小額多頻農(nóng)產(chǎn)品投資方式的貝葉斯決策分析

王鳳英 (北京物資學(xué)院信息學(xué)院，北京101149)

隨著市場經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和人們對健康生活方式的追求，市場上出現(xiàn)了越來越多的有關(guān)投資銷售特色農(nóng)產(chǎn)品的企業(yè)。由于農(nóng)產(chǎn)品的價格受氣候、產(chǎn)量、質(zhì)量、運輸、交貨、需求、存儲期和季節(jié)性等諸多因素的影響，導(dǎo)致企業(yè)對農(nóng)產(chǎn)品多采用小額多頻的定購方式，一般不會一次大量訂購。在這樣的定購模式下，投資企業(yè)經(jīng)常面臨著諸多的不確定性因素，對企業(yè)的投資帶來極大的風(fēng)險。為確保投資者的最大收益，制定一個科學(xué)合理的投資決策至關(guān)重要。決策的正確程度與決策后的期望收益直接相關(guān)，因而需要有較科學(xué)的方法來為投資決策提供一個風(fēng)險較小的方案。一般地，為了提高決策的正確度，在作決策之前要進(jìn)行相關(guān)的抽樣實驗，決策者根據(jù)抽樣結(jié)果所提供的信息對影響決策的各種因素(自然狀態(tài))增加了解后再作決策。而解決類似這樣的風(fēng)險型決策問題，貝葉斯方法則是十分適用的。在貝葉斯決策中，通常決策變量有2種類型:離散型和連續(xù)型。筆者以離散型決策變量為例，利用較為成熟的貝葉斯決策理論，對小額多頻的農(nóng)產(chǎn)品投資方式的最優(yōu)決策進(jìn)行探討，期望為農(nóng)產(chǎn)品企業(yè)的投資決策提供一定的參考。

1 基本理論

1．1 貝葉斯決策 貝葉斯決策理論是關(guān)于風(fēng)險條件下或面臨不確定因素的情況下應(yīng)該如何進(jìn)行抉擇的理論［1－2］。在不完全信息下，對部分未知的狀態(tài)用主觀概率去估計，稱之為先驗概率，然后再利用貝葉斯公式對先驗概率進(jìn)行修正，得到后驗概率，最后利用期望值和修正概率做出最優(yōu)決策。

貝葉斯屬于風(fēng)險型決策，決策者雖不能控制客觀因素的變化，但卻掌握其變化的可能狀態(tài)及各狀態(tài)的分布概率。一般地，一個投資活動中可能面臨多個自然狀態(tài) θ1，θ2，…，θn，決策者可以根據(jù)以往的投資數(shù)據(jù)統(tǒng)計估算出各種狀態(tài)出現(xiàn)的可能性，即先驗概率 P(θ1)，P(θ2)，…，P(θn)。決策者所能采取的行動方案也有多個:a1，a2，…，am，記為行動集λ={a1，a2，…，am}。

1．2 收益矩陣和損失矩陣［3］對每個決策方案ai和每個狀態(tài)θj計算一個收益，記為vij，從而形成m行n列矩陣V=(vij)，稱為風(fēng)險決策的收益矩陣。

當(dāng)狀態(tài)θj發(fā)生時，由于選擇了決策ai，可能未獲得最大收益。決策ai所得到的收益與可能得到的最大收益之差即為機(jī)會損失，記為，從而形成m行n列矩陣L=(lij)，稱為風(fēng)險決策的損失矩陣。

1．3 決策函數(shù)［4］在給定的貝葉斯問題中，從樣本空間X={x1，x2，…，xn}到行動集 λ ={a1，a2，…，am}上的一個映射δ(x)稱為該問題的一個決策函數(shù)。

1．4 完全信息期望值EVPI［3］貝葉斯決策的評價準(zhǔn)則一般采用最大期望收益原則或最小期望損失原則。一般地，最小期望損失原則與最大期望收益原則是等價的，且下式成立:

實際上，設(shè)想經(jīng)過市場調(diào)查，對于究竟發(fā)生哪個事件能獲得完全信息，從而可得到相應(yīng)的最大收益因此，在獲得完全信息的條件下，最大期望收益為由式(1)，它與沒有獲得該信息的最大期望收益相比，兩者之差恰為最小期望損失:

