淺談改進(jìn)線性代數(shù)課堂教學(xué)的幾點(diǎn)做法

胡清潔　陳玉

摘要：本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，提出了幾點(diǎn)改進(jìn)線性代數(shù)課堂教學(xué)的做法：加強(qiáng)知識點(diǎn)間聯(lián)系教學(xué)；以問題為驅(qū)動引導(dǎo)學(xué)生參與課堂教學(xué)；適當(dāng)滲透數(shù)學(xué)思想方法；注重知識背景教學(xué)。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；聯(lián)系教學(xué)；問題驅(qū)動；數(shù)學(xué)思想方法

中圖分類號：G642.4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）13-0259-02

線性代數(shù)是高等學(xué)校一門重要的公共數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程。線性代數(shù)給人感覺是概念多，比較抽象，教師難教，學(xué)生難學(xué)。針對目前狀況，如何采取更加合適高效的教學(xué)方法幫助學(xué)生掌握線性代數(shù)課程的基礎(chǔ)知識，提高其基本技能，是目前線性代數(shù)課堂教學(xué)改革的主要任務(wù)之一，也是廣大數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中經(jīng)常思考的問題，本文就這些問題淺談個(gè)人的幾點(diǎn)粗淺做法。

一、結(jié)合已有知識，加強(qiáng)知識點(diǎn)間的聯(lián)系教學(xué)

結(jié)合已有知識，加強(qiáng)知識點(diǎn)間的聯(lián)系教學(xué)就是在教學(xué)中能抓住數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵，做到對數(shù)學(xué)前后知識點(diǎn)間聯(lián)系有清楚的認(rèn)識，讓學(xué)生對前后數(shù)學(xué)知識能夠有機(jī)的統(tǒng)一起來，對新的數(shù)學(xué)知識認(rèn)識提高到某種理性認(rèn)識高度。結(jié)合前后知識點(diǎn)間聯(lián)系教學(xué)的方法是多種多樣，這就需要教師在備課時(shí)投入大量的精力去挖掘，這種方式的教學(xué)能使學(xué)生對基礎(chǔ)知識掌握牢固，理解深刻。例如，在講n維向量空間時(shí)，可結(jié)合我們熟知的二維平面向量和三維空間向量去類比引入n維向量的概念，同時(shí)指出它就是二維平面向量和三維空間向量即n=2，3時(shí)的推廣形式；在講n維歐氏空間中向量的有關(guān)概念時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生由二維平面向量的長度、夾角、內(nèi)積、距離公式，通過適當(dāng)分析得到在n維歐氏空間中向量的長度、夾角、內(nèi)積、距離公式等。在線性代數(shù)教學(xué)中有機(jī)結(jié)合已有知識，加強(qiáng)知識點(diǎn)間的聯(lián)系教學(xué)不僅可以使學(xué)生掌握線性代數(shù)基礎(chǔ)知識，而且也可以幫助學(xué)生完善已有的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)。

二、以問題為驅(qū)動，引導(dǎo)學(xué)生積極參與課堂教學(xué)

問題驅(qū)動課堂教學(xué)模式是近年來國內(nèi)外教育界研究的熱點(diǎn)，它不僅能達(dá)到讓學(xué)生有思考的學(xué)習(xí)，而且能使學(xué)生主動的、探索式的學(xué)習(xí)。為達(dá)到上述目標(biāo)，這就需要教師在課堂上從不同角度提問題讓學(xué)生思考，逐步讓學(xué)生養(yǎng)成自主思索探究習(xí)慣，有意識地訓(xùn)練學(xué)生勤于思考的能力，逐步使學(xué)生從被動的接受知識走向主動的參與課堂學(xué)習(xí)，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，進(jìn)一步達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的目的。在線性代數(shù)課堂教學(xué)中實(shí)施問題驅(qū)動教學(xué)模式，仍然是為了將抽象的線性代數(shù)的內(nèi)容講授給學(xué)生，讓學(xué)生有思索的學(xué)習(xí)、主動的學(xué)習(xí)、探索式的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生從中體驗(yàn)出學(xué)習(xí)線性代數(shù)課程的樂趣。例如，在講克萊姆法則時(shí)，可以先提出這樣的問題：我們通過分析二元和三元一次方程組解的特征引入了二階和三階行列式的定義，那么能否基于同樣的思想，借助n階行列式去刻劃n元一次方程組的解呢？由此激發(fā)學(xué)生的求知欲，使其產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，自覺積極地參與到課堂教學(xué)中去。例如，在講授矩陣乘法時(shí)，可以先提出這樣的問題：一元一次方程ax=b當(dāng)a≠0時(shí)方程的解可以表示成x=a-1b，那么線性方程組AX=B的解能否寫成X=A-1B的形式呢？這樣引導(dǎo)學(xué)生探索AX=B中三個(gè)矩陣的元素與線性方程組的對應(yīng)關(guān)系就可以導(dǎo)出矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)則。

