量子體系擾動的能量本征值估計

李茂泉

(玉溪師范學院理學院,云南玉溪653100)

[物 理]

量子體系擾動的能量本征值估計

李茂泉

(玉溪師范學院理學院,云南玉溪653100)

量子體系;能量本征值;Hoffman and H.W.Wielandt定理

運用本征值的擾動處理這一現(xiàn)代數(shù)學方法討論量子體系能量的本征值擾動問題,并將Hoffman and H.W.Wielandt定理作了推廣.

量子微擾論對本征值進行擾動的處理以瑞利-薛定諤方法為基礎,擾動可以獲得較為精確的本征值.但是,由于精確的量子測量在實踐中有難度,因此,實際需要解決的問題是：在擾動后如何估計本征值在一個區(qū)間內(nèi)的分布情況,并為數(shù)值分析提供理論上的指導.有關這方面的工作,國內(nèi)學者孫繼廣對其進行了研究,并取得一定的進展[1].但是,在量子體系方面,相關的研究卻鮮有報道.

近年來,筆者研究了一個二維體系的能量擾動問題,并通過分析發(fā)現(xiàn)擾動的界限和范數(shù)聯(lián)系密切,且本征值的擾動也可以通過算符的范數(shù)特征來進行分析.基于以上的認識,筆者對擾動的數(shù)值計算與模擬提供一個擾動的界限,并且通過數(shù)學上的分析,可以把有關定理做更為實用的推廣.

因此,本文中,筆者在對原始模型分析和邊界擾動進行分析的基礎上,對Hoffman and H.W.Wielandt定理進行了推廣.

1 原始模型與分析

考慮一個二維對稱擾動的例子,系統(tǒng)原來為H0,擾動矩陣為H′,有擾動的矩陣由下述表述：

將H分解：

詳細解H的本征值,結(jié)果是：

由于能量的實數(shù)特性,所以判別式應當大于等于0,為了和數(shù)值化計算比較,現(xiàn)使本征值有序.于是,本征值式子變?yōu)椋?/p>

假設判別式大于0,所以,若本征值有序,必須有(a-b)2≥ε2.于是,獲得兩個有序的本征值：

按瑞利-薛定諤擾動處理,將本征值H0修正為：

上述分析只進行到2級修正,高級修正比上一級是小量,在實踐中,通常可以忽略.

2 邊界擾動分析

下面用擾動定理[1]分析.首先,算出H′的本征值：

λ的序列為：λmax=ε,λmin=-ε.

于是,能量E1′,E2′的修正區(qū)間為：

容易看出,(5)、(6)兩式與上述結(jié)果是相容的,(7)、(8)兩式對擾動的邊界給出了限制,不僅限于2級微擾.由于‖H-H0‖F(xiàn)→0,當ε趨于零,H的本征值趨于未擾動的值,這說明擾動是穩(wěn)定的(Ostrowski定理)[6],(7)、(8)兩式給出了擾動的邊界,這在數(shù)值計算中是很重要的,其對算法的設計有著直接的影響.

當然,通過分析H,H0的本征值問題也可獲得這種估計,由文獻[1,4]定理,可以在范數(shù)級別上完成這種分析.由Hoffman and H.W.Wielandt定理[4]知,算符H,H0的Euclid距離與算符自身的F范數(shù)關系為：分別是H,H0的本征值,計算

3 定理的推廣

Hoffman and H.W.Wielandt定理雖然可以繞開擾動具體的形式對本征值進行計算,但還是要計算差值矩陣元,編程上仍然占用較多的內(nèi)存,這樣會導致系統(tǒng)運行速度變慢.因此,從矩陣元素本身出發(fā)來對擾動進行估計就成為了一個很現(xiàn)實的問題.而其實上,只要我們注意到范數(shù)的性質(zhì),由Minkowki不等式[2,3],立刻可以得到：

由此,從H,H0的F范數(shù)就可以完成對擾動矩陣的估計,這正是矩陣算法所需要的.至此,定理推廣完成.

綜上,筆者討論了非對角元素對稱小量對原本征值的擾動,這是量子體系中出現(xiàn)較多的一種情況.不過,限于篇幅,筆者對小參數(shù)直接對本征值的微擾沒有討論,也沒有涉及非線性本征值的擾動問題,但用泛函討論應當是合理的途徑.另外,力學中的慣量主軸的擾動分析與此類似,對此筆者將另文討論.

[1]孫繼廣.矩陣擾動分析[M].北京：科學出版社.2001：183-197.

[2]孫經(jīng)先.非線性泛函及其應用[M].北京：科學出版社.2008：56-59.

[3]程其穰.實變函數(shù)與泛函分析基礎[M].北京.高等教育出版社.1983：198-120.

[4]A.J.Hoffman and H.W.Wielandt,The variation of the spectrum of a normal matrix[J].Duke MATH.J.,1953 (20)：37-39.

[5]J.H.Wilkinson,he Algebraic Eigenvalue Problem[M].Clarendon Press,Oxford,England,1965.

[6]A.M.Ostrowski,Uber die Stetigkeit von charakteristischen Wurzeln in Abhanigkeit von den Matrizenelementen[J]. Jahresber.Deutch Math.-Verein.,1957(60)：40-42.

Estimation on Perturbed Energy Eigenvalues of the Quantum System

LI Maoquan
(School of Science,Yuxi Normal University,Yuxi,Yunnan 653100,China)

quantum system;energy eigenvalue;Hoffman and H.W.Wielandt theorem

The modern mathematical method of eigenvalue perturbation was used to analyze the perturbation problem of energy eigenvalues in quantum system and the promotion of Hoffman and H.W.Wielandt theorem was made in this paper.

李茂泉,副教授,研究方向：量子力學、物理學.

O59

A

1009-9506(2015)08-0041-03

2014年2月28日