式(2)被定義為完全信息的期望值EVPI。

2 研究方法

在貝葉斯決策中，一般先進(jìn)行驗前分析。然后通過抽樣增加信息量，根據(jù)新的信息來修正概率進(jìn)行驗后分析。驗后分析是貝葉斯決策進(jìn)行統(tǒng)計分析的主要方法。

2．1 先驗分析 首先估計自然狀態(tài) θ1，θ2，…，θn出現(xiàn)的概率 P(θ1)，P(θ2)，…，P(θn)，并確定決策者可采用的行動集λ={a1，a2，…，am}。算出收益矩陣V=(vij)和損失矩陣L=(lij)。根據(jù)最小期望損失原則，計算各行動方案的先驗期望損失值:

相應(yīng)的最優(yōu)決策方案為ak，其中ak滿足(ai)。此時，完全信息期望值EVPI=Eθ(ak)。

2．2 后驗風(fēng)險分析 若存在某一決策函數(shù)，使得此決策函數(shù)在全部決策函數(shù)中具有最小的后驗風(fēng)險，則這個決策函數(shù)為后驗風(fēng)險準(zhǔn)則下的最優(yōu)決策函數(shù)，也就是貝葉斯決策函數(shù)。根據(jù)后驗風(fēng)險準(zhǔn)則作的貝葉斯決策由補(bǔ)充新信息、修正概率、確定最優(yōu)決策函數(shù)和計算補(bǔ)充信息價值4部分組成。

2．2．1 補(bǔ)充新信息。對可觀察的隨機(jī)變量X作s次觀察(或調(diào)查)，得到一個樣本 x=(x1，x2，…，xs)，這即為從市場活動中搜集到的新信息，同時通過資料獲取各種自然狀態(tài)下取得不同樣本值的條件概率 P(x/θ)，其中 θ取值 θ1，θ2，…，θn;x 取值 x1，x2，…，xs。

2．2．2 修正概率。在已知先驗概率 P(θ)及條件概率P(x/θ)的基礎(chǔ)上，利用貝葉斯公式可得，在樣本x給定下，θ的后驗概率(即修正概率)為:

2．2．3 確定最優(yōu)決策函數(shù)。根據(jù)已得的后驗修正概率P(θ/x)，計算各行動方案的后驗期望損失:

式(5)即為后驗風(fēng)險。

在所有的決策函數(shù)δ(x)中，若存在決策函數(shù)δ0(x)，使得它具有最小的后驗風(fēng)險，則δ0(x)即為后驗風(fēng)險準(zhǔn)則下的最優(yōu)決策函數(shù)。

2．2．4 計算補(bǔ)充信息價值。完全信息期望值EVPI表示決策者在掌握完全信息時的期望損失或期望收益，它是以先驗概率為基礎(chǔ)的。而在獲得樣本信息后，在以后驗概率為基礎(chǔ)的討論中，也可類似得出完全信息后驗期望值，即后驗EVPI。

而后驗EVPI仍是依賴于樣本x的隨機(jī)變量，用樣本x的邊緣分布，對后驗EVPI再求一次數(shù)學(xué)期望以消除隨機(jī)性，得到后驗EVPI的期望值。

一般情況下，樣本信息的獲得會增加決策者對狀態(tài)θ的了解，決策過程中期望損失會降低，這個減少量就稱為抽樣信息期望值EVSI。

EVSI值就是獲得樣本信息后給決策者帶來的收益，這就是補(bǔ)充新信息的價值。應(yīng)當(dāng)指出的是，補(bǔ)充信息通常具有不確定性，因而這樣的信息是不完全的，也稱為抽樣信息。與完全信息相比，補(bǔ)充信息價值不會大于完全信息價值。

3 實證分析

某農(nóng)產(chǎn)品企業(yè)欲增加一個有關(guān)綠色有機(jī)農(nóng)產(chǎn)品的投資項目。市場經(jīng)驗表明，一年中每100次投資里失敗次數(shù)θ的概率分布 P(θ)如下 P(5)=0．3;P(6)=0．4;P(7)=0．2;P(8)=0．1。

