線性規(guī)劃單純形法教學(xué)策略探究

摘 ? ?要：運(yùn)籌學(xué)中的線性規(guī)劃應(yīng)用日廣。文章從高職院校線性規(guī)劃教材與教學(xué)現(xiàn)狀出發(fā)，提出了改進(jìn)線性規(guī)劃單純形法教學(xué)的新策略。

關(guān)鍵詞：高職院校;線性規(guī)劃;單純形法

中圖分類號(hào)：G642.0 ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ? ? ?文章編號(hào)：1002-4107（2015）12-0030-02

運(yùn)籌學(xué)是應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，是研究如何將生產(chǎn)生活、軍事管理等事件中出現(xiàn)的一些問題加以提煉，然后利用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行解決的學(xué)科。主要是利用高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)等數(shù)學(xué)知識(shí)來解決問題，使成本最小化和利潤(rùn)最大化。是高等院校中經(jīng)濟(jì)和管理系學(xué)生的必修課。線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要分支。1947年丹捷格（G.B.Dantzig）提出了解線性規(guī)劃問題的一種有效方法——單純形法，線性規(guī)劃在理論上日益成熟，在實(shí)際應(yīng)用中更加廣泛與深入。特別是在計(jì)算機(jī)能解決成千上萬個(gè)約束條件和決策變量的線性規(guī)劃問題之后，線性規(guī)劃的適用領(lǐng)域更加廣泛。從解決一些技術(shù)問題的最優(yōu)化設(shè)計(jì)，到工業(yè)、農(nóng)業(yè)、商業(yè)、交通運(yùn)輸業(yè)、軍事、經(jīng)濟(jì)計(jì)劃和管理決策等領(lǐng)域都可以發(fā)揮重要作用。

線性規(guī)劃應(yīng)用日益廣泛。高職高專職業(yè)院校的許多專業(yè)都將這一運(yùn)籌學(xué)基本內(nèi)容納入教學(xué)計(jì)劃?？墒蔷€性規(guī)劃是一種數(shù)學(xué)方法，涉及高維空間。這些專業(yè)的本科生、大專生，即便學(xué)過線性代數(shù)，往往仍比較生疏，不能靈活運(yùn)用線性代數(shù)知識(shí)領(lǐng)會(huì)線性規(guī)劃內(nèi)容。他們覺得線性規(guī)劃理論抽象難懂。部分學(xué)生甚至失去學(xué)習(xí)信心。另一方面，許多教材把線性規(guī)劃安排在線性代數(shù)后面，有作為線性代數(shù)應(yīng)用舉例的用意，若前后教學(xué)設(shè)計(jì)呼應(yīng)不好，這一安排也將落空。

筆者等應(yīng)邀為高職高專院校編寫線性規(guī)劃新教材[1]，在教材中如何體現(xiàn)從此類學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的現(xiàn)狀出發(fā)？如何形象化地講解線性規(guī)劃原理？如何與他們學(xué)過的線性代數(shù)呼應(yīng)？如何跟著時(shí)代步伐，更新教材[2]？——這些問題就提到筆者的面前。

針對(duì)高職高專院校學(xué)生的情況，筆者提出“夯實(shí)理論基礎(chǔ)，抓好建模、上機(jī)兩個(gè)實(shí)際本領(lǐng)”。在“夯實(shí)理論基礎(chǔ)”方面，主要是根據(jù)經(jīng)濟(jì)、管理業(yè)務(wù)需要，針對(duì)學(xué)生實(shí)際的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，加強(qiáng)與他們學(xué)過的線性代數(shù)相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系，在形象化的講解上下大力氣。改變一些概念的提法，使學(xué)生感到通俗易懂，在追求概念正確的前提下力求內(nèi)容講解形象生動(dòng)，采用計(jì)算機(jī)畫圖并結(jié)合動(dòng)畫演示等手段給學(xué)生以感性認(rèn)識(shí)。使線性規(guī)劃的理論部分變得容易接受。在線性規(guī)劃題目的計(jì)算方面，減少筆算，增加機(jī)算，降低學(xué)生計(jì)算的難度，提高計(jì)算效率，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心。此外，針對(duì)線性規(guī)劃教學(xué)和教材中需要注意的一些不確切的表述，筆者提出了一些見解，希望幫助學(xué)生對(duì)知識(shí)的透徹理解，也可與同行交流。在課后習(xí)題的設(shè)置方面，筆者也作了探討，請(qǐng)參閱文章《編寫線性規(guī)劃習(xí)題的新構(gòu)思》[3]，在教學(xué)中為了更好地培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力，筆者寫了《線性規(guī)劃教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力》一文，在此均不再贅述[4]。

