不定積分∫csc xdx的解法研究①

張友梅

(合肥職業(yè)技術學院基礎部,安徽合肥238000)

不定積分∫csc xdx的解法研究①

張友梅

(合肥職業(yè)技術學院基礎部,安徽合肥238000)

不定積分;余割函數;恒等變形;湊微分

通過對余割函數作不同的恒等變形,利用湊微分、換元等方法得到不定積分∫csc xd x的多種解法.不定積分的求解具有方法靈活性大、技巧性強等特點,而通過對不定積分多種求解方法的練習,不僅可以選擇出問題簡潔的求解方法,同時有效地培養(yǎng)了學生的靈活性和創(chuàng)造性. [作者簡介]張友梅,碩士,講師,研究方向：泛函微分方程及數學教育教學.

不定積分的計算是高等數學教學的重點和難點,其求解方法靈活性大,技巧性強,而且同一個不定積分往往有多種不同的求解方法[1].例如,對于不定積分∫csc xdx的求解,很多高等數學教材都給出不同的

解法,如教材[2～4]都給出兩種不同的解法.實際上,不定積分∫csc xd x還有一些更為簡便的解法,當然也有一些解法是較為復雜的.對此,本文通過對余割函數作不同的恒等變形,利用湊微分、換元等方法對不定積分∫csc xdx的多種解法進行分析和求解,目的是培養(yǎng)學生的靈活性與創(chuàng)造性.

例 求不定積分∫csc xdx

分析 顯然∫,csc xdx不能直接用基本積分公式來求解,且被積函數結構簡單,這給求積分帶來一定的困難.但是,考慮到余割函數屬于三角函數,而三角函數有諸多的恒等變形公式,這就給解題打開了廣闊的思路.通過對余割函數csc x作不同的恒等變形,利用湊微分、換元等方法,我們可以得到不定積分∫csc xdx的多種解法.

思路一 利用倒數關系sin x csc x=1和倍角公式,對余割函數csc x進行恒等變形,滿足湊微分,再運用基本積分公式解題.

解法一

解法二

這是一種最常見的解法,大多數教材都采取這種解法.

思路三 對余割函數分子分母同乘以函數csc x-cot x,直接湊微分解題.

解法三

思路四 利用倒數關系sin x csc x=1和平方關系sin2x=1-cos2x對余割函數csc x進行恒等變形,再湊微分求解.

解法四

解法五

思路六 數學的各部分之間是相互聯系、相互滲透的,例如解方程組和求不定積分就有一定的內在聯系,對于某些不定積分,可以通過構造方程組來求解,而且能夠降低求解的難度[5].本題根據所求積分的特點,可構造另一積分,聯立方程組求解.

思路七 當被積函數是三角函數時有理式時,其積分總是可以使用萬能代換進行換元,將被積函數由三角函數轉化成有理函數,再根據有理函數的積分法求出其解[6].

思路八 換元是求不定積分的最常用最重要的方法,本題亦可通過多次換元求解.

思路九 利用公式1=cot x tan x,嘗試用分部積分法解題.

解法九

比較而言,解法三形式上最為簡潔,但思維上不易想到,解法一與解法七是最常見的解法,也是較好的解法,而解法八與解法九都較為復雜.由此可見,不定積分的解法是靈活多變的,其結果在形式上也不盡相同,但利用三角恒等式化簡,本題結果中的四種不同形式均是一致的.通過一題多解的訓練,不僅可以選擇出問題簡潔的求解方法,同時有效地培養(yǎng)了學生的靈活性和創(chuàng)造性.

[1]吳維峰.對不定積分一題多解的分析[J].高等數學研究,2010,13(6)：11-13.

[2]高汝熹.高等數學：(一)：微積分[M].武漢：武漢大學出版社,1998：234-235.

[3]柳重堪.高等數學：上冊：第一分冊[M].北京：中央廣播電視大學出版社,2002：260.

[4]同濟大學等編.高等數學[M].北京：高等教育出版社,2003：229.

[5]毛北行,李新芳.方程組解法在求不定積分中的應用[J].河南機電高等?？茖W校學報,2013,21(6)：99-100.

[6]胡靜波.高等數學的發(fā)散思維培養(yǎng)研究[J].湖北科技學院學報,2013,33(12)：29-30

The Solution to Indefinite Integral∫csc xdx

ZHANG Youme

(Department of Basic Courses,Hefei Vocational&Technical College,Hefei,Anhui,238000,China)

indefinite integral;cosecant function;identical deformation;improvising differentiation

The solution to indefinite integral∫csc xdx is obtained by using various methods such as improvising differentiation and variable change through different identical deformation of cosecant function.Practice with various solving methods of indefinite integral can help students choose a simple one and cultivate their flexibility and creativity.

O157.1

A

1009-9506(2015)08-0035-04

2015年4月27日

安徽高校省級質量工程項目《高等數學》精品課程,編號：2013gxk161;合肥職業(yè)技術學院質量工程項目《高等數學》精品課程,編號：JPKC201302.