Copula模型在最小方差套期保值中的研究

陳錦雯，文忠橋

(安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，安徽蚌埠233030)

Copula模型在最小方差套期保值中的研究

陳錦雯，文忠橋

(安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，安徽蚌埠233030)

在傳統(tǒng)的最小方差套期保值模型中，假定期貨和現(xiàn)貨收益率是線性匹配的，忽略了非線性匹配的情況。利用Copula模型對我國黃金期貨的最小方差套期保值比率進(jìn)行估計(jì)，并比較了不同形態(tài)Copula模型套期保值的效率。實(shí)證分析發(fā)現(xiàn)二元正態(tài)Copula模型和t－Copula模型在數(shù)據(jù)的擬合效果和套期保值的有效性方面均優(yōu)于傳統(tǒng)的套期保值模型，而且t－Copula模型的套期保值效率最高，能更好地規(guī)避現(xiàn)貨價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)。

最小方差;套期保值;二元正態(tài)Copula t－Copula

隨著中國期貨市場的蓬勃發(fā)展，期貨所具有的套期保值的功能日益受到人們的關(guān)注。Johnson(1960)［1］和Ederington(1979)［2］等提出用Markowitz的組合投資理論來解釋套期保值。交易者進(jìn)行套期保值實(shí)際上是對現(xiàn)貨市場和期貨市場的資產(chǎn)進(jìn)行組合投資，套期保值者根據(jù)組合投資的預(yù)期收益和方差，確定現(xiàn)貨市場和期貨市場的交易頭寸，以使風(fēng)險(xiǎn)最小化或者效用最大化?，F(xiàn)實(shí)生活中，能夠完全消除價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)的完美套期保值幾乎不存在，不完美套期保值才是金融市場上的常態(tài)。因此如何確定最優(yōu)套期保值比率具有很重要的現(xiàn)實(shí)意義。

國內(nèi)外學(xué)者確定最優(yōu)套期保值比率的模型主要有兩大類:一類著重關(guān)注收益風(fēng)險(xiǎn)最小化，比如OLS模型;［3］另一類在關(guān)注風(fēng)險(xiǎn)的同時(shí)，也考慮組合資產(chǎn)收益。比如均值方差模型和Sharpe最優(yōu)套期保值模型。［4－5］王玉剛［6］等將具有解析參數(shù)的二元Copula函數(shù)應(yīng)用于期銅合約最小方差套期保值比率的計(jì)算，簡化了對Copula分布函數(shù)值的估計(jì)，而且套期保值的有效性優(yōu)于傳統(tǒng)套期保值模型。黃爭臻［7］等結(jié)合三種Copula函數(shù)對收益率波動(dòng)異常劇烈的套期保值進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)混合Copula模型在特定情況下套期保值效率最高。鄒慶忠［8］等引入時(shí)變相關(guān)Copula函數(shù)，描述收益率結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)變化的特征，對黃金期貨和現(xiàn)貨進(jìn)行套期保值的實(shí)證分析，并證明有效性高于傳統(tǒng)套期保值模型。本文用Copula模型估計(jì)最小方差套期保值比率能夠較好地解決期貨和現(xiàn)貨收益率非線性相關(guān)的問題。選擇二元正態(tài)Copula和t－Copula兩種函數(shù)形式分別比較兩者的擬合效果并確定該模型下的最小方差套期保值比率，以期得到最合適的模型。

通過實(shí)證分析證明了基于Copula函數(shù)的最小方差套期保值模型要優(yōu)于其他模型，在計(jì)算套期保值比率上更有效;比較了二元t－Copula模型和正態(tài)Copula模型的優(yōu)劣。Copula函數(shù)具有多種形式，本文通過黃金期貨的實(shí)證分析表明t－Copula函數(shù)總體來說更適用于分析和計(jì)算套期保值比率。