三、適當(dāng)滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的反映，具有高度的概括性與抽象性，教師在數(shù)學(xué)課程教學(xué)中既要傳授知識，又要注重其中數(shù)學(xué)思想方法的滲透，更要結(jié)合教材使隱藏在數(shù)學(xué)知識背后的數(shù)學(xué)思想方法能夠在精心設(shè)計(jì)的教學(xué)過程中得到體現(xiàn)。線性代數(shù)不僅包含豐富的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，而且蘊(yùn)涵了許多重要的數(shù)學(xué)思想方法，特別是一些現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想方法，目前線性代數(shù)教材中一些重要的數(shù)學(xué)思想方法都隱含在數(shù)學(xué)知識體系中，這就需要教師在備課的過程中去疏導(dǎo)和整理，在教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生去總結(jié)和領(lǐng)會，從而提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法去解決數(shù)學(xué)問題的能力。例如，當(dāng)講到分塊矩陣的可逆性時(shí)，對于高階矩陣的可逆性問題一般先通過初等變換將原高階矩陣化為分塊上（或下）三角矩陣，然后轉(zhuǎn)化為低階矩陣的可逆性問題進(jìn)行討論。這實(shí)際上體現(xiàn)了線性代數(shù)中一種降階的思想，因此教師結(jié)合例題講解時(shí)應(yīng)適當(dāng)滲透這一數(shù)學(xué)思想。例如，在講解線性方程組時(shí)，我們一般將線性方程組的增廣矩陣通過初等行變換化為階梯形矩陣，依據(jù)線性方程組的同解原理，從階梯形矩陣對應(yīng)的線性方程組的解找到原線性方程組解的基本結(jié)構(gòu)。這實(shí)際上體現(xiàn)了線性代數(shù)中初等行變換思想。同樣初等列變換的思想，在求一組向量的秩或者極大線性無關(guān)組時(shí)也可體現(xiàn)出來。例如，分類的思想方法在線性代數(shù)中也有體現(xiàn)，如將矩陣分為對稱矩陣和不對稱矩陣；又如將方陣分為可逆和不可逆兩類；又如向量組可分為線性無關(guān)和線性相關(guān)兩類等等。例如，在講矩陣的特征值與特征向量這一章時(shí)，實(shí)際上特征值和特征向量都可轉(zhuǎn)化為我們前面學(xué)習(xí)的行列式的計(jì)算和線性方程組解的問題等，這里面都體現(xiàn)了化歸的數(shù)學(xué)思想。例如，在介紹n階行列式的計(jì)算時(shí)，我們知道當(dāng)行列式的階數(shù)大于4時(shí)按定義計(jì)算，計(jì)算量比較大。我們一般利用行列式的性質(zhì)，把一般行列式的計(jì)算化為幾類簡單行列式的計(jì)算問題。這其中就體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的化歸數(shù)學(xué)思想，教師在課程小結(jié)中應(yīng)該適時(shí)總結(jié)。例如，求矩陣的秩按定義計(jì)算，計(jì)算量也比較大，我們一般把矩陣經(jīng)初等變換化為階梯形矩陣，再依據(jù)初等變換不改變矩陣的秩的結(jié)論，從階梯形矩陣的秩得出原矩陣的秩，這里面就用到了把一個(gè)一般矩陣秩的問題化歸簡單矩陣秩問題的數(shù)學(xué)思想?？傊€性代數(shù)教學(xué)應(yīng)該以滲透數(shù)學(xué)思想方法為主線，以解決問題為目的，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中發(fā)揮主觀能動性，從而使得線性代數(shù)的教學(xué)成為一個(gè)發(fā)展與培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法解決數(shù)學(xué)問題能力的過程。

