反對(duì)角算子矩陣及其平方的單值延拓性質(zhì)

反對(duì)角算子矩陣及其平方的單值延拓性質(zhì)

崔苗苗，曹小紅
（陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，西安710119）

本文主要證明了，復(fù)無限維可分Hilbert空間上的反對(duì)角算子矩陣及其平方具有單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng)的等價(jià)性.

單值延拓性質(zhì)；緊攝動(dòng)；反對(duì)角算子矩陣

1預(yù)備知識(shí)

在本文中，H表示一個(gè)復(fù)無限維可分Hilbert空間.B（H）表示H上有界線性算子的全體，K（H）表示H上所有緊算子構(gòu)成的雙邊理想.對(duì)T∈B（H），令N（T）和R（T）分別表示算子T的零空間和值域.稱算子T為半Fredholm算子，若R（T）閉且n（T）或n（T?）有限，其中n（T）=dimN（T），n（T?）=dimN（T?）且T?表示T的共軛算子.此時(shí)T的指標(biāo)記為ind（T）=n（T）-n（T?）.Wolf譜σSF（T）定義為稱ρSF（T）=CσSF（T）為算子T的半Fredholm預(yù)解集.記逼近預(yù)解集ρa(bǔ)（T）=｛λ∈ρSF（T）：n（T-λI）=0｝，ρSF+（T）=｛λ∈ρSF（T）：n（T-λI）＜∞｝.若T是半Fredholm算子，當(dāng)-∞＜ind（T）＜+∞，則稱T是Fredholm算子；當(dāng)ind（T）=0時(shí)則稱T是Weyl算子.算子T的升標(biāo)asc（T）為滿足N（Tn）=N（Tn+1）的最小的非負(fù)整數(shù)，若這樣的整數(shù)不存在，則記asc（T）=∞；算子T的降標(biāo)des（T）為滿足R（Tn）=R（Tn+1）的最小的非負(fù)整數(shù)，同樣當(dāng)這樣的整數(shù)不存在，則記des（T）=∞.當(dāng)T為有有限升標(biāo)和有限降標(biāo)的Fredholm算子時(shí)，稱T為Browder算子.本質(zhì)譜σe（T），Weyl譜σw（T）分別定義為

2單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng)

在本文中，將單值延拓性質(zhì)簡(jiǎn)寫為SVEP，T有單值延拓性質(zhì)記作T∈（SVEP）.算子的單值延拓性質(zhì)最早是N.Dunford在研究譜算子類的時(shí)候提出來的（參見文獻(xiàn)［1-3］等），該性質(zhì)在Fredholm理論和局部譜理論中都有很重要的地位.近年來，許多作者研究了單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng)［4-5］.事實(shí)上很多重要的算子類的單值延拓性質(zhì)受到了廣大學(xué)者的關(guān)注，例如亞正規(guī)算子，可分解的算子［6-8］及加權(quán)移位算子［9］等等.與此同時(shí)，某些具有特殊性質(zhì)的算子也滿足單質(zhì)延拓性質(zhì).例如，T滿足intσp（T）=?，或滿足Bishop's（β）性質(zhì)，或滿足（δ）性質(zhì)［7］時(shí)都滿足單質(zhì)延拓性質(zhì)，其中σp（T）表示算子T的點(diǎn)譜.

三角算子矩陣的單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng)在近幾年得到了學(xué)者們的關(guān)注.上三角算子矩陣的單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng)已經(jīng)取得了較好的成果［10-11］，而下三角算子矩陣的單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng)的相關(guān)研究工作至今仍未得到較大的進(jìn)展.本文研究2×2反對(duì)角算子矩陣的單值延拓性質(zhì).首先有幾個(gè)引理.引理2.1設(shè)則以下敘述等價(jià).

（1）AB有單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng)；

（2）BA有單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng)；

（3）T2有單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng).

證明（1）?（2）.由AB有單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng)知intσSF（AB）=?且ρSF（AB）連通（文獻(xiàn)［4］，定理1.3）.

