循環(huán)置換分解定理的一個(gè)證明及其應(yīng)用

陳健夫

(廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣州510006)

循環(huán)置換分解定理的一個(gè)證明及其應(yīng)用

陳健夫

(廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣州510006)

[摘要]循環(huán)置換分解定理：每一個(gè)n元置換π都可以寫成若干個(gè)不相連的循環(huán)置換的乘積，是置換群理論最基本的定理之一.在一些教材中該定理的證明用了數(shù)學(xué)歸納法，本文提供了一個(gè)直觀的證明方法，并給出了置換的一種表示方法以及一道關(guān)于穿珠子的排列組合問題的解法.

[關(guān)鍵詞]置換； 循環(huán)置換分解； 置換群

1引言

2預(yù)備知識(shí)

定義1有限集的一個(gè)一一變換叫做一個(gè)置換.

定義2一個(gè)有限集的一個(gè)把a(bǔ)i1變到ai2，ai2變到ai3，…，aik變到ai1，而且其他元素不變的置換，叫做一個(gè)k-循環(huán)置換.用符號(hào)(i1i2…ik)或(i2i3…iki1)…或(ikik-1…i1)表示.

定義3π=(i1i2…im)和τ=(j1j2…jn)是兩個(gè)循環(huán)置換，如果π和τ不含相同的文字，則稱π和τ不相連.

定理1如果有兩個(gè)置換

那么

定理2n次對稱群Sn的階是n!.

3循環(huán)置換分解定理的證明及置換的一種表示方法

在有n個(gè)元素的有限集中，對于任意一個(gè)置換π，暫時(shí)不考慮集中在π下不變的所有元素，現(xiàn)在在其他的有變動(dòng)的元素中任選一個(gè)記為a11，把其在π下的像記為a12；然后把a(bǔ)12的像記為a13，重復(fù)這個(gè)操作，必然存在正整數(shù)k，使得a1k的像是a11…a1k-1中的一個(gè)，這是顯然的，假設(shè)不然，那么會(huì)找到無窮個(gè)不同的元素，則這個(gè)不是有限集，矛盾.還要進(jìn)一步說明，這個(gè)a1k的像就是a11，否則，假如a1k的像是a1p(1

由于該有限集中其他元素都是在π下不變的，那么現(xiàn)在可以得到π的表示了：

根據(jù)定理1，容易得出

（3）投喂飼料。春季4、5月份要多投喂一些動(dòng)物性飼料，如小魚或軋碎的螺螄等，一方面是此時(shí)對小龍蝦要增加營養(yǎng)，以利于抱卵繁殖蝦苗，另一方面是有利于河蟹蛻殼生長。夏季6-8月份高溫季節(jié)以投喂植物性飼料為主，防止中華絨螯蟹攝入過多的營養(yǎng)而提前進(jìn)入性成熟期導(dǎo)致死亡。9月份的后期要多投喂一些動(dòng)物性飼料，讓中華絨螯蟹積累脂肪，這不僅是讓中華絨螯蟹增重，還可使其增重后在食用時(shí)其口味更好。這就是中華絨螯蟹養(yǎng)殖中俗話說的掌握“兩頭精、中間青”的原則。

π=(1112… 1k)(2122… 2k′) … (m1m2… mp)，

以上已經(jīng)說明了這些循環(huán)置換的文字互不重復(fù).于是任意一個(gè)置換都可以表達(dá)成若干個(gè)不相連的循環(huán)置換的乘積.

關(guān)于這個(gè)定理還要說明一點(diǎn)，這個(gè)分解是唯一的，這個(gè)在證明步驟中就可以看出.我們看找出來的第一個(gè)局部循環(huán)置換，即使首先取的元素不是a11而是另一個(gè)a1r，那么最終得到的局部循環(huán)是

(1r1r+1… 1k11… 1r-1) ，

這是等于(1112… 1k)的.對于其他的局部循環(huán)也一樣.所以這個(gè)分解是唯一的.