一、用“自由變量改稱非基變量”的提法，破除“基”的神秘感

目前線性規(guī)劃教材的用語是跟著運(yùn)籌學(xué)的幾本大部頭著作走的。而權(quán)威著作的用語，一方面受早年開創(chuàng)性論文詞匯的影響，有些術(shù)語今已改譯;另一方面權(quán)威著作比較深?yuàn)W，假設(shè)讀者對(duì)于線性代數(shù)中的相關(guān)基礎(chǔ)理論知識(shí)均已熟練掌握。但是實(shí)際上職業(yè)院校的運(yùn)籌學(xué)教材大多只講到線性方程組的求解，往往未將上述基礎(chǔ)理論全部列入大綱，個(gè)別概念即便提到，頂多也是草草帶過。這就造成在職業(yè)院校的運(yùn)籌學(xué)的很多教材中，線性規(guī)劃的許多術(shù)語學(xué)生感到生疏、抽象，或與以前學(xué)過的線性代數(shù)對(duì)不上號(hào)。

許多線性規(guī)劃教材一開始就另起爐灶，用學(xué)生不熟悉的術(shù)語下“基”的定義，舉例又很簡(jiǎn)略。學(xué)生用不上剛學(xué)的線性代數(shù)，以致對(duì)“基”的概念懵懂，云遮霧罩，往往全憑死記，也就更談不上理解“換基”等等內(nèi)容。

筆者為避免使職業(yè)院校的學(xué)生感到突兀，從他們熟悉的線性方程組求解知識(shí)入手，指出約束方程的增廣矩陣化成行最簡(jiǎn)形矩陣后所得同解方程和相應(yīng)的通解，實(shí)質(zhì)上就是“用自由變量表達(dá)非自由變量”。按線性規(guī)劃的術(shù)語，稱作“用非基變量表達(dá)基變量”。不過是把“自由變量”改稱“非基變量”;把“非自由變量”改稱“基變量”罷了。再由“基變量”引入“基”的概念，由此破除“基”的神秘感。再利用他們會(huì)的通過“行初等變換”，在增廣矩陣系數(shù)矩陣中化出單位陣的知識(shí)，講“基”的性質(zhì)等內(nèi)容。這樣，學(xué)生就會(huì)很容易理解。

學(xué)生容易知道：寫線性方程組的通解時(shí)，最易手到拈來的是“全部自由變量皆取零值的特解”，這個(gè)“特解”在線性規(guī)劃里叫作“全部非基變量皆取零值”。并指出這個(gè)特解在線性規(guī)劃里更重要，特意命名“基本解”。若“基本解” 還符合非負(fù)條件，就成為“基本可行解” （Basic feasible solution），它與圖解法中至關(guān)重要的可行解域的頂點(diǎn)有對(duì)應(yīng)關(guān)系。這樣引入新概念，學(xué)生感到輕松自然。連差生也能順暢地由上章知識(shí)過渡到本章的新概念。

二、合理運(yùn)用多種教學(xué)手段，增強(qiáng)學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)

因?yàn)榫€性規(guī)劃單純形法比較抽象，許多關(guān)鍵點(diǎn)學(xué)生不容易明白，對(duì)一些知識(shí)的理解比較模糊，為了使學(xué)生對(duì)解法有清晰感性的理解，筆者想到利用二維圖形、對(duì)照頂點(diǎn)表及圖象和動(dòng)畫演示等手段，達(dá)到較好的教學(xué)效果。

（一）用二維圖形顯示“基本可行解”與可行解域頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系

因?qū)W時(shí)限制，職業(yè)院校的運(yùn)籌學(xué)教材不作證明，僅介紹“基本可行解”與可行解域頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系結(jié)論。很多教材一筆帶過，學(xué)生印象不深。筆者加寫一個(gè)二維例圖讓學(xué)生驗(yàn)看，增添感性認(rèn)識(shí)。還把該例的對(duì)應(yīng)關(guān)系，包括決策變量與張弛變量的值等，詳細(xì)列出表格，供后面講“換基”時(shí)查驗(yàn)。雖然費(fèi)些筆墨，因事關(guān)單純形法只到各個(gè)頂點(diǎn)搜尋最優(yōu)解的基本思路，還是值得的。

（二）在二維圖上驗(yàn)看可行解域頂點(diǎn)上確實(shí)“全部非基變量等于零”