1）intσSF（BA）=?.若不然，則存在鄰域Bδ（μ0）?σSF（BA）.由于intσSF（AB）=?，于是存在μ1∈Bδ（μ0）使得AB-μ1I為半Fredholm算子.又由ρSF（AB）連通，則AB-μ1I為Browder算子，故存在μ2/=0且μ2∈Bδ（μ0）使得AB-μ2I可逆，因此BA-μ2I可逆，矛盾.

2）ρSF（BA）連通.斷言：ρSF（BA）=ρ（BA）∪σ0（BA）.只需證ρSF（BA）?ρ（BA）∪σ0（BA）.設(shè)μ0∈ρSF（BA），若μ0/∈ρ（BA），則μ0∈ρSF（BA）∩σ（BA），故存在鄰域Bδ（μ0）且當(dāng)μ∈Bδ（μ0）時(shí)BA-μI為半Fredholm算子.由于intσSF（AB）=?，于是存在μ1∈Bδ（μ0）使得AB-μ1I為半Fredholm算子.又由ρSF（AB）連通，則AB-μ1I為Browder算子，故存在μ2/=0且μ2∈Bδ（μ0）使得AB-μ2I可逆.我們知道ρ（AB）和ρ（BA）至多相差零點(diǎn)，于是BA-μ2I可逆，因此μ0∈?σ（BA）.由BA-μ0I為半Fredholm算子知BA-μ0I有n≥d的拓?fù)湟恢陆禈?biāo)，結(jié)合μ0∈?σ（BA），則BA-μ0I為Browder算子（見文獻(xiàn)［12］，推論4.9）.

因?yàn)棣裇F（AB）連通，所以ρSF（AB）=ρ（AB）∪E，其中E?C為可數(shù)集.我們知道ρ（AB）與ρ（BA）至多相差一個(gè)點(diǎn)，于是由ρSF（AB）的連通性知ρSF（BA）連通.

（2）?（3）.由BA有單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng)知intσSF（BA）=?且ρSF（BA）連通（見文獻(xiàn)［4］，定理1.3）.

1）intσSF（T2）=?.若不然，則存在鄰域Bδ（μ0）?σSF（T2）.由于intσSF（BA）=?，于是存在μ1∈Bδ（μ0）使得BA-μ1I為半Fredholm算子.又由ρSF（BA）連通，則BA-μ1I為Browder算子，故存在μ2/=0且μ2∈Bδ（μ0）使得BA-μ2I可逆.我們知道ρ（AB）和ρ（BA）至多相差一個(gè)零點(diǎn)，則AB-μ2I可逆，因此T2-μ2I可逆（文獻(xiàn)［13］，（3.9）），矛盾.

2）ρSF（T2）連通.因?yàn)锽A有單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng)，所以同（1）?（2）可證得AB有單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng)，則intσSF（AB）=?且ρSF（AB）連通（文獻(xiàn)［4］，定理1.3）.由于AB∈（SVEP）且BA∈（SVEP），于是對(duì)任意的μ∈C，ind（AB-μI）≤0且ind（BA-μI）≤0，故ρSF（AB）= ρSF+（AB），ρSF（BA）=ρSF+（BA）（文獻(xiàn)［5］，推論11）.又由ρSF（AB）和ρSF（BA）連通，則ρSF（AB）=ρSF+（AB）=ρ（AB）∪E1，ρSF（BA）=ρSF+（BA）=ρ（BA）∪E2，其中E1?C，E2?C均為可數(shù)集.我們知道ρ（AB）和ρ（BA）至多相差一個(gè)點(diǎn)，于是由ρSF（AB）和ρSF（BA）的連通性知ρSF（T2）=ρSF（AB）∩ρSF（BA）連通.

（3）?（1）.由于T2有單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng)，于是對(duì)任意的緊算子K，intσSF（T2）= intσSF（T2+K）=?且ρSF（T2）=ρSF（T2+K）連通（文獻(xiàn)［4］，定理1.3）.

