關(guān)于擬-半-E-凸函數(shù)的幾個(gè)新結(jié)論

景書杰， 王世磊

(河南理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河南 焦作 454000)

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關(guān)于擬-半-E-凸函數(shù)的幾個(gè)新結(jié)論

景書杰， 王世磊

(河南理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河南 焦作 454000)

摘要：廣義E-凸函數(shù)作為凸函數(shù)的推廣在優(yōu)化理論研究中有著重要的應(yīng)用.通過對(duì)擬-半-E-凸函數(shù)已有的性質(zhì)和結(jié)論進(jìn)行比較與研究,首先給出了擬-半-E-凸函數(shù)的有關(guān)新性質(zhì),并給予了相應(yīng)的證明;其次分別研究了擬-半-E-凸函數(shù)與擬-E-凸函數(shù)和半-E-凸函數(shù)之間的關(guān)系,得出了相關(guān)結(jié)論;最后給出了關(guān)于擬-半-E-凸函數(shù)的一個(gè)判定定理及其在下半連續(xù)情形下的一個(gè)判別準(zhǔn)則.

關(guān)鍵詞：E-凸集;擬-E-凸函數(shù);半-E-凸函數(shù);擬-半-E-凸函數(shù);下半連續(xù)函數(shù)

0引言

近幾十年來,關(guān)于凸性、廣義凸性的理論與應(yīng)用研究已經(jīng)成為優(yōu)化理論研究領(lǐng)域中的一項(xiàng)重要內(nèi)容，推動(dòng)了凸集、凸函數(shù)概念和性質(zhì)的不斷推廣和擴(kuò)充,如擬凸函數(shù)、偽擬凸函數(shù)、不變凸、預(yù)不變凸和廣義預(yù)不變凸函數(shù)等概念相繼出現(xiàn).1999年,YOUNESS E A[1]首次給出了E-凸集、E-凸函數(shù)的概念及其相關(guān)性質(zhì),他的研究思想對(duì)后來學(xué)者的研究產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.隨后,YANG XINMIN等[2]、CHEN XIUSU[3]、YOUNESS[4]、王建勇[5]、景書杰等[6]、YOUNESS等[7]、彭再云等[8]又繼續(xù)研究并對(duì)E-凸函數(shù)進(jìn)行了推廣和擴(kuò)充,引入了半-E-凸函數(shù)、擬-E-凸函數(shù)、擬-半-E-凸函數(shù)、偽-半-E-凸函數(shù)、半-強(qiáng)-E-凸函數(shù)和強(qiáng)-E-凸函數(shù)、偽-擬-半-E-凸函數(shù)、(E,B)-凸函數(shù)、(E,F)-凸函數(shù)等概念,并給出了這些廣義E-凸函數(shù)的概念、性質(zhì)和重要結(jié)論.關(guān)于廣義E-凸函數(shù)的研究仍在不斷進(jìn)行,許多學(xué)者在新的限制性約束條件下給出了各類廣義E-凸函數(shù)的若干新性質(zhì)和新結(jié)論,如楊新民等[9]研究了上半連續(xù)函數(shù)的擬凸性,鐘超瑾[10]研究了E-凸集上函數(shù)的半連續(xù)性與E-擬凸性間的關(guān)系,彭再云[11]在上半連續(xù)的條件下給出了擬-半-E-凸函數(shù)的一個(gè)判別準(zhǔn)則等.

在上述研究成果的基礎(chǔ)上,本文首先給出與擬-半-E-凸函數(shù)有關(guān)的新性質(zhì)與結(jié)論,并給予了相應(yīng)證明;然后分別給出了擬-半-E-凸函數(shù)與擬-E-凸函數(shù)、半-E-凸函數(shù)之間的關(guān)系定理;最后給出了關(guān)于擬-半-E-凸函數(shù)的一個(gè)判定定理以及它在下半連續(xù)情形下的一個(gè)判別準(zhǔn)則.以上內(nèi)容在一定程度上豐富了對(duì)擬-半-E-凸函數(shù)的認(rèn)識(shí),并完善了對(duì)廣義凸性理論的研究.

1預(yù)備知識(shí)

定義1[1]若存在E:Rn→Rn，使得對(duì)于?x,y∈C?Rn，λ∈[0,1]，都有λE(x)+(1-λ)E(y)∈C成立，則稱集合C是E-凸集.

定義2[3]設(shè)C?Rn是E-凸集，若存在映射E:Rn→Rn，使得對(duì)?x,y∈C,λ∈[0,1]，均有f(λE(x)+(1-λ)E(y))≤λf(x)+(1-λ)f(y)成立，則稱f:C?Rn→R為半-E-凸函數(shù).

定義3[4]設(shè)C?Rn是E-凸集,若存在映射E:Rn→Rn,使得對(duì)?x,y∈C,λ∈[0,1],均有f(λE(x)+(1-λ)E(y))≤max{f(E(x)),f(E(y))}成立,則稱f:C?Rn→R為擬-E-凸函數(shù).

