一維非線性功能梯度材料的熱整流反轉(zhuǎn)＊

黃桂芳，詹斯琦，黃維清

（湖南大學(xué) 物理與微電子科學(xué)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410082）

近年來(lái)，一維非線性晶格體系的熱傳導(dǎo)性質(zhì)引起了廣泛的關(guān)注．人們?cè)噲D利用解析或非平衡分子動(dòng)力學(xué)方法從微觀動(dòng)力學(xué)機(jī)理的角度去解釋宏觀的熱傳導(dǎo)現(xiàn)象［1－6］．盡管至今沒(méi)能得到一個(gè)完善的關(guān)于低維材料的熱傳導(dǎo)理論，但在經(jīng)典一維系統(tǒng)的熱傳導(dǎo)研究過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)許多新奇的現(xiàn)象，如熱整流效應(yīng)，界面熱阻，負(fù)微分熱阻等．這些現(xiàn)象的存在使得熱量的載體——聲子能像電子那樣得到控制與管理，因此開(kāi)辟了熱二極管［7］，熱晶體管［8］，熱邏輯門(mén)［9］等熱學(xué)器件的研究領(lǐng)域．其中熱二極管的研究最為廣泛，人們?cè)噲D建立各種模型來(lái)實(shí)現(xiàn)材料的熱整流性質(zhì)［10－12］．經(jīng)過(guò)大量的理論研究后，總結(jié)出熱二極管模型需要滿足兩個(gè)必要條件：系統(tǒng)的非線性（簡(jiǎn)諧）及不對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)．此外，實(shí)驗(yàn)方面也取得了不錯(cuò)的成績(jī)，借助納米科技的迅速發(fā)展，Chang等人［13］首次在實(shí)驗(yàn)中成功制備出碳納米管固體熱二極管．隨后不同形態(tài)及材料構(gòu)成的熱二極管也相繼在實(shí)驗(yàn)中成功制備［14－15］，這使熱二極管的實(shí)際應(yīng)用成為可能．

功能梯度材料在各領(lǐng)域中得到廣泛的應(yīng)用，它是一種在結(jié)構(gòu)或性能上連續(xù)／準(zhǔn)連續(xù)變化的非均質(zhì)復(fù)合材料．對(duì)于功能梯度材料的研究，目前已逐步擴(kuò)大到機(jī)械、電子、聲學(xué)、光學(xué)、核工程、生物等領(lǐng)域．相比這些性質(zhì)，人們對(duì)它的熱學(xué)性質(zhì)的研究并不夠多．文獻(xiàn)［16］最先將功能梯度材料概念引入一維非線性熱傳導(dǎo)領(lǐng)域，并提出一維線性質(zhì)量梯度下的Fermi－Pasta－Ulam（FPU）鏈，通過(guò)計(jì)算實(shí)現(xiàn)了熱整流效應(yīng)．隨后線性質(zhì)量梯度下的Frenkel－Kontorova（FK）鏈及指數(shù)型質(zhì)量梯度下的FPU 鏈也相繼被提出用以構(gòu)建熱二極管模型［17－18］．在實(shí)驗(yàn)方面，Chang等人［13］也是通過(guò)采用質(zhì)量梯度沉積制備出了不對(duì)稱(chēng)的無(wú)定型C6H16Pt固體熱二極管．由此可見(jiàn)，功能梯度材料在低維非線性熱傳導(dǎo)領(lǐng)域極具應(yīng)用價(jià)值．

本文利用非平衡分子動(dòng)力學(xué)模擬方法，系統(tǒng)地研究一維非線性功能梯度材料中不對(duì)稱(chēng)熱傳導(dǎo)性質(zhì)．在以往的研究中，改變系統(tǒng)的熱整流方向需要進(jìn)行結(jié)構(gòu)重建．然而，本文的模型能通過(guò)調(diào)節(jié)熱浴溫差進(jìn)行熱整流方向的控制，即系統(tǒng)出現(xiàn)了熱整流反轉(zhuǎn)現(xiàn)象．熱整流的反轉(zhuǎn)是由負(fù)微分熱阻引起的，并且它還與系統(tǒng)的體系大小及界面耦合強(qiáng)度緊密相關(guān)．鑒于該模型能在原地控制熱整流方向，文章進(jìn)一步討論了其實(shí)際應(yīng)用的可能性．

