一種基于相位調(diào)制的新型低頻正弦頻率計算方法

王越超，李 軍

(廣東電網(wǎng)有限責(zé)任公司電力科學(xué)研究院，廣東廣州510080)

0 引言

在系統(tǒng)頻率測量和頻率特性分析方面，各種算法不斷產(chǎn)生［1－15］，在低頻正弦頻率測量上有多種算法［1－8］，如零交法［1］、基于幅值調(diào)制的測量算法［2］、基于帶通濾波的算法［3］、基于小波變換算法［4］、基于人工智能的的算法［5］、基于離散傅里葉(DFT)變換算法［6］、基于一階導(dǎo)數(shù)的算法［7］等。

高準(zhǔn)確度的正弦頻率測量技術(shù)是一些應(yīng)用技術(shù)的基礎(chǔ)，文獻［1］指出了一種電力系統(tǒng)阻抗測量方法需要有精準(zhǔn)的頻率測量結(jié)果作為參考值。電力系統(tǒng)額定工頻50 Hz［9］屬于頻率較低的正弦頻率。但目前的頻率測量技術(shù)在低頻正弦頻率測量方面普遍存在準(zhǔn)確度不高、抗噪聲包括抗諧波干擾性不強等問題。

零交法(zero-crossing algorithm)是低頻正弦頻率測量的基本方法［1］，如用于電力系統(tǒng)工頻頻率的測量，該方法原理是通過檢測過程信號波形的過零點，利用1 個或幾個周期過零點的時間間隔來計算出此段波形的頻率值。但研究結(jié)果表明，在存在干擾的情況下，該方法測量出的頻率值存在較大的誤差［1］。

離散傅里葉(DFT)變換算法是用于正弦頻率計算的基本數(shù)學(xué)方法［6］。但DFT 算法存在一定的局限性，其中信號的非整數(shù)周期截斷所引起頻譜泄漏問題是造成DFT 算法誤差的主要內(nèi)在原因［6］，由于頻譜泄漏問題客觀上難以避免，因此DFT 算法難以滿足正弦頻率的高準(zhǔn)確度計算要求。

在現(xiàn)有高準(zhǔn)確度低頻正弦頻率測量方法研究中［8］，一些方法在研究上沒有充分考慮實際信號處理技術(shù)的局限性和信號構(gòu)成的復(fù)雜性，如信號離散采樣產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量化背景噪聲影響問題、信號中的分次諧波影響問題等。

1 新型正弦頻率計算原理

新型正弦頻率測量方法的基本原理是:對低頻正弦信號序列進行相位調(diào)制，得到相位隨信號頻率變化、但相位變化方向相反的2 路相位調(diào)制序列;通過精密相位計算，得到2 路相位調(diào)制序列的精密相位;通過精密相位(差)計算，得到2 路相位調(diào)制序列的精密相位差;根據(jù)2 路相位調(diào)制序列的精密相位差，可得到信號序列的正弦頻率，如圖1所示。

圖1 正弦頻率測量原理示意圖Fig.1 Schematic diagram of the sinusoidal frequency measurement

圖1所示，正弦頻率測量需要借助一個頻率初測單元實現(xiàn)，頻率初測單元作用是給出參考頻率，并根據(jù)參考頻率進行精密相位計算，允許頻率初測單元存在± 0.25% 以內(nèi)的相對誤差。

2 相位調(diào)制原理

相位調(diào)制方式為:用信號序列和它的±1π 移相序列相減，得相位隨信號頻率變化、但相位變化方向相反的相位調(diào)制A 序列和相位調(diào)制B 序列。

首先令信號序列為

式中:Xi(n)為信號序列;A 為信號幅值，V;ω 為信號頻率，rad/s;Tn為信號采樣間隔，s;φ 為初相位，rad;Nπ為1π 移相序列長度，單位無量綱;N 為序列長度，單位無量綱。

根據(jù)參考頻率計算1π 移相序列長度，為

式中:(int)代表取整數(shù)。由于Nπ整數(shù)化存在1 個采樣間隔內(nèi)的誤差，需要根據(jù)實際1π 移相序列長度計算調(diào)相頻率，為式(3):

式中:ωph為調(diào)相頻率，rad/s。

信號頻率與調(diào)相頻率的頻差為

式中:Ωph為調(diào)相頻差，rad/s。

信號頻率與參考頻率的頻差為

式中:Ω 為頻差，rad/s。

相位調(diào)制A 序列為

式中:XPhA(n)為相位調(diào)制A 序列;kph為相位調(diào)制序列的幅值系數(shù)、單位無量綱。相位調(diào)制A 序列的調(diào)制相位為