1 最小方差套期保值模型概述

假設(shè)持有Xs單位現(xiàn)貨多頭，用Xf單位期貨進(jìn)行套期保值，則該套期保值的組合收益為:

其中RH是套期保值組合的收益，h是最小方差套期保值比率，Rs和Rf分別表示現(xiàn)貨收益和期貨收益。由(1)式可得，套期保值收益的方差為:

在最小方差套期保值比率方法下，為實(shí)現(xiàn)最小方差套保比率，使收益方差最小，可以得到:

其中ρ是期貨和現(xiàn)貨收益率之間的相關(guān)系數(shù)，σs和σf分別表示現(xiàn)貨和期貨收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，h即為最小方差最優(yōu)套期保值比率。本文采取兩種Copula模型估計(jì)中位數(shù)相關(guān)系數(shù)替代單調(diào)遞增的Person相關(guān)系數(shù)，由于σs和σf在歷史期和套期保值時(shí)期不會(huì)產(chǎn)生結(jié)構(gòu)性變化，故在本文中均使用歷史數(shù)據(jù)。

2 基于Copula函數(shù)的中位數(shù)相關(guān)系數(shù)模型

2.1Copula函數(shù)的兩種形式。

1959年，Sklar［9］將N維聯(lián)合分布函數(shù)分解為N個(gè)邊

緣分布函數(shù)和一個(gè)Copula函數(shù)，這個(gè)Copula函數(shù)描述了變量之間的相關(guān)性。Nelson(1999)［10］給出了Copula函數(shù)的嚴(yán)格定義:Copula函數(shù)是把隨機(jī)變量X1，X2，…，XN的聯(lián)合分布函數(shù)F(x1，x2，…，xn)與各自的邊緣分布函數(shù)F(x1)，…，F(xiàn)(xn)相連接的連接函數(shù)，即函數(shù)C(u1，u2，…，un)，使:

由Sklar定理，當(dāng)邊緣分布函數(shù)連續(xù)時(shí)，Copula函數(shù)唯一確定。本文假設(shè)期貨和現(xiàn)貨的收益率均是連續(xù)的，可確定唯一的Copula函數(shù)來估計(jì)中位數(shù)相關(guān)系數(shù)。

2.1.1 二元正態(tài)Copula模型。二元正態(tài)Copula的分布函數(shù)如下:

其中ρ表示兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)系數(shù)，Φ－1表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)的逆函數(shù)。二元正態(tài)Copula函數(shù)具有對稱的尾部，并且尾部漸近獨(dú)立，對上尾相關(guān)計(jì)算更為準(zhǔn)確。

2.1.2 二元t－Copula模型。二元t－Copula的分布函數(shù)如下:

其中ρ表示兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)系數(shù)，k是自由度，tk－1表示自由度為k的一元t分布的分布函數(shù)的逆函數(shù)。二元t－Copula函數(shù)具有較厚的尾部，對隨機(jī)變量之間的尾部相關(guān)的變化較為敏感，能更好地捕捉隨機(jī)變量之間對稱的尾部相關(guān)關(guān)系。

2.2 基于Copula的最小方差套期保值模型。

傳統(tǒng)計(jì)算套期保值比率中，期貨和現(xiàn)貨價(jià)格之間的相關(guān)關(guān)系往往用Person相關(guān)系數(shù)計(jì)算。然而Person系數(shù)只考慮了期貨和現(xiàn)貨價(jià)格之間的線性關(guān)系，當(dāng)市場出現(xiàn)較大的波動(dòng)時(shí)，兩者之間的關(guān)系并非線性。基于Copula的中位數(shù)相關(guān)系數(shù)包含期貨和現(xiàn)貨價(jià)格的非線性相關(guān)性，因此在套期保值過程中能更好地降低風(fēng)險(xiǎn)。在Copula函數(shù)中取u=0.5，v=0.5，由中位數(shù)的相關(guān)度量［11］得ρ*=4C(0.5，0.5)－1。其中ρ*是基于Copula的中位數(shù)相關(guān)系數(shù)，C(0.5，0.5)是u=v=0.5時(shí)的Copula值。本文分別計(jì)算兩種形式的Copula函數(shù)值來估計(jì)中位數(shù)相關(guān)系數(shù)，并比較不同Copula模型的套期保值效果和擬合效果，以期選擇最優(yōu)Copula函數(shù)。在二元正態(tài)Copula模型和t－Copula模型中，ρ*分別表示二元正態(tài)Copula函數(shù)和t－Copula函數(shù)的中位數(shù)相關(guān)系數(shù)。