1 模型和計(jì)算方法

圖1為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖，該系統(tǒng)由兩段質(zhì)量連續(xù)變化的FK鏈組成，并由一彈性系數(shù)為kint的簡(jiǎn)諧彈簧連接，我們稱(chēng)該彈簧為界面彈簧．系統(tǒng)通過(guò)引入線性遞減分布的質(zhì)量梯度來(lái)實(shí)現(xiàn)不對(duì)稱(chēng)性（功能梯度），為方便觀察，質(zhì)量大小由晶格的大小表示．最左端與最右端晶格分別與溫度為T(mén)L和TR的熱浴接觸．

系統(tǒng)的哈密頓量為：

式中：N為系統(tǒng)總粒子數(shù)；HLFK和HRFK分別為左右兩段FK 鏈的哈密頓量．

圖1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖Fig．1 Schematic picture of the system

式中：pi和xi分別為第i個(gè)晶格的動(dòng)量和位置．取k＝a＝1，分別表示晶格間的簡(jiǎn)諧作用強(qiáng)度及晶格常數(shù)．第i個(gè)粒子的質(zhì)量為：

固定Mmax＝20，Mmin＝1，Mmax為最左端晶格的質(zhì)量，Mmin為最右端晶格的質(zhì)量．基底勢(shì)強(qiáng)度為V＝5．

模擬計(jì)算中，采用固定邊界條件，并使兩端的晶格與NOSE－HOOVER 熱浴耦合，保持溫度分別為T(mén)L和TR．為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，定義系統(tǒng)的平均溫度為T(mén)0＝（TL＋TR）／2，晶格鏈兩端的溫度差為ΔT＝TL－TR＝2T0Δ．當(dāng)Δ＞0時(shí)，最左端晶格與溫度較高的熱浴耦合，最右端的晶格與溫度較低的熱浴耦合；當(dāng)Δ＜0時(shí)，情況則相反．系統(tǒng)的局域化溫度定義為格點(diǎn)i處晶格的平均動(dòng)能：Ti＝m〈˙xi2〉．系統(tǒng)的局域熱流定義為Ji＝k〈˙xi（xi－xi－1）〉，（〈〉均表示對(duì)時(shí)間的平均）．計(jì)算中，使用改進(jìn)后的龍格庫(kù)塔算法對(duì)晶格的運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行積分，設(shè)置步長(zhǎng)為0．1，并有足夠長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)間（107）使系統(tǒng)最終達(dá)到非平衡穩(wěn)態(tài)．當(dāng)系統(tǒng)的熱傳導(dǎo)過(guò)程達(dá)到非平衡穩(wěn)態(tài)以后，系統(tǒng)中流過(guò)不同格點(diǎn)的局域熱流量相同且為一恒定值．我們定義從左到右流過(guò)系統(tǒng)的熱流量的絕對(duì)值為J＋，當(dāng)熱浴反轉(zhuǎn)，從右到左的熱流量的絕對(duì)值則為J－，r＝J＋／J－ 為系統(tǒng)的熱整流效率．

2 結(jié)果與討論

2．1 不對(duì)稱(chēng)熱傳導(dǎo)