定義4[3]設(shè)C?Rn是E-凸集,若存在映射E:Rn→Rn,使得對(duì)?x,y∈C,λ∈[0,1],均有f(λE(x)+(1-λ)E(y))≤max{f(x),f(y)}成立，則稱f:C?Rn→R為擬-半-E-凸函數(shù).

2主要結(jié)論

引理1[1]若C是E-凸集,則有E(C)?C．

證明由fi:C?Rn→R均是C上的擬-半-E-凸函數(shù),fi均有界以及引理1可知,

?x,y∈C,λ∈[0,1]有E(x)∈E(C)?C,E(y)∈E(C)?C,以及λE(x)+(1-λ)E(y)∈C.

且有fi(λE(x)+(1-λ)E(y))≤max{fi(x),fi(y)}成立,則可以得到

推論1設(shè)C是非空E-凸集,若f1(x),f2(x),…，fn(x):C?Rn→R均是C上的擬-半-E-凸函數(shù),則g(x)=max{f1(x),f2(x)…，fn(x)}也是C上的擬-半-E-凸函數(shù).

證明參照定理1證明,上述推論易證.

定理2若C是非空集合,存在某個(gè)映射E:Rn→Rn,使得C?E(C),那么函數(shù)f:Rn→R是凸集C?Rn上的擬-E-凸函數(shù)?f:Rn→R是E-凸集C?Rn上的擬-半-E-凸函數(shù).

證明(充分性)因?yàn)镃是E-凸集,所以由引理1有E(C)?C,又由已知條件C?E(C),所以有C=E(C).又因?yàn)閒:Rn→R是E-凸集C?Rn上的擬-半-E-凸函數(shù),所以對(duì)?x,y∈C,λ∈[0,1],有

λE(x)+(1-λ)E(y)∈C=E(C)，

(1)

且有

f(λE(x)+(1-λ)E(y))≤max{f(x),f(y)} .

(2)

由(1)式可得出E(C)是凸集,又C=E(C),所以可得C是凸集.

于是令x=E(x)∈E(C)=C,y=E(y)∈E(C)=C,從而由(2)式有

f(λE(x)+(1-λ)E(y))≤max{f(x),f(y)}=max{f(E(x)),f(E(y))},

故可得f:Rn→R是凸集C?Rn上的擬-E-凸函數(shù).

(必要性)可令E為恒等映射,則有E(x)=x∈C.此時(shí),顯然滿足E(C)?C,從而可知C是E-凸集.因?yàn)楹瘮?shù)f:Rn→R是凸集C上的擬-E-凸函數(shù),故對(duì)?x,y∈C,λ∈[0,1]有

f(λE(x)+(1-λ)E(y))≤max{f(E(x),f(E(y))}=max{f(x),f(y)}.

所以,f:Rn→R是E-凸集C?Rn上的擬-半-E-凸函數(shù).證畢.

證明因?yàn)閒,-g:C?Rn→R是E-凸集C上的半-E-凸函數(shù),所以對(duì)?x,y∈C,λ∈[0,1]有E(x)∈E(C)?C,E(y)∈E(C)?C,以及λE(x)+(1-λ)E(y)∈C成立. 且有

f(λE(x)+(1-λ)E(y))≤λf(x)+(1-λ)f(x)，

(3)

-g(λE(x)+(1-λ)E(y))≤-λg(x)-(1-λ)g(y)，

(4)

(4)式又可以轉(zhuǎn)化為

g(λE(x)+(1-λ)E(y))≥λg(x)+(1-λ)g(y) .

(5)

由(3)、(5)式以及f≥0,g>0可知,對(duì)?x,y∈C,λ∈[0,1]有

(6)

故由(6)式可得p(x)是C上的擬-半-E-凸函數(shù). 證畢.

注1定理1和推論1一定程度上豐富了人們對(duì)擬-半-E-凸函數(shù)性質(zhì)的認(rèn)識(shí);定理2研究了擬-E-凸函數(shù)和擬-半-E-凸函數(shù)之間的關(guān)系;定理3研究了半-E-凸函數(shù)與擬-半-E-凸函數(shù)之間的關(guān)系.從這兩個(gè)定理可看出擬-半-E-凸函數(shù)是半-E-凸函數(shù)和擬-E-凸函數(shù)的推廣.

定理4已知C是非空E-凸集,f:C?Rn→R是C上的凸函數(shù),則f是C上的擬-半-E-凸函數(shù)?對(duì)?z∈C,都有f(E(z))≤f(z)成立.

證明(充分性)若f是E-凸集C上的凸函數(shù),且對(duì)?z∈C,有f(E(z))≤f(z)成立,則對(duì)?x,y∈C,λ∈[0,1],有E(x)∈E(C)?C,E(y)∈E(C)?C,以及λE(x)+(1-λ)E(y)∈C.

又因?yàn)閒在C上具有凸性,故可得

f(λE(x)+(1-λ)E(y))≤λf(E(x))+(1-λ)f(E(y)) ≤

λf(x)+(1-λ)f(y)≤max{f(x),f(y)}.

(7)

故由(7)式可知f是C上的擬-半-E-凸函數(shù).