1）intσSF（AB）=?.若不然，則存在Bδ（μ0）?σSF（AB）.由于intσSF（T2）=?，于是存在μ1∈Bδ（μ0）使得T2-μ1I為半Fredholm算子.又由ρSF（T2）連通，則T2-μ1I為Browder算子，故存在μ2/=0且μ2∈Bδ（μ0）使得T2-μ2I可逆，因此AB-μ2I可逆（文獻(xiàn)［13］，（3.9）），矛盾.

2）ρSF（AB）連通.若ρSF（AB）不連通，則存在ρSF（AB）的有界連通分支?.令Γ=??.由Γ?σSF（AB），則存在緊算子K1使得，其中N為正規(guī)算子且σ（N）=σSF（N）=Γ（文獻(xiàn)［14］，引理2.10）.對(duì)正規(guī)算子N，令Φ為C［σ（N）σ0（N）］的所有有界連通分支的并，由文獻(xiàn)［15，定理3.1］知存在緊算子使得σ（N+）=σ（N）∪Φ=，于

其中K′=為緊算子.由于intσSF（T2+K′）=?，于是存在μ∈?使得T2+K′-μI為半Fredholm算子.又由ρSF（T2+K′）連通，則存在μ0/=0且μ0∈?使得T2+K′-μ0I可逆，故AB+K0-μ0I可逆（文獻(xiàn)［13］，（3.9）），因此N+2-μ0I為下有界算子.因?yàn)镹+2-μ0I為Weyl算子，則N+2-μ0I可逆，矛盾.

（1）若T-λI為上（下）半Fredholm算子，則AB-λ2I和BA-λ2I均為上（下）半Fredholm算子且ind（AB-λ2I）=ind（BA-λ2I）=ind（T-λI）；

（2）σSF（T）=

斷言2：n（AB-λ2I）=n（T-λI）.設(shè)x1,x2,···,xn為N（AB-λ2I）的一組線性無關(guān)向量，由斷言1可知為N（T-λI）中一組線性無關(guān)向量，即n（AB-λ2I）≤n（T-λI）.

斷言3：R（AB-λ2I）閉.設(shè)（AB-λ2I）xn→y（n→∞），則由T-λI為上半Fredholm算子知R（T-λI）閉，因而存在易求得y=（AB-λ2.因此R（AB-λ2I）閉.

同理可證：（I）BA-λ2I為上半Fredholm算子且n（BA-λ2I）=n（T-λI），d（AB-λ2I）= d（BA-λ2I）=d（T-λI）.綜上所述若T-λI為上半Fredholm算子，則AB-λ2I和BA-λ2I都為上半Fredholm算子且ind（AB-λ2I）=ind（BA-λ2I）=ind（T-λI）；（II）若T-λI為下半Fredholm算子，則AB-λ2I，BA-λ2I為下半Fredholm算子且ind（AB-λ2I）=ind（BA-λ2I）=ind（T-λI）.

結(jié)合引理2.1和引理2.2不難得出本文中的主要定理.

則有

由于S∈（SVEP），于是f≡0，從而f1≡0，因此S1∈（SVEP）.

下證：1）intσSF（T）=?.若不然，則存在Bε（λ0）?σSF（T）.令Γ=?Bε（λ0）.由Γ?σSF（T），則存在緊算子K1使得,其中N為正規(guī)算子且σ（N）=σSF（N）=Γ（文獻(xiàn)［14］，引理2.10）.對(duì)正規(guī)算子N，令Φ為C［σ（N）σ0（N）］的所有有界連通分支的并，由文獻(xiàn)［15，定理3.1］知存在緊算子K2使得σ（N+K2）=σ（N）∪Φ=?，于是??σ（N+

其中K′=TK+KT+K2為緊算子.由于T2有單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng)，于是由斷言1可知（N+）2∈（SVEP）.又由σ（N）=Γ，則