本文模型中，當(dāng)界面耦合強(qiáng)度為kint＝1．0時(shí)，系統(tǒng)為一完整的FK 鏈．線性質(zhì)量梯度下的FK 鏈已被證明具有熱整流效應(yīng)［17］．因此，我們先研究界面耦合強(qiáng)度較小時(shí)系統(tǒng)的熱傳導(dǎo)性質(zhì)．圖2為當(dāng)N＝100，kint＝0．05時(shí)，系統(tǒng)在不同平均溫度下的溫度分布圖．由圖2 可見(jiàn)，系統(tǒng)的溫度分布是不對(duì)稱(chēng)的，并且由于界面耦合彈簧的存在，所有情況中，系統(tǒng)都存在由界面熱阻（ITR）引起的溫度躍變．而且熱浴反轉(zhuǎn)后，界面熱阻是不對(duì)稱(chēng)的，正是因?yàn)榻缑鏌嶙璧牟粚?duì)稱(chēng)性導(dǎo)致了系統(tǒng)的不對(duì)稱(chēng)熱傳導(dǎo)現(xiàn)象．此外，該現(xiàn)象還與系統(tǒng)的平均溫度有關(guān)，溫度過(guò)高或過(guò)低都不利于實(shí)現(xiàn)不對(duì)稱(chēng)熱傳導(dǎo)，因此我們固定系統(tǒng)的平均溫度為T(mén)0＝0．1．

圖2 不同平均溫度下系統(tǒng)的歸一化溫度分布圖Fig．2 Normalized temperature profile of the system for different average temperature

2．2 熱整流反轉(zhuǎn)

質(zhì)量梯度下的FK 鏈，沿晶格質(zhì)量增加方向的熱流量要大于沿質(zhì)量減小方向的熱流量［17］．然而，當(dāng)FK 鏈中引入一彈性系數(shù)較小的界面彈簧后，這種單向的不對(duì)稱(chēng)熱傳導(dǎo)現(xiàn)象將被打破．圖3 為當(dāng)kint＝0．05時(shí)，3種不同體系大小下熱流量與熱浴溫差因子的關(guān)系圖．由圖3（a）（N＝100）可以看到，沿晶格質(zhì)量減小方向的熱流量J＋隨｜Δ｜的增加幾乎呈線性增長(zhǎng)，而沿質(zhì)量增加方向的熱流在時(shí)達(dá)到最大值后隨著｜Δ｜的增加而減小，導(dǎo)致了時(shí)J＋＜J－到J＋＞J－的熱整流反轉(zhuǎn)現(xiàn)象．因此系統(tǒng)僅在條件下，沿著晶格質(zhì)量增加方向的熱流量大于沿質(zhì)量減小方向的熱流量，而當(dāng)｜Δ｜＞0．4時(shí)，則轉(zhuǎn)為沿質(zhì)量減小方向的熱流量大于沿質(zhì)量增加方向的熱流量．可見(jiàn)，熱整流方向的改變僅僅是通過(guò)控制熱浴兩端溫差實(shí)現(xiàn)的．一般而言，熱流量會(huì)隨著熱浴溫差的增加而增大，然而在圖3（a）中，當(dāng)｜Δ｜＞0．5時(shí)出現(xiàn)了負(fù)導(dǎo)熱現(xiàn)象，正因?yàn)樗某霈F(xiàn)直接導(dǎo)致了熱整流的反轉(zhuǎn)．并且負(fù)導(dǎo)熱現(xiàn)象出現(xiàn)的區(qū)域隨著體系的增大逐步移向更高的熱浴溫差區(qū)．因此，當(dāng)體系大小為N＝1 000時(shí)，從J＋＜J－到J＋＞J－的熱整流的反轉(zhuǎn)現(xiàn)象出現(xiàn)在｜Δ｜≈0．7，如圖3（b）所示．隨著體系進(jìn)一步增大，負(fù)導(dǎo)熱現(xiàn)象最終消失，熱整流反轉(zhuǎn)也隨之消失，因此，當(dāng)N＝2 000時(shí)，系統(tǒng)中沿著晶格質(zhì)量增加方向的熱流量大于沿質(zhì)量減小方向的熱流量，即J＋＜J－ ．為了進(jìn)一步研究界面耦合強(qiáng)度及體系大小對(duì)熱傳導(dǎo)的影響，圖4給出了系統(tǒng)在以上3種體系下熱流量J±與界面耦合強(qiáng)度kint的關(guān)系，固定熱浴溫差因子．所有的情況下，隨著界面耦合強(qiáng)度的加強(qiáng)，J±迅速增加，并且在一定范圍內(nèi)呈現(xiàn)J±～k2int的關(guān)系，這種關(guān)系普遍存在于聲子通過(guò)一較弱耦合界面的情況中．隨著kint進(jìn)一步增加，J±將逐漸達(dá)到飽和，二者的關(guān)系也趨近穩(wěn)定．特別是，在圖4（a）和（b）中還存在J＋＞J－到J＋＜J－的交叉現(xiàn)象，即當(dāng)界面耦合強(qiáng)度較小時(shí)，系統(tǒng)沿晶格質(zhì)量減小方向的熱流量大于沿質(zhì)量增加方向的熱流量，隨著耦合強(qiáng)度的增加，變?yōu)檠刭|(zhì)量增加方向的熱流量大于沿質(zhì)量減小方向的熱流量．而當(dāng)體系較大時(shí)（圖4（c）），系統(tǒng)的熱整流方向不受界面耦合強(qiáng)度的影響，沿晶格質(zhì)量增加方向的熱流量始終大于沿質(zhì)量減小方向的熱流量，即J＋＜J－．可見(jiàn)，無(wú)論體系多大，當(dāng)界面彈簧彈性系數(shù)較大時(shí)，均有J＋＜J－，這是因?yàn)楫?dāng)系統(tǒng)處于強(qiáng)耦合狀態(tài)時(shí)，兩段FK 鏈組成一個(gè)整體，成為一條完整的FK 鏈，與文獻(xiàn)［17］中得出的熱整流方向一致，且系統(tǒng)的熱整流方向不隨體系的改變而改變．而當(dāng)系統(tǒng)處于弱耦合狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)的熱整流方向會(huì)隨著熱浴溫差，體系大小的改變而改變，出現(xiàn)熱整流反轉(zhuǎn)現(xiàn)象．

