高中數(shù)學(xué)恒成立常見問題及求解策略

王秋霞（武漢大學(xué)附屬中學(xué)430070）

高中數(shù)學(xué)恒成立常見問題及求解策略

王秋霞（武漢大學(xué)附屬中學(xué)430070）

恒成立問題是高中數(shù)學(xué)中的一個重點和難點。對于命題者來說，由于它涉及知識面廣，綜合性強，解題方法靈活多樣，成為各類考試中的命題熱點，在高考試題中所占比例逐年上升。例如，僅2012年全國高考數(shù)學(xué)(理科)的18套試卷中就有11套含恒成立問題。然而，由于此類問題既有參數(shù)又含變量，參變混合，學(xué)生往往望而生畏，感到困惑，無從下手。求解此類問題的策略主要可以歸納為函數(shù)法，換元法，參變分離法和數(shù)形結(jié)合法。

恒成立求解策略

恒成立是高中數(shù)學(xué)一類重要知識點，此類問題是指在不等式恒成立條件下，求解參數(shù)的取值范圍。正確靈活應(yīng)用函數(shù)法，換元法，參變分離法和數(shù)形結(jié)合法等策略可以解決有關(guān)恒成立的各類題目。

一、函數(shù)法

函數(shù)法主要是采用函數(shù)的性質(zhì)來解決恒成立問題。

（一）一次函數(shù)恒成立

對于一次函數(shù)f（x）=kx+b，x∈[m,n]，則有：f（x）>0恒成立

下面我們通過實例來分析該方法的使用策略。

例1：對于任意x∈[-3，1]，不等式（2a+1）x+a+2>0恒成立，求a的取值范圍。

解析：本題是一個典型的一次函數(shù)恒成立問題，按照上述方法，則有，由此不難得出a的取值范圍

此外，有些題目形式可能復(fù)雜，但是可以通過變換主元轉(zhuǎn)化成一次函數(shù)再進行求解，這種策略在后面進行分析。

（二）二次函數(shù)恒成立

含參數(shù)的一元二次不等式恒成立問題，如果將不等式轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)或二次方程，再采用根的判別式、最值、特殊值和對稱軸等性質(zhì)可使問題順利解決。

判別式法：設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c (a≠0,x∈R)，則二次函數(shù)恒成立有以下幾個類型：

類型1：f（x）在區(qū)間R上恒成立：

類型2：

f（x）>a對于一切x∈I恒成立?f（x）min>a，

f（x）a。

類型3：

f（x）>g（x）對于一切x∈I恒成立?f（x）的圖像恒在g（x）的圖像的上方或f（x）min>g（x）max(x∈I)。

下面我們通過兩個實例來說二次函數(shù)恒成立的實際應(yīng)用技巧：

例2：若不等式(m-1)x2+(m-1)x+2>0的解集是R，求m的范圍。

解析：在本題中，二次項系數(shù)含有參數(shù)m，因此需要分別討論：

當(dāng)m-1=0時，則f（x）=2>0恒成立，因此m=1；當(dāng)m-1≠0是，則根據(jù)上述類型1有：m-1>0且△=(m-1)2-8(m-1)<0，因此m∈(1,9)。所以m∈[1,9]。

例3：設(shè)函數(shù)f（x）=x2+ax+3-a，若x∈[-2,2]，f（x）≥2恒成立，求a的取值范圍。

解析：對本題分析可知其屬于類型2的二次函數(shù)恒成立問題，因此根據(jù)類型2的解題策略有：對于任意x∈[-2,2]，f（x）≥2恒成立，

?Vx[-2,2]，f（x）min≥2

二、變換主元法

在求解含參不等式恒成立時，有時若將函數(shù)自變量和參數(shù)進行換位，變參數(shù)為主元，則可以取得意想不到的效果，提高解題的效率。

例4：對于任意a∈[-1,1]，函數(shù)f（x）=ax2+（2a-4）x+3-a>0恒成立，求x的取值范圍。

解析：按照一般思路，我們需要對二次函數(shù)f（x）的系數(shù)a進行分類討論求解，即a=0時，f（x）是一次函數(shù)，當(dāng)a≠0時，f（x）是二次函數(shù)，這樣使求解過程比較復(fù)雜。利用變換主元法思想，將參數(shù)a看成變量，原變量x看成參數(shù)，將題目轉(zhuǎn)化成一次函數(shù)，使得求解問題變得更容易。令g（a）=(x2+2x-1) a-4x+3，對任意a∈[-1,1]，g（a）>0恒成立，即x的取值范圍為

利用變換主元法求解恒成立問題的基本條件是在給出的題目中，已知條件是參數(shù)的取值范圍和函數(shù)，求解的是函數(shù)的變量取值范圍。

三、參變分離法

如果所給出的不等式能夠通過恒等變形將主元與參數(shù)分離在不等式的兩端，則問題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進而求解出參數(shù)范圍。該方法的本質(zhì)也是求解最值問題，但是方向明確，思路清晰能使求解問題更加容易。具體方法為：

（1）f（x）f（x）max；

（2）f（x）>g（a）（a為參數(shù)）恒成立?g（a）

例5：已知當(dāng)x∈R時，不等式a+cos2x<5-4sinx+恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。

解析：本題含有兩個變量a及x，可考慮將a與x分離，即原不等式可化為4sinx+ cos2x<-a+5恒成立，令f（x）=4sinx+ cos2x，則該問題即求f（x）max，f（x）=4sinx+cos2x=-2 (sinx-1)2+3≤3，所以-a+5>3，解得

四、數(shù)形結(jié)合法

數(shù)形結(jié)合的解題思想就是根據(jù)題意將不等式進行轉(zhuǎn)化變形，使不等式兩邊變成常用函數(shù)，并通過兩邊函數(shù)圖像來判斷恒成立問題所具備的條件，進而求解出參數(shù)的取值范圍。

解析：本題無法通過前面幾種方法來求解，需要根據(jù)題意和已知條件對不等式進行轉(zhuǎn)化處理，然而再通過構(gòu)造函數(shù)，將不等式兩邊構(gòu)造成常用函數(shù)，最后采用數(shù)形結(jié)合策略來求參數(shù)的取值范圍。由題意可得:f（x）≤g（x）?

由此可見，不等式恒成立問題因其覆蓋知識點多，所以方法多種多樣。當(dāng)然，每一種策略只是從某一種角度去探討了參數(shù)的取值范圍，實際上，這種策略并不是孤立的，在實際操作過程中，需要大家綜合考慮，靈活運用，這樣才能使問題迎刃而解。

（責(zé)編 趙建榮）