假定每次投資失敗，企業(yè)平均要付出損失4 000元。為進(jìn)行該項目，每年的固定成本為10萬元。該企業(yè)預(yù)計每次投資會產(chǎn)生利潤350元，每年可投資1 000次。試求完全信息期望值EVPI。另外，投資者決定從每百次投資中抽取3次進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)投資失敗的次數(shù)x來決定是否繼續(xù)該投資項目，找出最優(yōu)決策函數(shù)，并算出抽樣信息期望值EVSI。

3．1 求全信息期望值 由實際情況，該公司面臨2個行動方案的選擇:方案a1，不增加該投資項目;方案a2，增加該投資項目。經(jīng)過計算，容易得到收益矩陣V=(vij)和損失矩陣L=(lij):

方案a1和a2的先驗期望損失分別為:

在先驗期望準(zhǔn)則下，a2是最優(yōu)行動方案，故完全信息期望值EVPI=13 000元/年。

3．2 補(bǔ)充新信息 投資者抽取3次投資行動進(jìn)行調(diào)查，失敗次數(shù)x的可能取值為0、1、2、3，則x服從二項分布，且:

而從{0，1，2，3}到{a1，a2}上的任一映射 δ(x)都是一個決策函數(shù)。

3．3 修正概率 根據(jù)先驗概率P(θ)可以算出x的邊緣概率 P(x)，結(jié)果如下:當(dāng) x 分別為 0、1、2、3 時，對應(yīng)的 P(x)分別為 0．828 186、0．160 871、0．010 699、0．000 235。

由邊緣概率P(x)及公式(4)，可計算得出x=xi下的后驗概率 P(θ/x)，見表1。

表1 各x值下的后驗概率

3．4 確定最優(yōu)決策函數(shù) 根據(jù)表1，利用公式(5)計算出各行動方案的后驗期望損失，結(jié)果見表2。

表2 各x值下行動方案的后驗期望損失

根據(jù)風(fēng)險最小(期望損失最小)原則，對抽樣結(jié)果x的每個可能制定最優(yōu)結(jié)果，就得到最優(yōu)決策函數(shù):

3．4 計算后驗EVPI和EVSI 由表2的后驗期望損失結(jié)果可計算出后驗EVPI，即為表2中每個x值下的最小后驗期望損失:

x=0時，后驗EVPI=12 406

x=1時，后驗EVPI=15 615

x=2時，后驗EVPI=13 875

x=3時，后驗EVPI=14 785

后驗EVPI的期望值是用x的邊緣概率P(x)和對后驗EVPI求期望而得，即:

后驗EVPI的期望值 =12 406×0．828 186+15 615×0．160 871+13 875 × 0．010 699+14 785 × 0．000 235≈12 938．5

EVSI=13 000 －12 938．5=61．5(元)

這表明，根據(jù)抽樣結(jié)果x定出的最優(yōu)決策函數(shù)δ0(x)要比抽樣前的最優(yōu)行動減少損失61．5元，也就是抽樣給決策者帶來的增益。

4 結(jié)語

在市場經(jīng)濟(jì)中許多問題都是難以完全準(zhǔn)確預(yù)測的，投資者經(jīng)常會遇到在不確定狀態(tài)下作決策的問題。投資者總是希望自己的決策更有依據(jù)，期望收益更高，期望損失更低。貝葉斯方法則是比較完善的用于解決這類風(fēng)險型決策問題的方法。研究表明，貝葉斯方法充分利用總體信息、樣本信息、先驗信息和損失函數(shù)，計算出最優(yōu)決策函數(shù)和最小后驗期望損失，并能算出抽樣為決策者帶來的增益，使得整個決策過程更有說服力，更具科學(xué)性，充分體現(xiàn)出該方法的優(yōu)越性。

［1］張華歆．預(yù)測與決策——理論及應(yīng)用［M］．上海:上海交通大學(xué)出版社，2014．

［2］王明輝．貝葉斯決策方法及其應(yīng)用［J］．韶關(guān)學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版，2014(10):8－12．

［3］王鳳英，梁志新．基于數(shù)學(xué)期望的采購風(fēng)險管理決策分析［J］．物流技術(shù)，2012(9):228－230．

［4］朱震峰，苗敬毅．貝葉斯決策法的應(yīng)用［J］．太原大學(xué)學(xué)報，2007，8(3):74－76．