四、注重知識背景教學(xué)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

數(shù)學(xué)來源于實(shí)際，最終應(yīng)用到實(shí)踐當(dāng)中去。線性代數(shù)課程也一樣，這門課程的很多概念、方法有其發(fā)生與發(fā)展過程，很多知識在實(shí)踐中也有廣泛的應(yīng)用。因此教師在線性代數(shù)教學(xué)過程中，需要結(jié)合具體內(nèi)容，適當(dāng)?shù)慕榻B有些概念的發(fā)生發(fā)展過程、某些結(jié)論的應(yīng)用情況，這樣有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。endprint

例如，許多線性代數(shù)的概念可從日常生活中的例子引入。例如矩陣的概念可結(jié)合多個(gè)城市間的航行時(shí)間表、某省各地州市每月的生產(chǎn)總值表等實(shí)例引入；線性方程組解的存在性可結(jié)合經(jīng)濟(jì)學(xué)中的投入產(chǎn)出模型去解釋等等。

在線性代數(shù)的教學(xué)過程中，教師可結(jié)合某些知識點(diǎn)適當(dāng)介紹其歷史背景及其發(fā)展過程，適當(dāng)擴(kuò)大學(xué)生在數(shù)學(xué)史方面的知識面，從而提高他們的學(xué)習(xí)興趣。例如，在講行列式的概念時(shí)，可結(jié)合數(shù)學(xué)史材料對學(xué)生介紹行列式知識的產(chǎn)生背景以及發(fā)生發(fā)展過程。教師可告訴學(xué)生它最早由德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨和日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和作為解方程組的一種工具提出，當(dāng)初只是一種速記的表達(dá)式，而且在很長一段時(shí)間內(nèi)，行列式都只是作為解線性方程組的工具，并未形成完整的理論體系。后來法國數(shù)學(xué)家范德蒙把行列式理論從線性方程組解的理論中分出來，才形成了相對獨(dú)立的理論體系。同時(shí)也可向?qū)W生介紹在行列式理論方面做出突出貢獻(xiàn)的其他數(shù)學(xué)家還有柯西、雅可比等通過這些相關(guān)歷史背景知識的介紹可以使線性代數(shù)的課堂教學(xué)更加生動有趣，自然而然會在學(xué)習(xí)過程中調(diào)動學(xué)生的積極性。

目前，線性代數(shù)的知識與方法在各個(gè)領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，例如運(yùn)籌學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)、密碼學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物學(xué)等很多學(xué)科都是以線性代數(shù)基礎(chǔ)知識和方法為基礎(chǔ)的，因此，教師在教學(xué)過程中可向?qū)W生介紹線性代數(shù)在各個(gè)領(lǐng)域中的應(yīng)用情況，讓他們真正意識到學(xué)習(xí)線性代數(shù)對他們的專業(yè)學(xué)習(xí)有用，從而激發(fā)他們的學(xué)習(xí)熱情。另外，教師在教學(xué)過程中針對相關(guān)知識點(diǎn)介紹一些線性代數(shù)知識在這些方面的應(yīng)用情況，也為學(xué)生在后段專業(yè)學(xué)習(xí)方面做了一些鋪墊工作。

總之，要想提高線性代數(shù)課堂教學(xué)效率，需要教師去探索、實(shí)踐一些可行的教學(xué)方法，同時(shí)需要教師在課堂上去適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生，才能使學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣應(yīng)運(yùn)而生，才會使學(xué)生覺得線性代數(shù)課不是那樣的抽象，不是那樣的難學(xué)，才能最終真正提高線性代數(shù)課堂教學(xué)質(zhì)量。

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