式中:PHA為相位調(diào)制A 序列的調(diào)制相位，rad。

相位調(diào)制B 序列為式(8):

式中:XPhB(n)為相位調(diào)制B 序列。相位調(diào)制B 序列的調(diào)制相位為式(9):

式中:PHB為相位調(diào)制B 序列的調(diào)制相位，rad。

相位調(diào)制需要使用1 倍信號周期序列長度。

所述兩種相位調(diào)制序列在頻域的幅頻特性完全相同，其中在參考頻率100 πrad/s，得到的頻域幅頻特性，如圖2所示。

圖2 輸出序列幅頻特性示意圖Fig.2 Schematic diagram of the amplitude frequency characteristics of the output sequence

圖2所示，相位調(diào)制序列對偶次諧波有較好的抑制作用，對分次諧波也有較好的衰減作用。

3 精密相位計算原理

圖1所示，相位計算準(zhǔn)確度直接決定了新型頻率測量方法的準(zhǔn)確度。為了獲得較高的相位計算準(zhǔn)確度，文章提出了一種基于正交混頻的精密相位計算方法，如圖3所示。

圖3所示，對輸入序列進行正交混頻，得到了互為正交的實頻序列和虛頻序列。

3.1 混頻信號和混頻干擾

圖3所示，所謂的混頻器實際上是乘法器，以實頻混頻信號為例，混頻干擾分析如下:

設(shè)信號由基波、1/3、1/2、2，3 次諧波構(gòu)成為例，為式(10):

圖3 精密相位計算方法示意圖Fig.3 Schematic diagram of the precise phase measurement

在信號基波頻率等于參考頻率，實頻混頻信號為

式中:XR(t)為實頻混頻信號;cos(φ)/2 為有用信號，其余的均為混頻干擾信號。

以相位調(diào)制A 序列為例，在不考慮混頻干擾前提下，實頻序列和虛頻序列為

式中:XRA(n)為實頻序列;XIA(n)為虛頻序列。

3.2 數(shù)字濾波

混頻干擾嚴(yán)重影響相位計算準(zhǔn)確度，是造成頻率計算誤差的主要內(nèi)在原因，設(shè)計一種數(shù)字濾波對混頻干擾進行抑制。從精密相位計算角度考慮，數(shù)字濾波必須能夠完全濾除所述的混頻干擾。數(shù)字濾波具體采用算術(shù)平均濾波算法，即對NT個連續(xù)離散值相加，然后取其算術(shù)平均值作為本次濾波值輸出。為了方便計算數(shù)字濾波參數(shù)，在參考頻率等于信號基波頻率時，給出如下混頻頻率計算表1。

表1 混頻頻率計算表Tab.1 Calculation of mixing frequency

根據(jù)表1 計算結(jié)果，在數(shù)字濾波參數(shù)NT取值為2ω/3 頻率單位周期序列長度時，可以對2ω/3和4ω/3 混頻頻率進行抑制。而NT取值為ω/2 頻率單位周期序列長度時，可以對ω/2、3ω/2、1ω、2ω、3ω、4ω、5ω 混頻頻率進行抑制。因此，數(shù)字濾波由2 種參數(shù)的數(shù)字濾波所構(gòu)成，為了提高對混頻干擾的抑制性能，每種參數(shù)的數(shù)字濾波均由參數(shù)相同的三級數(shù)字濾波組成。

數(shù)字濾波為式(13):

式中:D1(n)為數(shù)字濾波1 輸出序列;X(n)為數(shù)字濾波1 輸入序列;NT1為濾波參數(shù)1、即連續(xù)離散值相加數(shù)量;D2(n)為數(shù)字濾波2 輸出序列;NT2為濾波參數(shù)2、即連續(xù)離散值相加數(shù)量。2 級數(shù)字濾需要使用10.5 倍信號周期序列長度。

數(shù)字濾波用于實頻序列，數(shù)字濾波輸入序列為XRA(n)，數(shù)字濾波輸出序列為XRAD(n);而用于虛頻序列，數(shù)字濾波輸入序列為XIA(n)，數(shù)字濾波輸出序列為XIAD(n)。