(必要性)若f是E-凸集C上的擬-半-E-凸函數(shù),則對(duì)?x,y∈C,?λ∈[0,1],有E(x)∈E(C)?C,E(y)∈E(C)?C,λE(x)+(1-λ)E(y)∈C.由f是C上的擬-半-E-凸函數(shù)可得

f(λE(x)+(1-λ)E(y))≤max{f(x),f(y)},?x,y∈C,λ∈[0,1].

(8)

若f(x)≥f(y),則max{f(x),f(y)}=f(x),則(8)式變?yōu)?/p>

f(λE(x)+(1-λ)E(y))≤f(x),?x,y∈C,λ∈[0,1]，

(9)

此時(shí)令λ=1,即可得f(E(x))≤f(x).

若f(x)

f(λE(x)+(1-λ)E(y))≤f(y),?x,y∈C,λ∈[0,1]，

(10)

此時(shí)令λ=0,即可得f(E(y))≤f(y).

再由x,y的任意性可知,對(duì)?z∈C,都有f(E(z))≤f(z)成立.

注2定理4給出了判別一般凸函數(shù)為擬-半-E-凸函數(shù)的充要條件,豐富了對(duì)擬-半-E-凸函數(shù)的認(rèn)識(shí)與判定.

下面將對(duì)E-凸集上函數(shù)的半連續(xù)性與其擬-半-E-凸性之間的關(guān)系進(jìn)行進(jìn)一步的研究.

定理5設(shè)C?Rn是非空凸集,f:Rn→R是C上的下半連續(xù)的實(shí)值函數(shù),如果存在線性映射E:Rn→Rn，使得E(C)?C,則函數(shù)f是C上的擬-半-E-凸函數(shù)充要條件是?β∈[0,1],使得

f(βE(x)+(1-β)E(y))≤max{f(x),f(y)}

對(duì)?x,y∈C成立.

證明(必要性)由題已知C是凸集,E(C)?C,故由引理1知C是E-凸集.因?yàn)閒是C上的擬-半-E-凸函數(shù),故對(duì)?α∈[0,1],x,y∈C都有

f(αE(x)+(1-α)E(y))≤max{f(x),f(y)}

成立,所以可知β存在, 故必要性得證.

f(λnE(x)+(1-λn)E(y))≤max{f(x),f(y)},λn∈N，

(11)

進(jìn)一步可得

(12)

因?yàn)閒在C上是下半連續(xù)的,所以可得

(13)

(14)

所以由(14)式可知f是C上的擬-半-E-凸函數(shù).

注3文獻(xiàn)[11]中已經(jīng)給出了上半連續(xù)條件下關(guān)于擬-半-E-凸函數(shù)的一個(gè)判別準(zhǔn)則,本文給出的定理5研究了下半連續(xù)條件下關(guān)于擬-半-E-凸函數(shù)的一個(gè)判別準(zhǔn)則,一定程度上完善了對(duì)E-凸集上函數(shù)的半連續(xù)性與其擬-半-E-凸性之間關(guān)系的研究.

3結(jié)語

本文主要通過比較研究,給出擬-半-E-凸函數(shù)的某些性質(zhì),研究了它與其他廣義E-凸函數(shù)之間的關(guān)系,給出了擬-半-E-凸函數(shù)的一個(gè)判定定理,并進(jìn)一步研究了E-凸集上函數(shù)的半連續(xù)性與其擬-半-E-凸性之間的關(guān)系,這些只能在一定程度上豐富人們對(duì)擬-半-E-凸函數(shù)的認(rèn)識(shí)和理解,對(duì)于該類廣義E-凸函數(shù)在凸優(yōu)化中的理論和實(shí)際應(yīng)用將是今后一個(gè)階段需要重點(diǎn)研究的課題.

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Some New Conclusions of Quasi-Semi-E-Convex Function

JING Shu-jie, WANG Shi-lei

(SchoolofMathematicsandInformationScience,HenanPolytechnicUniversity,Jiaozuo454000,China)

Abstract:Generalized E-convex functions are the extension of convex function and have important applications in the study of optimization theory. Firstly, by researching the known properties of quasi-semi-E-convex function, some relative new properties of quasi-semi-E-convex functions were gained and proved. Secondly, the relationship between quasi-semi-E-convex function with quasi-E-convex function and semi-E-convex function were studied, some conclusions were obtained as well. Finally, a judging theorem of quasi- semi-E-convex function and a criterion of quasi-semi-E-convex function in the case of lower-semi-continuous were given.

Key words:E-convex sets; quasi-E-convex function; semi-E-convex function; quasi-semi-E-convex function; lower-semi-continuous function

中圖分類號(hào)：O174.13

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1007-0834(2015)02-0009-04

doi：10.3969/j.issn.1007-0834.2015.02.003

作者簡(jiǎn)介：景書杰(1965—),男,河南焦作人,河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院教授,博士,碩士生導(dǎo)師,主要研究方向:優(yōu)化理論.

基金項(xiàng)目：河南省一級(jí)重點(diǎn)學(xué)科支持項(xiàng)目；河南理工大學(xué)校級(jí)重點(diǎn)學(xué)科支持項(xiàng)目

收稿日期：2015-03-31