這個(gè)證明是通過有限次操作把局部的循環(huán)置換一個(gè)一個(gè)找出來，然后再合并到一起.與數(shù)學(xué)歸納法相比，這種方法更加直觀，更有利于讀者對置換的分解產(chǎn)生更深刻的認(rèn)識(shí)和理解.

下面給出置換的一種表示法.常用箭頭來表示一個(gè)映射，比如π:a→b，表示a在法則π下變?yōu)閎.現(xiàn)在同樣使用箭頭，只是定義其為一個(gè)彎箭頭，現(xiàn)在不妨用元素和彎箭頭去表示一個(gè)置換，其中這些元素只需寫一次(如果在括號(hào)用二行的文字表示置換，所有元素都書寫了2次)，例如對于3個(gè)元素的有限集A的一個(gè)置換：

φ:a1→a2;a2→a3;a3→a1，

用新定義的表示方法來表示則如圖1.箭頭的尾部連接的元素表示π在A上作用的元素，箭頭頭部的元素表示像.那么當(dāng)然有以下重要的規(guī)定，由于置換是一一映射，那么用這種表示方法時(shí)，所有元素都必須同時(shí)在且僅在一個(gè)箭頭的尾部和一個(gè)箭頭的頭部.如果一個(gè)元素不在一個(gè)箭頭的尾部或者一個(gè)箭頭的頭部，前者表明這個(gè)根本不是映射，后者表明該元素沒有被作用，即不成為一個(gè)像，那么不是滿射；如果一個(gè)元素同時(shí)在兩個(gè)或以上的箭頭的尾部或者箭頭的頭部，前者表明這個(gè)根本不是良性映射，后者表明該元素是多個(gè)元素的像，不是單射.有了這些規(guī)定后，就可以把一個(gè)局部的循環(huán)置換的元素排成一個(gè)環(huán)狀來表示，比如上面的3元置換π.那么現(xiàn)在可以用這種新定義的方法來表示

了，如圖2.并且一個(gè)有限集的所有置換都可以表示成這種形式，可以發(fā)現(xiàn)，這是由若干個(gè)封閉的圓環(huán)構(gòu)成，每個(gè)圓環(huán)表示一個(gè)局部的循環(huán)置換，所有元素都穿過且僅穿過一個(gè)圓環(huán)，這是比較有趣的，而且十分形象，直觀.事實(shí)上，在一般的情況下，并不必要這樣來表示一個(gè)置換，但是用這種表示方法可以有助于解決下面要討論的穿珠子問題.

圖1

圖2

4應(yīng)用

對于n個(gè)可辨的珠子，要求用線把這些珠子穿成若干個(gè)環(huán)，而且每個(gè)珠子只能被一條線穿過，我們還規(guī)定，不同的穿珠順序是不同的穿法，例如

a1→a2→a3→a4→a1和a1→a3→a2→a4→a1

圖3

是不同的穿法，當(dāng)然，對于1個(gè)珠子成環(huán)和2個(gè)珠子成環(huán)都是只有一種順序.我們問總共有多少種穿珠的辦法.

[參考文獻(xiàn)]

[1]張禾瑞.近世代數(shù)基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，1978，54-55.

AProoftoCirculantPermutationDecompositionTheoremanditsApplication

CHEN Jian-Fu

(SchoolofMathematicsandInformatics,GuangZhouUniversity,Guangzhou510006,China)

Abstract:Circulantpermutationdecompositiontheorem:everypermutationπcanbedenotedbytheproductofseveraldisconnectedcirculantpermutation,whichisoneofthemostfundamentaltheoremingroupstheory.Insometexts,thistheoremisprovedwithmathematicalinduction.Whilethisarticleprovidesavisualizedproofandanewmethodtodenoteapermutation,whichcanbeusedtosolveacombinatorialproblemaboutstringingbeads.

Keywords:permutation;circulantpermutationdecomposition;permutationgroup

[中圖分類號(hào)]O152；O157

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]1672-1454(2015)04-0095-04