2.2.1 收益率的計(jì)算。

本文的收益率均用對數(shù)表示，時(shí)刻t的期貨收益率為Rt，f=ln(Ft)－ln(Ft－1)，時(shí)刻t的現(xiàn)貨收益率為Rt，s=ln(St，－St－1)，其中Ft，F(xiàn)t－1分別表示期貨在t交易日和t－1交易日的價(jià)格，St，St－1表示現(xiàn)貨在t交易日和t－1交易日的價(jià)格。

2.2.2 模型擬合效果檢驗(yàn)。

模型擬合效果是反映模型對數(shù)據(jù)擬合程度，本文利用平方歐式距離［12］判斷模型的擬合效果。首先引入經(jīng)驗(yàn)Copula函數(shù):設(shè)(xi，yi)(i=1，2，…，n)為取自二維總體(X，Y)的樣本，記X，Y的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)分別為Fn(x)和Gn(y)，定義樣本的經(jīng)驗(yàn)Copula如下:

其中I［·］為示性函數(shù)，當(dāng)Fn(xi)≤u時(shí)，I［Fn(xi)≤u］= 1，否則等于0.

其次考慮二元正態(tài)Copula和二元t－Copula與經(jīng)驗(yàn)Copula函數(shù)的平方歐式距離。

式(8)和式(9)分別反映了二元正態(tài)Copula函數(shù)和二元t－Copula函數(shù)的對數(shù)據(jù)的擬合效果。最后，平方歐式距離越小，表明對數(shù)據(jù)擬合效果越好。本文中若，則正態(tài)Copula函數(shù)的擬合效果好于t－Copula，反正，則說明t－Copula函數(shù)更合適。

2.2.3 套期保值有效性檢驗(yàn)。

套期保值有效性是檢驗(yàn)套期保值優(yōu)劣的指標(biāo)，它表明當(dāng)按一定套期保值比率進(jìn)行套期保值時(shí)，比不進(jìn)行套期保值時(shí)，收益率風(fēng)險(xiǎn)減小的程度。套期保值有效性Hec越大說明套期保值效果越好，反之則套期保值效果越差。套期保值有效性公式如下:

3 實(shí)證研究

3.1 數(shù)據(jù)的選取和處理。

本文選取黃金期貨AU1405及黃金現(xiàn)貨進(jìn)行套期保值的實(shí)證分析。期貨價(jià)格數(shù)據(jù)來源于上海期貨交易所黃金期貨AU1405每日收盤價(jià)，現(xiàn)貨價(jià)格來源于銳思數(shù)據(jù)庫提供的對應(yīng)黃金9995的收盤價(jià)格。具體而言，選取2013年10月8日到2014年2月28日的共98組數(shù)據(jù)作為歷史期，而從2014年3月3日到2014年5月15日共51組數(shù)據(jù)作為套期保值時(shí)期。

首先根據(jù)歷史期的價(jià)格數(shù)據(jù)計(jì)算期貨和現(xiàn)貨的對數(shù)收益率和方差，如下表所示:

表1 期貨及現(xiàn)貨價(jià)格及收益率表

根據(jù)歷史收益率分別計(jì)算出二元正態(tài)Copula模型和二元t－Copula模型中的Copula函數(shù)值分別為CGa(0.5，0.5) =0.4363，Ct(0.5，0.5)=0.4433，則中位數(shù)相關(guān)系數(shù)分別為ρGa=0.7452，ρt=0.7732。將兩種模型下基于Copula函數(shù)的相關(guān)系數(shù)分別代入本文中的模型得到基于Copula模型的最小方差套期保值比率分別為:

hGa=0.693698029，ht=0.719762904。

3.2 模型擬合效果檢驗(yàn)。

利用Matlab軟件計(jì)算出基于歷史期數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)Copula函數(shù)值，(0.5，0.5)=0.433。并得出二元正態(tài)Copula模型和t－Copula模型的平方歐式距離分別為

比較式(11)和式(12)可以看出，二元t－Copula的平方歐式距小于二元正態(tài)Copula，t－Copula模型對數(shù)據(jù)的擬合效果要好于正態(tài)Copula，即僅從模型的擬合效果方面考慮，二元t－Copula模型要好于二元正態(tài)Copula模型。

3.3 套期保值有效性比較。

本文以基于兩種Copula模型中位數(shù)相關(guān)系數(shù)計(jì)算出的最優(yōu)套期保值比率h進(jìn)行套期保值交易，對2014年2月28日之后的期貨和現(xiàn)貨價(jià)格數(shù)據(jù)進(jìn)行套期保值有效性分析，即相對于不進(jìn)行套期保值而言，使收益方差的減少程度。然后選取完全套期保值模型、線性回歸套期保值模型(OLS模型)和傳統(tǒng)最小方差套期保值模型比較二元正態(tài)Copula模型和二元t－Copula模型的套期保值有效性。

套期保值有效性結(jié)果如下表:

表2 套期保值有效性比較

根據(jù)上表的分析可以看出兩種基于Copula模型的套期保值有效性均優(yōu)于完全套期保值模型、傳統(tǒng)最小方差套期保值模型和OLS模型，比較兩者而言，二元正態(tài)Copula模型要稍稍優(yōu)于二元t－Copula模型。

3.4 對兩種Copula模型的評價(jià)。

通過實(shí)證分析中比較平均歐氏距離來評價(jià)模型對數(shù)據(jù)的擬合效果以及比較套期保值有效性，可以認(rèn)為基于二元t－Copula函數(shù)的最小方差套期保值模型總體來說要優(yōu)于二元正態(tài)Copula模型，下面通過以下兩點(diǎn)來分析:

首先，二元正態(tài)Copula函數(shù)與經(jīng)驗(yàn)Copula函數(shù)的平方歐氏距離大于二元t－Copula函數(shù)與經(jīng)驗(yàn)Copula函數(shù)的平方歐氏距離這說明t－Copula模型的數(shù)據(jù)擬合效果優(yōu)于正態(tài)Copula模型。利用Matlab作出t－Copula的分布函數(shù)圖(圖1)可以看出t－Copula函數(shù)自身具有較厚的尾部，對隨機(jī)變量之間的尾部相關(guān)變化比較敏感，與金融時(shí)間序列通常所具有的的厚尾性相吻合。而正態(tài)Copula的分布函數(shù)圖(圖2)則具有對稱的尾部，并且尾部漸進(jìn)獨(dú)立，對上尾相關(guān)計(jì)算更為準(zhǔn)確。

圖1 t－Copula的分布函數(shù)圖

其次，比較套期保值有效性可以看到正態(tài)Copula模型的有效性為0.545288206略微高于t－Copula模型的有效性(0.544009296)。

比較分析以上兩點(diǎn)，雖然在套期保值有效性方面，正態(tài)Copula模型比t－Copula要優(yōu)一點(diǎn)，但是僅僅0.001的差額不足以使我們在計(jì)算最小方差套期保值比率時(shí)選擇正態(tài)Cop-

ula模型而非t－Copula模型。因?yàn)樵诮鹑谑袌錾?，考慮對數(shù)據(jù)的擬合效果比有效性這一細(xì)微的差距要更為重要。

圖2 正態(tài)Copula的分布函數(shù)

