三種直角坐標(biāo)牛頓潮流算法的收斂性比較

祁志遠(yuǎn)，肖仕武

(華北電力大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，北京102206)

0 引言

潮流計(jì)算自出現(xiàn)以來在電力系統(tǒng)中被廣泛應(yīng)用?，F(xiàn)在的潮流計(jì)算都以計(jì)算機(jī)的應(yīng)用為前提，產(chǎn)生了很多算法［1－4］。這些算法按坐標(biāo)系不同可分為直角坐標(biāo)潮流算法和極坐標(biāo)潮流算法兩類。現(xiàn)階段應(yīng)用廣泛的直角坐標(biāo)潮流算法有常規(guī)牛頓算法、保留二階項(xiàng)牛頓法和最優(yōu)步距牛頓法［5－6］。文獻(xiàn)［7－8］從理論上分析了保留二階項(xiàng)牛頓法與傳統(tǒng)牛頓算法的區(qū)別，認(rèn)為保留二階項(xiàng)是一種線性逼近算法，而傳統(tǒng)牛頓算法是一種非線性的逼近算法;文獻(xiàn)［9］認(rèn)為最優(yōu)步距算法將最優(yōu)乘子引入到常規(guī)牛頓法當(dāng)中，不僅可以改善潮流對(duì)初值的敏感性，而且可以解決病態(tài)潮流問題;文獻(xiàn)［10］針對(duì)牛頓類潮流算法對(duì)初值敏感的問題，提出了牛頓類潮流計(jì)算的收斂定理。分析可知，很多文獻(xiàn)都對(duì)直角坐標(biāo)下不同牛頓算法的特點(diǎn)和性能進(jìn)行過闡述［11－12］，但多限于理論分析和判斷，缺乏翔實(shí)的算例。結(jié)果，導(dǎo)致相關(guān)認(rèn)識(shí)缺乏深度和可信度。

本文首先推導(dǎo)了直角坐標(biāo)系下傳統(tǒng)牛頓法、保留二階項(xiàng)牛頓法和最優(yōu)步距牛頓法的統(tǒng)一數(shù)學(xué)模型，對(duì)比分析了它們的收斂特性和收斂判據(jù)。以IEEE－14、IEEE－30、IEEE－39 和IEEE－118節(jié)點(diǎn)等不同規(guī)模的常態(tài)系統(tǒng)和病態(tài)系統(tǒng)為對(duì)象，編寫相應(yīng)的MATLAB 程序，對(duì)三種直角坐標(biāo)牛頓潮流算法的收斂性進(jìn)行比較，得出了有意義的結(jié)論。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 潮流方程

直角坐標(biāo)下潮流計(jì)算方程為

上述非線性方程組可表示為向量:

其中，狀態(tài)量x =［e，f］T。

1.2 傳統(tǒng)牛頓法的基本原理

將式(2)用泰勒級(jí)數(shù)展開，并略去二階項(xiàng)及以上高階項(xiàng)，得到迭代格式

此種方法為傳統(tǒng)牛頓法。

1.3 保留二階項(xiàng)牛頓法的基本原理

由式(1)知，潮流方程是以狀態(tài)變量e 和f 來表示的一組二次代數(shù)方程式。對(duì)這組方程進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開后，不存在二階以上的高階項(xiàng)。因此，在保留其二階項(xiàng)后，就得到一組沒有截?cái)嗾`差的精確表達(dá)式。

將潮流方程組f(x)，在x 附近利用泰勒級(jí)數(shù)進(jìn)行展開，則有

式中H 為二階項(xiàng)，故可得到迭代格式

1.4 最優(yōu)步距牛頓法的基本原理

以牛頓法所得的修正量為最優(yōu)步距方向，即

為了調(diào)整步距，用μ 修正步長(zhǎng)，于是式(5)將變?yōu)?/p>

記:

則式(8)可寫作:

所求目標(biāo)函數(shù)為

即

其中，

式(13)的解就是使F 有最小值的最優(yōu)步距因子μ*。

于是可調(diào)整第k 次迭代的修正量Δx(k)得到最優(yōu)的步距為

2 收斂判據(jù)比較

由于常規(guī)牛頓法、保留二階項(xiàng)牛頓法和最優(yōu)步距牛頓法在對(duì)初始估計(jì)值x(0)的處理上采用了不同的方式，以致這三種方法的Δx 含義也不完全相同。其差別可用圖1 中的迭代過程說明。

從圖1 可知，在傳統(tǒng)牛頓法中，由于每次迭代后的估計(jì)值都在改變，即自x(0)→x(1)→… →x(k)，所以其Δx(k)是以新的估計(jì)值作為基準(zhǔn)而得到的修正值;在保留二階項(xiàng)牛頓法中，由于估計(jì)值x(0)保持不變，所以Δx(k)總是以初始估計(jì)值x(0)作為基準(zhǔn)而得到的修正值;在最優(yōu)步距牛頓法中，其迭代過程類似于常規(guī)牛頓法，只不過其修正值Δx(k)變?yōu)樽顑?yōu)步距Δx*(k)。