實際根據(jù)參考頻率計算濾波參數(shù)，在采樣頻率10 kHz，參考頻率100 πrad/s，則NT1=300，NT2=400，計算得到數(shù)字濾波頻域特性如圖4所示。

圖4 中，K(ω)為數(shù)字濾波頻域幅頻增益、單位dB，給出的頻域特性對表1 給出的混頻頻率具有完全的抑制作用。

由于實際存在誤差，包括參考頻率誤差，數(shù)字濾波參數(shù)誤差。在參考頻率變化時，數(shù)字濾波參數(shù)存在1 個采樣間隔內(nèi)的誤差，通過改進算法，可將數(shù)字濾波參數(shù)誤差控制在0.5 個采樣間隔內(nèi)。

圖4 數(shù)字濾波頻域特性示意圖Fig.4 Schematic diagram of frequency characteristics of digital filter

在參考頻率誤差不大于±0.25%或者濾波參數(shù)誤差在0.5 個采樣間隔以內(nèi)，圖4所示的頻域濾波特性對混頻干擾仍然具有良好的抑制特性。其中在基波頻率100 πrad/s，參考頻率100.25 πrad/s，濾波參數(shù)NT1=299、NT2=399，得到結(jié)果如圖5所示。垂直線為表1 給出的混頻頻率點，圖5給出的最小抑制度為－210 dB，換算成衰減量約為3.16 ×10－11。

圖5 混頻頻率抑制特性示意圖Fig.5 Mixing frequency component suppression characteristic diagram

以相位調(diào)制A 序列為例，在混頻干擾得到完全抑制前提下，實頻和虛頻混頻數(shù)字濾波序列為式(14):

式中:XRAD(n)為實頻序列的數(shù)字濾波序列;XIAD(n)為虛頻序列的數(shù)字濾波序列;K(Ω)為數(shù)字濾波在頻差Ω 的增益，單位無量綱;β(Ω)為數(shù)字濾波在頻差Ω 的移相，rad。

3.3 積分計算

以相位調(diào)制A 序列為例，對實頻和虛頻數(shù)字濾波序列進行積分計算，為式(15):

式中:RA為實頻積分值;IA為虛頻積分值。

積分計算使用0.5 倍信號周期序列長度是足夠的。

3.4 相位計算

以相位調(diào)制A 序列為例，相位調(diào)制A 序列的相位計算為

式(16)給出相位計算范圍在±π/2，當(dāng)信號初相位超出±0.5π 時，可能會造成計算錯誤。因此對信號初相位有一定的要求，一般要求信號初相位不超出±0.45π 范圍。通過改進相位計算方法，可將相位計算范圍擴大為±π，這樣允許信號初相位有更大的范圍，可為±0.9π。式(16)的改進相位算法為式(17)

式中:PhAC為改進相位算法的計算相位、范圍±π，＆代表與邏輯。

省略相位調(diào)制B 序列的相位計算過程，相位調(diào)制B 序列的相位計算為

4 精密相位差和正弦頻率計算

根據(jù)式(17)和式(18)，相位差計算為

式(19)中，相位差計算得到了調(diào)制相位的相位差。

根據(jù)式(19)，頻率計算為

5 仿真實驗

進行了電力系統(tǒng)50 Hz 工頻正弦頻率和調(diào)相相位差計算仿真實驗，仿真實驗條件為:實驗信號基波頻率變化范圍在45～55 Hz，信號的采樣頻率10 kHz，信號的離散數(shù)據(jù)量化位數(shù)24 bit，頻率初測單元相對誤差±0.25%，信號序列長度(盡量)取12 倍信號周期序列長度。

具體實驗信號由基波，1/2、1/3、2、3、4、5 次諧波成分等構(gòu)成:

在基波頻率50 Hz、參考頻率50.125 Hz，得到的計算結(jié)果，如表2所示。

表2 新型正弦頻率測量方法實驗結(jié)果Tab.2 Experimental results of novel sinusoidal frequency measurement

在信號基波頻率45～55 Hz 變化、參考頻率相對誤差0.25%時，得到基波頻率計算相對誤差隨信號基波頻率變化的實驗結(jié)果，如圖6所示。圖中，|Ferr(f)|為(隨信號基波頻率變化)基波頻率計算相對誤差絕對值、單位無量綱;f 為信號基波頻率，Hz。分析圖6 實驗結(jié)果，基波頻率相對誤差表現(xiàn)出明顯的隨機性，產(chǎn)生原因主要是離散數(shù)據(jù)量化背景噪聲引起的，也表明數(shù)字濾波能夠?qū)祛l干擾頻率進行深度抑制，濾波后的殘余幅值已低于背景噪聲水平。

