幾類中值定理中間點的分析性質

傅新梅,　劉　晴,　李宏亮

(1.浙江外國語學院數(shù)學系，杭州310012;　2. 杭州市大禹路小學， 杭州310012)

幾類中值定理中間點的分析性質

傅新梅1,劉晴2,李宏亮1

(1.浙江外國語學院數(shù)學系，杭州310012;2. 杭州市大禹路小學， 杭州310012)

[摘要]給出了廣義Taylor公式、高階Cauchy中值定理及加權型中值定理中間點的單值性、連續(xù)性及可導性的充分條件，并給出了求導公式.

[關鍵詞]Taylor公式； 中間點； 單值； 連續(xù)； 可導

1引言

2007年劉龍章、戴立輝、楊志輝[1]討論了Lagrange中值定理和Cauchy中值定理中間點ξ的單調性、連續(xù)性及可導性問題.2009年程希旺[2]則對Taylor中值定理中間點ξ的單值性、連續(xù)性及可導性問題進行研究分析.2012年時統(tǒng)業(yè)、謝井、李鼎[3]引進一個新函數(shù)F(h(x),k)，用較簡便的方法討論了Taylor中值定理中間點ξ的單值性、連續(xù)性及可導性問題.

本文主要對廣義Taylor公式、高階Cauchy中值定理及加權型中值定理的中間點的單值性、連續(xù)性及可導性問題進行研究.

2引理

引理1(廣義Taylor公式[4])設函數(shù)f(x)和g(x)在[a,b]上具有n-1階連續(xù)導數(shù)，在[a,b]內f(n)(x)和g(n)(x)存在，且g(n)(x)≠0則對任何x∈(a,b)至少存在一點ξ∈(a,x),使

(1)

引理2(高階Cauchy中值定理[4])設函數(shù)f(x)和g(x)在[a,b]上具有n-1階導數(shù)，在(a,b)內具有n階導數(shù)，且g(n)(x)≠0則對任何x∈(a,b)至少存在一點ξ∈(a,x)使

(2)

引理3[5]設函數(shù)f(x),g(x)滿足

(i) 在區(qū)間[a,x]上有定義，且有n-1階的連續(xù)導數(shù)f(n-1)(x),g(n-1)(x)，

(ii) 在開區(qū)間(a,x)內有n階導數(shù)，且

0

則至少存在點ξ∈(a,x)，使

(3)

其中

3結論

定理1設函數(shù)f(x)和g(x)在[a,b]上n+1階連續(xù)可導，且

g(n)(x)≠0，f(n+1)(x)g(n)(x)-f(n)(x)g(n+1)(x)

在(a,b)內保號(恒正或恒負)，則

(i) 滿足(1)式的“中間點”ξ=ξ(x)是x的單值連續(xù)函數(shù)；

(ii) 滿足(1)式的“中間點”ξ=ξ(x)是x的可導函數(shù)，當n=1時，其導數(shù)為

當n≥2時其導數(shù)為

由已知條件g(n)(x)≠0，f(n+1)(x)g(n)(x)-f(n)(x)g(n+1)(x)在(a,b)內保號(恒正或恒負)，可知φ(x)是單調函數(shù)，那么(1)式的“中間點”ξ=ξ(x)是x的單值函數(shù).另一方面

其中ξ(x)介于a,x之間，ξ(x+Δx)介于a,x+Δx之間，η介于ξ(x),ξ(x+Δx)之間.

令

由于f(n+1)(x)g(n)(x)-f(n)(x)g(n+1)(x)在(a,b)內保號且f(n+1)(x),g(n+1)(x)連續(xù)，故存在ξ(x)的一個領域∪(ξ(x),δ)，使得

因此

=0.

故滿足(1)式的“中間點”ξ=ξ(x)是x的單值連續(xù)函數(shù)得證，即結論(i)成立.且

將F′(x)和G′(x)帶入上式，就能分別得到當n=1和n≥2時的導數(shù)公式，即結論(ii)成立.

注1(i) 當g(x)=(x-a)n時，那么f(n+1)(x)g(n)(x)-f(n)(x)g(n+1)(x)在(a,b)內保號，即f(n+1)(x)保號. 故定理1是[2]中定理2的推廣.

(ii) 當n=1時，廣義Taylor公式為Cauchy中值定理.故定理1是對[1]中定理3的推廣.

對高階Cauchy中值定理類似于定理1的證明可得到下面的結論.

定理2設函數(shù)f(x)和g(x)是[a,b]上n+1階連續(xù)可導，且

g(n)(x)≠0，f(n+1)(x)g(n)(x)-f(n)(x)g(n+1)(x)

內保號(恒正或恒負)，則

(i) 滿足 (2)式的“中間點”ξ=ξ(x)是x的單值連續(xù)函數(shù)；

(ii) 滿足 (2) 式“中間點”ξ=ξ(x)是x的可導函數(shù)，其導數(shù)為

對于加權型中值定理也有下面的結果.

定理3設函數(shù)f(x)和g(x)是[a,b]上n+1階連續(xù)可導，且

g(n)(x)≠0，f(n+1)(x)g(n)(x)-f(n)(x)g(n+1)(x)

在(a,b)內保號(恒正或恒負)，則

(i) 滿足(3)式的“中間點”ξ=ξ(x)是x的單值連續(xù)函數(shù)；

(ii) 滿足(3)式的“中間點”ξ=ξ(x)是x的可導函數(shù)，導數(shù)為

其中

其中Tn=1.

證類似于定理1中(i)的證明可得結論(i)成立.利用定理1中(ii)的證明方法結合行列式的求導公式以及行列式的相關性質可得結論(ii)成立.

[參考文獻]

[1]劉龍章，戴立輝，楊志輝.再論微分中值定理“中間點”ξ的性質[J].大學數(shù)學， 2007，23(4)：164-166.

[2]程希旺. 泰勒中值定理中值點的分析性質[J].數(shù)學的實踐與認識，2009，39(4)：236-238.

[3]時統(tǒng)業(yè)，謝井，李鼎.論泰勒中值定理中間點的性質[J].大學數(shù)學，2012，28(4)：121-123.

[4]苗俊嶺.廣義微分中值定理中間值的漸近性[J].黑龍江農墾師專學報，2001，4(58)：88-90.

[5]馬躍超，陳俠.加權型中值定理[J].沈陽航空工業(yè)學院學報，2002，19(2)：63-65.

TheIntermediatePoint’sAnalyticalPropertiesofSomeKindsofMeanValueTherom

FU Xin-mei1，LIUQing2，LIHong-liang1

(1.DepartmentofMathematics,ZhejiangInternationalStudiesUniversity,Hangzhou, 310012,China；

2.HangzhouDaYuluPrimarySchool,Hangzhou310030,China)

Abstract:WeobtainsomesufficientconditionsfortheintermediatepointsofgeneralTaylorformula,highorderCauchy’smeanvaluetheoremandtheweightedmeantheoremtohavesingle-value,continuity,differentiability.Atthesametime,wegetformulaetocalculatederivatives.

Keywords:generalTaylorformula;intermediatepoint;single-valued;continuity;derivative

[基金項目]國家自然科學基金(11371048)； 北京建筑大學雙語課程建設(常微分方程)；北京建筑大學穩(wěn)定性理論優(yōu)質課程(K2015004)

[收稿日期]2015-02-13；[修改日期]2015-05-31

[中圖分類號]O156

[文獻標識碼]C

[文章編號]1672-1454(2015)04-0060-04