圖1 Δx 的比較Fig.1 Comparison of Δx

由于存在上述差別，三種直角坐標(biāo)牛頓算法的收斂判據(jù)也是有區(qū)別的。

常規(guī)牛頓算法的收斂判據(jù)為

即每次迭代的誤差小于某一數(shù)值停止迭代。

保留二階項(xiàng)牛頓法的收斂判據(jù)為

即本次迭代與上次迭代的誤差之差小于某一數(shù)值停止迭代。

最優(yōu)步距牛頓算法的收斂判據(jù)為

即每次迭代的最優(yōu)步距小于某一數(shù)值停止迭代。

由于常規(guī)牛頓法和最優(yōu)步距牛頓法每次迭代都需更新雅可比矩陣，而保留二階項(xiàng)牛頓法只需計(jì)算一次雅可比矩陣，故計(jì)算速度較快;最優(yōu)步距牛頓法由于引入最優(yōu)乘子，潮流總是收斂的。

3 常態(tài)系統(tǒng)潮流算法收斂性比較

本文以IEEE14、IEEE30、IEEE39 和IEEE118 系統(tǒng)進(jìn)為測(cè)試對(duì)象，所選收斂精度為修正量最大值小于10-8(收斂精度是以100 MW 為基準(zhǔn)功率的標(biāo)幺值)。分別對(duì)三種潮流計(jì)算方法進(jìn)行測(cè)試，收斂次數(shù)和計(jì)算時(shí)間的測(cè)試結(jié)果如表1所示，其中IEEE39節(jié)點(diǎn)的半對(duì)數(shù)坐標(biāo)收斂曲線如圖2所示。

圖2 常態(tài)系統(tǒng)不平衡量收斂曲線Fig.2 Convergence curves of deviation for normal system

由圖2 可知，常規(guī)牛頓法和最優(yōu)步距牛頓法的收斂速度接近，即按拋物線型收斂。由于最優(yōu)步距因子的調(diào)整，最優(yōu)步距牛頓法收斂性好于常規(guī)牛頓算法，同樣為4 次收斂，最優(yōu)步距牛頓法的最大有功功率不平衡量明顯小于常規(guī)牛頓算法。而保留二階項(xiàng)的牛頓法收斂速度較慢，收斂曲線基本為直線。

表1 常態(tài)系統(tǒng)的潮流收斂情況Tab.1 Convergence of power flow for the normal system

表1 的結(jié)果表明:對(duì)于相同的收斂精度，不同的測(cè)試系統(tǒng)，常規(guī)牛頓算法和最優(yōu)步距牛頓法收斂次數(shù)比較穩(wěn)定，幾乎不隨系統(tǒng)規(guī)模的增大而增加。但是保留二階項(xiàng)牛頓法就不一樣，隨著系統(tǒng)規(guī)模的增加，迭代次數(shù)迅速增加。然而，保留二階項(xiàng)牛頓法所需的計(jì)算時(shí)間最短，所以保留二階項(xiàng)牛頓法的計(jì)算速度較傳統(tǒng)牛頓法和最優(yōu)步距牛頓法還是快得多。

為了測(cè)試不同收斂精度對(duì)收斂情況的影響，對(duì)IEEE39 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)選用不同的收斂精度，得到表2所示的計(jì)算結(jié)果。

表2 IEEE39 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的潮流收斂情況Tab.2 Convergence of power flow for IEEE－39 nodes system

表2 表明:隨著收斂精度的提高，保留二階項(xiàng)牛頓算法的迭代次數(shù)逐漸增加，而常規(guī)牛頓法和最優(yōu)步距牛頓法的迭代次數(shù)幾乎不隨收斂精度變化。

4 病態(tài)系統(tǒng)潮流算法收斂性比較

以IEEE39 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為算例，采用同步增加所有負(fù)荷節(jié)點(diǎn)有功和無功負(fù)荷的方法使其病態(tài)化，負(fù)荷從1.1 倍逐漸增加至1.5 倍的常態(tài)負(fù)荷，收斂精度取10-8，計(jì)算結(jié)果如表3所示。