圖6 基波頻率相對誤差實驗結(jié)果1Fig.6 The fundamental frequency of relative error of experimental results A

另外，為了考查新型頻率測量方法的抗噪聲干擾特性，進行了白噪聲加擾實驗，所謂白噪聲是指功頻譜密度為常數(shù)的隨機噪聲，通常用信噪比衡量信號的質(zhì)量，表述式為

式中:S:N 為功率信噪比，dB，Xs(n)為信號序列;Es為信號序列在序列長度N 的方差;Xn(n)為白噪聲序列，En為白噪聲序列在序列長度N的方差。

在信號基波頻率50 Hz 和信號窗口時間0.25 s，參考頻率為50.125 Hz，得到頻率相對誤差隨信噪比變化的實驗結(jié)果，如圖7所示。

圖7 基波頻率相對誤差實驗結(jié)果2Fig.7 The fundamental frequency of relative error of experimental results B

圖中:|Ferr(S:N)|為(隨信號信噪比變化)基波頻率計算相對誤差絕對值，單位無量綱;S:N 為信號信噪比，dB。圖7 給出了白噪聲干擾環(huán)境下的頻率計算相對誤差分布圖，其中在信噪比40 dB時可實現(xiàn)10－6量級準(zhǔn)確度的頻率測量。

6 物理實驗

進行了電力系統(tǒng)50 Hz 工頻頻率測量的物理實驗，這里指采集實際的高準(zhǔn)確度信號發(fā)生器或?qū)嶋H電力系統(tǒng)的信號進行頻率計算。具體物理實驗條件為:實驗頻率測量系統(tǒng)的頻率基準(zhǔn)采用準(zhǔn)確度±1 ×10－8量級的恒溫晶振，采集設(shè)備的數(shù)據(jù)量化位數(shù)為24 bit，采集設(shè)備的采樣頻率為10 kHz。

物理實驗結(jié)果表明，新型頻率測量方法用于正弦頻率測量具有較高的準(zhǔn)確度，在45～55 Hz 頻率范圍內(nèi)，在矩形窗口時間0.25 s 得到的正弦頻率計算準(zhǔn)確度優(yōu)于±5.6 ×10－7，在窗口時間1.0 s 得到的正弦頻率計算準(zhǔn)確度優(yōu)于±3.1 ×10－8，如圖8所示。

圖8 頻率相對誤差物理實驗結(jié)果Fig.8 The relative error of the results of physical experiments frequency diagram

圖中:Ferr(t)為(隨過程時間變化)基波頻率計算相對誤差值，單位無量綱;t 為過程時間，s。另外，采集實際電力信號進行頻率計算，同時與“零交法”頻率測量進行對比，得到的結(jié)果，如圖9所示。

圖9 中F(t)為(隨過程時間變化)基波頻率計算值，Hz;t 為過程時間，s。圖9所示，在20 s 時間內(nèi)，信號頻率呈緩慢變化趨勢，采用新型正弦頻率計算方法得到結(jié)果的波動幅度相對較小，而“零交法”頻率測量結(jié)果的波動幅度相對較大，可見新型正弦頻率計算方法相對“零交法”能夠更真實的反映實際頻率變化趨勢。

圖9 實際電力信號頻率計算實驗結(jié)果Fig.9 Calculating the results of experiments schematic diagram of the power frequency signal

7 結(jié)論

精密相位計算方法的本質(zhì)是復(fù)數(shù)積分，文章?lián)Q一個角度看問題，將復(fù)數(shù)積分看成是一種正交混頻器，將頻譜泄漏看成是一種混頻干擾，指出了混頻干擾是是造成正弦頻率計算誤差的主要內(nèi)在原因。文章所設(shè)計的數(shù)字濾波，本質(zhì)上是多種窗口特性的合成，對混頻干擾具有深度的抑制作用，可實現(xiàn)較高準(zhǔn)確度的低頻正弦頻率計算。通過數(shù)學(xué)計算、仿真試驗和物理實驗結(jié)果證明了所提出的新型頻率測量方法的正確性和有效性。本文所提出的方法在電力科學(xué)研究、低頻正弦頻率的測量、低頻率范圍的精密測量儀器的研制等方面具有重要的用途和參考價值。

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