（I）當(dāng)λ0=0時(shí)，任取0/=λ∈Bε（λ0），都有-λ/∈Γ；

（II）當(dāng)λ0/=0時(shí)，讓?duì)懦浞中】墒沟?/∈Bε（λ0），則對(duì)任意的λ/=0且λ∈Bε（λ0），有-λ/∈Γ.故存在λ1∈Bε（λ0）使得-λ1/∈Γ，因而N-λ1I,N+λ1I可逆，故（N+）2-I為Weyl算子.由于（N+）2∈（SVEP），于是（N+）2-λ21I為Browder算子（文獻(xiàn)［4］，定理15），故N+-λ1I為Browder算子，因而存在λ2∈?使得N+K2-λ2I可逆，矛盾.

2）ρSF（T2）連通.反證，若ρSF（T2）不連通，則存在ρSF（T2）的有界連通分支?.令Γ=??.由于Γ?σSF（T），于是存在緊算子K1使得,其中N為正規(guī)算子且σ（N）=σSF（N）=Γ（文獻(xiàn)［14］，引理2.10）.對(duì)正規(guī)算子N，令Φ為C［σ（N）σ0（N）］的所有有界連通分支的并，由文獻(xiàn)［15，定理3.1］知存在緊算子K2使得σ（N+K2）=σ（N）∪Φ=?，

其中K′=TK+KT+K2為緊算子.由于T2有單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng)，于是T2+K′也有單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng)，則intσSF（T2+K′）=?且（T2+K′）連通（文獻(xiàn)［4］，定理1.3）.任取λ0∈?，有λ0/∈σSF（T）.結(jié)合引理2.2知T2+K′-I為半Fredholm算子，又由（T2+K′）連通，則T2+K′-I為Browder算子，因此T+K-λ0I為Browder算子，從而asc（N+-λ0I）＜∞.因?yàn)镹+K2-λ0I為Weyl算子，故N+-λ0I為Browder算子.同1）知：矛盾.

充分性.先證ρSF（T2）連通.由引理2.2知（T2）=（T）］2.設(shè)f（x）=x2，則ρSF（f（T））=（T2）=［ρSF（T）］2=f（T））.若ρSF（T2）不連通，則存在隔離子集A,B?C使得（T2）=A∪B，其中［A∩］∪∩B］=?.

由ρSF（T2）=（T）］2知ρSF（T）=f-1（A∪B），其中f-1（A∪B）表示（A∪B）在映射f下的原像.由于

再證intσSF（T2）=?.若不然，則存在Bδ（μ0）?σSF（T2）.設(shè)μ0=，由引理2.2知λ0∈σSF（T）.因?yàn)閕ntσSF（T）=?，則存在λn→λ0使得T-λnI可逆，于是T+λnI可逆且→（文獻(xiàn)［13］，（3.10）和（4.3）），因此T2-可逆，這與μ0∈in（T2）矛盾.

（1）T有單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng)時(shí)推不出A和B有單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng).例如，設(shè)

（2）A和B有單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng)時(shí)推不出T有單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng).

例如，設(shè)

且令A(yù),B∈B（?2⊕?2）,T∈B（?2⊕?2⊕?2⊕?2）分別定義為

其中

由上述可知：

1）σ（A1B2）=D，故σ（T2）=σSF（T2）=D.因此T2沒有單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng)（文獻(xiàn)［4］，定理1.3），由定理2.1知T沒有單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng).

2）σ（A1A2）=σ（B1B2）=｛0,1｝，則σ（A）=σ（B）=｛0,1,-1｝，因此A和B有單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng)（文獻(xiàn)［4］，定理1.3）.

（1）若A∈（SVEP），B為代數(shù)算子且AB=BA，則BA∈（SVEP）.

（2）若A有單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng)，B為代數(shù)算子，則對(duì)任意滿足BK=KB的緊算子K，BA+K∈（SVEP）.

證明（1）對(duì)任意一個(gè)開集U?C，設(shè)f：U→H為解析函數(shù)且滿足（BA-λI）f（λ）= 0，下證f≡0.