在以往教學(xué)中，常有學(xué)生對(duì)全部非基變量在每個(gè)可行解域的頂點(diǎn)都取零值感到疑惑。筆者除了指出代數(shù)上的“基本可行解”與幾何上的可行解域頂點(diǎn)有對(duì)應(yīng)關(guān)系外，還從幾何角度在二維圖上說明該例中各個(gè)非基變量等于零的幾何意義：在坐標(biāo)軸線上的頂點(diǎn)，它的另一個(gè)坐標(biāo)的值為零，其含義為非負(fù)條件;在其他邊線上的頂點(diǎn)，約束方程的張弛變量為零，表明至此已踩該約束條件的邊線。例如二維圖解法中，在表示不等式約束x1+x2≤6的邊線上，由它標(biāo)準(zhǔn)化所得的等式約束x1+x2+x3=6中的張弛變量x3為零。以此幫助學(xué)生接受高維空間也有類似規(guī)律的結(jié)論。

? ?（三）對(duì)照頂點(diǎn)表及圖象導(dǎo)出“換基”的感性認(rèn)識(shí)

在從代數(shù)學(xué)角度講“換基”的過程中，筆者還讓學(xué)生觀察上述可行解域頂點(diǎn)與“基本可行解”對(duì)照表中頂點(diǎn)間各變量值的變化，結(jié)合“非基變量必取零值”，自己總結(jié)得出“換基”的規(guī)律。學(xué)生感到生動(dòng)明白。

? ?（四）用動(dòng)畫概括單純形法的思路

在講完單純形法的思路后，筆者放映一個(gè)二變量線性規(guī)劃題求最優(yōu)解的動(dòng)畫，以動(dòng)態(tài)形象的動(dòng)畫演示，使學(xué)生直觀地理解單純形法的解題思路，以加深學(xué)生對(duì)此解法的印象，鞏固學(xué)習(xí)成果。

? ?三、裁減筆算法的輔助內(nèi)容，開展機(jī)算

實(shí)際工作中遇到的線性規(guī)劃問題，必然變量很多（往往十個(gè)以上）且有效數(shù)字長(zhǎng)，計(jì)算量太大。很多學(xué)生面對(duì)實(shí)際問題，憑筆算解不出來，只能望洋興嘆。身處計(jì)算機(jī)時(shí)代，而因襲幾十年前的老教法，只教筆算內(nèi)容，或雖點(diǎn)到某處刊有源程序，卻不上機(jī)，這是國(guó)內(nèi)經(jīng)濟(jì)管理類專業(yè)線性規(guī)劃教學(xué)中相當(dāng)普遍的現(xiàn)狀。為使學(xué)生真正具備解決實(shí)際問題的能力，筆者痛感必須掌握一種軟件。有所失才能有所得，為擠出時(shí)間上機(jī)，必須割舍一些原有內(nèi)容。一般教材在講完單純形法的表上求解后，還要講一種求初始基本可行解的方法，一般是“輔助規(guī)劃法”。筆者考慮這部分與單純形法主干內(nèi)容的關(guān)系相對(duì)而言小些，只好割愛。況且實(shí)際工作中，用計(jì)算機(jī)解題，不需要提供初始可行解。即便偶遇簡(jiǎn)易筆算場(chǎng)合，由于新講稿中加強(qiáng)了與上章的聯(lián)系，真正看懂新教材的學(xué)生，從引入基變量概念的例題中，也會(huì)悟出對(duì)增廣矩陣作行初等變換，搜索出一個(gè)基本可行解，繪出首張單純形表，供表上疊代求解用。所以刪去這部分內(nèi)容影響不算太大。這樣節(jié)約出利用計(jì)算機(jī)解題的時(shí)間，使學(xué)生利用上機(jī)解題，提高學(xué)習(xí)效率。

? ?四、注意語言的準(zhǔn)確性

線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)中最活躍的分支，經(jīng)濟(jì)類、管理類專業(yè)學(xué)生及從業(yè)人士普遍學(xué)習(xí)?，F(xiàn)在市場(chǎng)銷售的線性規(guī)劃書籍很多，但在教學(xué)和教材中都有一些需要注意的問題。

講課中不能因?yàn)閺?qiáng)調(diào)形象有趣而忽視科學(xué)性。在職業(yè)院校的運(yùn)籌學(xué)課堂上，雖無理工科那么多證明，同樣要在關(guān)鍵地方，字斟句酌，錘煉用語。在線性規(guī)劃的教材中就有若干常見的語病。例如個(gè)別書說“基的個(gè)數(shù)為組合數(shù)Cmn”（其中m為標(biāo)準(zhǔn)化后的約束方程數(shù)，n為變量數(shù)，且R（A）=m ）。這句話就漏掉“至多”二字，因?yàn)橛械膍階方陣的行列式可能為零，因而不能作基。

總之，線性規(guī)劃單純形法是一種較為抽象的數(shù)學(xué)方法，經(jīng)過改進(jìn)教學(xué)方法，采用上述講法，學(xué)生對(duì)該部分的學(xué)習(xí)普遍接受較好。

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