2．3 熱整流機(jī)理

針對(duì)以上不對(duì)稱(chēng)熱傳導(dǎo)現(xiàn)象，我們根據(jù)有效聲子理論研究了其熱整流機(jī)理：當(dāng)FK 鏈中的晶格處于高溫極限時(shí)，其動(dòng)能足以克服基底勢(shì)能的束縛，因此基底勢(shì)可忽略不計(jì)并且系統(tǒng)可近似地看做為簡(jiǎn)諧晶格鏈，晶格中聲子的振動(dòng)頻率范圍為0＜ω／2π＜；當(dāng)晶格處于低溫極限時(shí)則被困在基底勢(shì)壘中，通過(guò)線性化運(yùn)動(dòng)方程可得到晶格中聲子的振動(dòng)頻率范圍為

因此，當(dāng)系統(tǒng)處于強(qiáng)耦合狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)回歸為一條完整的FK 鏈，不存在界面熱阻，我們主要研究熱浴兩端晶格的聲子頻率：當(dāng)系統(tǒng)左端質(zhì)量較大的晶格與高溫?zé)嵩〗佑|時(shí)，晶格處于高溫極限中，聲子的振動(dòng)頻率為0＜ω／2π＜0．071．而與低溫?zé)嵩〗佑|的右端質(zhì)量較小的晶格中，聲子的頻率為0．35＜ω／2π＜0．47．可見(jiàn)左右兩端晶格中聲子的頻率不重合，不能匹配，這就意味著聲子不能較順利地從左往右輸運(yùn)熱量，因此系統(tǒng)中的熱流量較?。?/p>

圖3 不同體系下熱流量J 與｜Δ｜的關(guān)系圖Fig．3 Dependence of the heat flux Jon｜Δ｜for different system size

圖4 不同體系下熱流量J 與kint的關(guān)系圖Fig．4 Dependence of the heat flux J on kintfor different system size