表3 不同負(fù)荷下的潮流收斂情況Tab.3 Convergence of power flow under different loads

由表3 知，常規(guī)牛頓法在負(fù)荷增加到1.5 倍常態(tài)負(fù)荷時(shí)開始不收斂，并呈現(xiàn)周期性振蕩現(xiàn)象;在收斂的情況下，其迭代次數(shù)基本保持不變。保留二階項(xiàng)牛頓法從1.2 倍常態(tài)負(fù)荷增加到1.3 倍時(shí)，收斂特性迅速變壞，迭代次數(shù)從24 次迅速上升為105 次，在負(fù)荷增加到1.4 倍的常態(tài)負(fù)荷時(shí)，開始不收斂。最優(yōu)步距牛頓法始終收斂，在1.5倍常態(tài)負(fù)荷條件下，其迭代次數(shù)增加為16 次。另外該方法，在第5 次迭代后，最大功率偏差基本保持不變?？梢娮顑?yōu)步距牛頓法收斂特性最好，有較強(qiáng)的適應(yīng)病態(tài)系統(tǒng)的能力;保留二階項(xiàng)牛頓法適應(yīng)病態(tài)系統(tǒng)的能力最差，對(duì)病態(tài)系統(tǒng)反應(yīng)非常靈敏。圖3 給出了1.5 倍常態(tài)負(fù)荷下三種算法的半對(duì)數(shù)坐標(biāo)收斂曲線。

由圖3 可知，在1.5 倍的常態(tài)負(fù)荷時(shí)，常規(guī)牛頓法振蕩發(fā)散，保留二階項(xiàng)牛頓法線性發(fā)散，最優(yōu)步距牛頓法則收斂。

圖3 病態(tài)系統(tǒng)不平衡量收斂曲線Fig.3 Convergence curves of deviation for illconditioned system

需要指出的是，最優(yōu)步距牛頓法在1.5 倍常態(tài)負(fù)荷下，對(duì)IEEE39 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)，雖收斂，但收斂精度較差;對(duì)IEEE30 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)，加重30 節(jié)點(diǎn)的負(fù)荷使其病態(tài)化，收斂過程類似于IEEE39 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)，但收斂精度較好，最大功率偏差接近10-2。

5 結(jié)論

本文在推導(dǎo)了直角坐標(biāo)系下傳統(tǒng)牛頓法、保留二階項(xiàng)牛頓法和最優(yōu)步距牛頓法的統(tǒng)一數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，對(duì)三種潮流算法的收斂性進(jìn)行對(duì)比測(cè)試。結(jié)果表明:對(duì)常態(tài)算例系統(tǒng)，三種算法均收斂，其中保留二階項(xiàng)牛頓法迭代次數(shù)最多，但計(jì)算用時(shí)最短;對(duì)同樣的迭代次數(shù)，最優(yōu)步距牛頓法收斂精度最高。對(duì)重負(fù)荷病態(tài)算例系統(tǒng)，隨著負(fù)荷的增加，保留二階項(xiàng)牛頓法迭代次數(shù)急劇增加，最早喪失收斂性且以單調(diào)形式發(fā)散;常規(guī)牛頓法迭代次數(shù)增加不明顯，收斂性喪失遲于前者、以振蕩形式發(fā)散;最優(yōu)步距牛頓法始終收斂于可行解且迭代次數(shù)基本不變，表現(xiàn)出了良好的收斂性。計(jì)算結(jié)果可為實(shí)際潮流算法的選取提供有益的參考。

［1］王祖佑.電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)行計(jì)算機(jī)分析［M］.北京:水利電力出版社，1987.

［2］Chen Ying，Shen Chen.A Jacobian-free Newton-GMRES (m)method with adaptive preconditioner and its application for power flow calculations［J］.IEEE Transactions on Power Systems，2006，21 (3):1096－1103.

［3］智勇，拜潤(rùn)卿，梁福波，等.計(jì)及發(fā)電機(jī)勵(lì)磁調(diào)差系數(shù)的潮流計(jì)算方法分析［J］.現(xiàn)代電力，2014，31 (5):32－36.

［4］劉宇，高山，楊勝春，等.電力系統(tǒng)概率潮流算法綜述［J］.電力系統(tǒng)自動(dòng)化，2014，38 (23):127－135.

［5］王守相，劉玉田.電力系統(tǒng)潮流計(jì)算研究現(xiàn)狀［J］.山東電力技術(shù)，1996，(5):8－12.

［6］陳珩.電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析(第三版)［M］.北京:中國(guó)電力出版社，2007.

［7］王憲榮，柳焯，張伯明.非線性總項(xiàng)與保留非線性潮流算法的拓廣［J］.哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，1990，(6):60－66.

［8］劉廣一，胡錫龍，于爾鏗，等.電力系統(tǒng)病態(tài)潮流計(jì)算新算法［J］.中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，1991，11(S1):27－36.

［9］王憲榮，包麗明，柳焯.極坐標(biāo)系準(zhǔn)最優(yōu)乘子病態(tài)潮流解法研究［J］.中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，1994，14(1):40－45.

［10］孫秋野，陳會(huì)敏，楊家農(nóng)，等.牛頓類潮流計(jì)算方法的收斂性分析［J］.中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2014，34 (13):2196－2200.

［11］林濟(jì)鏗，吳鵬，袁龍，等.基于張量法的電力系統(tǒng)潮流計(jì)算［J］.中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2011，31(34):113－119.

［12］李敏，陳金富，段獻(xiàn)忠，等.潮流計(jì)算收斂性問題研究綜述［J］.繼電器，2006，34 (4):74－79.