4 結(jié)論

本文通過對黃金期貨和現(xiàn)貨價(jià)格和收益率分析，在套期保值比率的計(jì)算中引入Copula模型，并且以基于Copula函數(shù)的中位數(shù)相關(guān)系數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的Person相關(guān)系數(shù)計(jì)算期貨和現(xiàn)貨收益率之間的相關(guān)關(guān)系從而提高了套期保值的效果，證明了Copula模型的優(yōu)越性。此外，本文比較了兩種Copula模型與經(jīng)驗(yàn)Copula函數(shù)的平方歐式距離和套期保值有效性，說明了基于t－Copula的最小方差套期保值比率模型要好于基于正態(tài)Copula的最小方差套期保值模型。

［1］Johnson，L.，The Theory of Hedging and Speculation in Commodity Futures［J］.Review of Economic Studies，1960，27:139－151.

［2］Ederington，L.H.，The Hedging Performance of the New Futures Markets［J］.Journal of Finance，1979，34(1): 157－170.

［3］Lien D.A note on the superiority of the OLS hedge ratio［J］.Journal of Future Markets，2005，25(11):1121－1126.

［4］Pham H，Laurent J P.Dynamic programming and mean－variance hedging［J］.Finance and Stochastic，1999，3(1):83－110.

［5］Satyanarayan S.A note on a risk－return measure of hedging effectiveness［J］.Journal of Futures Markets，1998，18 (7):867－870.

［6］王玉剛，遲國泰，楊萬武.基于Copula的最小方差套期保值比率［J］.系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2009，29(8):1－10.

［7］黃爭臻，段元萍.基于混合連接函數(shù)的最小方差套期保值研究［J］.統(tǒng)計(jì)與決策，2013，373(1):170－173.

［8］鄒慶忠，李金林，王貝貝.基于時(shí)變相關(guān)Copula的最小方差套期保值研究［J］.北京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，31 (11):1383－1386.

［9］Sklar A(1959)Fonctions de répartition à n dimensions et leurs marges.Pub Inst Stat Univ Paris 8:229–231.

［10］Nelson R.B，An introduction to Copulas［M］.New York:Springer－Verlag，1999.

［11］張堯庭.連接函數(shù)(Copula)技術(shù)與金融風(fēng)險(xiǎn)分析［J］.統(tǒng)計(jì)研究，2002(4):48－51.

［12］謝中華.MATLAB統(tǒng)計(jì)分析與應(yīng)用:40個(gè)案例分析［M］.北京:北京航空航天大學(xué)出版社，2010.

Application of Copula Theory in the Minimum Variance Hedging

Chen Jinwen，Wen Zhongqiao
(School of Finance，Anhui University of Finance and Economics，Bengbu，Anhui 233030，China)

The traditional minimum variance hedging model assumes that the futures and spot returns are linear match，whiole ignoring the case of non－linear matching.This paper introduces Copula Theory to estimate the minimum variance hedge ratio and compared the advantages and disadvantages of different forms of Copula model.Through the empirical analysis and comparison of bivariate normal Copula model and t－Copula model，it is concluded that the Copula model is better than that of t－Copula model in the data fitting results，the effectiveness of hedging.The minimum variance hedge ratio is higher，and it can evade the fluctuation of spot price.

minimum variance;hedging ratio;bivariate normal Copula;t－Copula model

F224:F830.9

A

1672－6758(2015)09－0039－4

(責(zé)任編輯:鄭英玲)

陳錦雯，學(xué)生，安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院。研究方向:金融工程、固定收益證券。

文忠橋，博士，教授，安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院。

教育部人文社會(huì)科學(xué)研究項(xiàng)目“‘二次成型’的綜合宏觀利率期限結(jié)構(gòu)模型估計(jì)和應(yīng)用”(編號:11YJA790162)。

Class No.:F224:F830.9Document Mark:A