因?yàn)锽為代數(shù)算子，所以存在復(fù)數(shù)γ1,γ2,···,γk使得（B-γ1）（B-γ2）···（B-γk）=0，其中k為固定的正整數(shù).令pj（λ）=（λ-γ1）（λ-γ2）···（λ-γj）,j=1,2,···,k.斷言：pj（B）f（λ）=0,j=1,2,···,k.

由于（BA-λI）f（λ）=0，于是（B-γk）Af（λ）+（γkA-λ）f（λ）=0.又由AB=BA，則pk（B）Af（λ）+（γkA-λ）pk-1（B）f（λ）=0，故（γkA-λ）pk-1（B）f（λ）=0.因?yàn)锳∈（SVEP），因此pk-1（B）f（λ）=0.依此類推可證得pj（B）f（λ）=0,j=1,2,···,k，從而p1（B）f（λ）=（B-γ1）f（λ）=0，則（B-γ1）Af（λ）=0.由于（BA-λI）f（λ）=0，于是（B-γ1）Af（λ）+（γ1A-λ）f（λ）=0，故（γ1A-λ）f（λ）=0.又由A∈（SVEP），則f≡0.

綜上所述：BA∈（SVEP）.

（2）若對(duì)任意滿足BK=KB的緊算子K，對(duì)任意一個(gè)開集U?C，設(shè)f：U→H為解析函數(shù)且滿足（BA+K-λI）f（λ）=0，下證f≡0.

由于B為代數(shù)算子，于是存在復(fù)數(shù)γ1,γ2,···,γk使得（B-γ1）（B-γ2）···（B-γk）=0，其中k為固定的正整數(shù).令pj（λ）=（λ-γ1）（λ-γ2）···（λ-γj）,j=1,2,···,k.斷言：pj（B）f（λ）=0,j=1,2,···,k.

由（BA+K-λI）f（λ）=0可知（B-γk）Af（λ）+（γkA+K-λ）f（λ）=0，且由AB=BA可得pk（B）Af（λ）+（γkA+K-λ）pk-1（B）f（λ）=0，從而（γkA+K-λ）pk-1（B）f（λ）=0.因?yàn)锳有單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng)，所以pk-1（B）f（λ）=0.依此類推可證得pj（B）f（λ）=0,j=1,2,···,k，從而p1（B）f（λ）=（B-γ1）f（λ）=0，則（B-γ1）Af（λ）=0.由于（BA+K-λI）f（λ）=0，于是（B-γ1）Af（λ）+（γ1A+K-λ）f（λ）=0，故（γ1A+K-λ）f（λ）=0.又由A有單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng)，則f≡0.

由引理2.1和定理2.1，自然提出問題：對(duì)反對(duì)角算子矩陣，在什么條件下A和B滿足單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng)當(dāng)且僅當(dāng)T滿足單值延拓性質(zhì)的攝動(dòng)？目前對(duì)該問題，我們還沒有找到答案.

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（責(zé)任編輯王善平）

Single-value extension property for anti-diagonal operator matrices and their square

CUI Miao-miao，CAO Xiao-hong
（Department of Mathematics and Information Science，Shaanxi Normal University，Xi'an710119，China）

In this paper，we mainly proved the equivalence of the perturbation of single-value extension property for anti-diagonal operator matrices and their square on an infinite dimensional separable Hilbert space.

single-value extension property；compact perturbations；anti-diagonal operator matrices

O177.2

A

10.3969/j.issn.1000-5641.2015.01.011

1000-5641（2015）01-0095-08

2014-01

國(guó)家自然科學(xué)基金（11471200，11371012）；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)基金（GK201301007）

崔苗苗，女，在讀碩士，研究方向?yàn)樗阕永碚?E-mail address：cuiye@snnu.edu.cn.

曹小紅，女，博士，教授，研究方向?yàn)樗阕永碚?E-mail address：xiaohongcao@snnu.edu.cn.