當(dāng)系統(tǒng)左端晶格與低溫?zé)嵩〗佑|時(shí)，其聲子頻率為0．079＜ω／2π＜0．106．而右端晶格處于高溫極限，其聲子頻率為0＜ω／2π＜0．308．可見(jiàn)左右兩端晶格中聲子的頻率能較好地匹配，更有利于聲子的熱輸運(yùn)，因此，J＋＜J－，這與我們的結(jié)果吻合．然而，當(dāng)系統(tǒng)處于弱耦合狀態(tài)時(shí)，以上結(jié)論無(wú)法解釋熱整流的反轉(zhuǎn)．但可以很直觀地看出，負(fù)導(dǎo)熱現(xiàn)象直接導(dǎo)致了熱整流反轉(zhuǎn)，而負(fù)導(dǎo)熱現(xiàn)象被認(rèn)為是由負(fù)微分熱阻所引起，因此需要考慮界面效應(yīng)．正是由于彈性系數(shù)較小的界面彈簧存在，當(dāng)系統(tǒng)右端質(zhì)量較小粒子與低溫?zé)嵩〗佑|時(shí)，導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)了負(fù)微分熱阻，即隨著系統(tǒng)右端的溫度進(jìn)一步減小，界面兩端晶格中聲子頻率呈現(xiàn)由匹配到分離的現(xiàn)象．于是J－隨著熱浴溫差的增加而減小，熱整流方向由最初的J＋＜J－變?yōu)镴＋＞J－，因此熱整流反轉(zhuǎn)了．由此可見(jiàn)，只有界面耦合強(qiáng)度較小情況下，才能通過(guò)調(diào)節(jié)熱浴溫差控制熱整流的方向．

此外，熱整流反轉(zhuǎn)除了與耦合強(qiáng)度有關(guān)外，還與體系的大小密切相關(guān)．由圖3和圖4可知，只有在體系較小的條件下才能出現(xiàn)熱整流反轉(zhuǎn)，當(dāng)體系大于一定的范圍后，無(wú)論界面耦合強(qiáng)度如何，系統(tǒng)都呈現(xiàn)出和強(qiáng)耦合狀態(tài)下一樣的熱整流性質(zhì)，沒(méi)有熱整流反轉(zhuǎn)現(xiàn)象．因此，圖3（c）中熱整流反轉(zhuǎn)的消失可理解如下：界面彈簧對(duì)系統(tǒng)的影響隨著體系的增大而減小，在較大的體系中，界面彈簧對(duì)系統(tǒng)的作用可以忽略不計(jì)，系統(tǒng)的兩部分仍可被看做強(qiáng)耦合在一起的整體．因此，可以總結(jié)得出，熱整流反轉(zhuǎn)的根本原因是界面彈簧的引入，并且只有在特定的體系下，當(dāng)系統(tǒng)為弱耦合狀態(tài)時(shí)，才能通過(guò)調(diào)節(jié)熱浴溫差控制熱整流方向．

2．4 熱整流效率

值得一提的是，對(duì)于特定的體系（如N＝100），系統(tǒng)的熱整流效率r＝J＋／J－ 可從r→0．94變?yōu)閞→2．1，與目前實(shí)驗(yàn)中制備的固體熱二極管的熱整流效率較為一致．這意味著，該模型在熱整流方向控制領(lǐng)域具有潛在的應(yīng)用價(jià)值．此外，由于負(fù)微分熱阻的存在以及功能梯度材料的廣泛應(yīng)用，該模型也是構(gòu)建熱晶體管，熱邏輯門(mén)等熱學(xué)器件不錯(cuò)的候選者．

3 結(jié) 論

本文研究了質(zhì)量梯度下一維非線性功能梯度材料的熱整流性質(zhì)．該系統(tǒng)在特定的界面耦合強(qiáng)度及特定的體系大小范圍內(nèi)，可以?xún)H通過(guò)控制熱浴溫差實(shí)現(xiàn)由J＋＜J－到J＋＞J－的熱整流反轉(zhuǎn)．引起熱整流反轉(zhuǎn)的根本原因是系統(tǒng)中存在的界面彈簧．鑒于該系統(tǒng)無(wú)需進(jìn)行結(jié)構(gòu)重建便能在原地進(jìn)行熱整流方向的控制，討論了它在實(shí)驗(yàn)制備及應(yīng)用方面的可能性．

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