…pkZ。

（2）對(duì) Z/pnZ，Rad（Z/pnZ）=pZ/pnZ?Z/pn-1Z，Soc（Z/pnZ）=pn-1Z/pnZ?Z/pZ。

（3）對(duì)整環(huán) Z，Rad（ZZ）=Soc（ZZ）=0，Rad（QZ）=Q，Soc（QZ）=0，Rad（QQ）=0，Soc（QQ）=Q。

2 廣義矩陣環(huán)的Jacobson根

在根的定義中，把 M 改為 RR或RR，則 Rad（RR）=Rad（RR）稱為 R 的 Jacobson 根，記為 J（R），由此可見(jiàn)Jacobson根是模M根的特殊形式，這類根在環(huán)論和代數(shù)表示論中均有著廣泛的應(yīng)用［6-12］。

R中的元素r稱為左（右）擬正則，若存在t∈R，使得r+t-tr=0（r+t-rt=0），元素r稱為擬正則的，若其既是左擬正則又是右擬正則。在有單位元的環(huán)中，式子r+t-tr=0等價(jià)于方程（1-t）（1-r）=0，因此在這類環(huán)中元素r是左擬正則的當(dāng)且僅當(dāng)（1-r）左可逆，對(duì)右正則元也有類似的結(jié)論，因而對(duì)環(huán)R的左（右）理想I，若I?R，且I擬左（右）正則當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意x∈I，1-x左（右）可逆。事實(shí)上這個(gè)結(jié)果是著名的Nakayama引理的一部分，下面用這個(gè)結(jié)論來(lái)研究廣義矩陣環(huán)的Jacobson根。

對(duì)形式三角矩陣環(huán)作進(jìn)一步的擴(kuò)張，使其具有如下形式

其中，R、S是有單位的結(jié)合環(huán)，M是左S-，右R-雙模，N是左R-，右S-雙模，φ：N?SM→R是雙R-同態(tài)，ψ：M?RN→S 是雙 S-同態(tài)，且滿足 φ（n?m）n'=nψ（m?n'），ψ（m?n）m'=mφ（n?m'），這里 m，m'∈M，n，n'∈N。T上定義的加法為普通矩陣的加法，其乘法定義為則T對(duì)于所定義的運(yùn)算作成環(huán)，這個(gè)環(huán)就是廣義矩陣環(huán)，也稱為Morita系統(tǒng)環(huán)，由定義可見(jiàn)形式三角矩陣環(huán)是此類環(huán)的一種特例［11］。

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