歐拉公式在含參量積分中的應(yīng)用

何其祥

摘要：歐拉公式是復(fù)變函數(shù)里一個(gè)著名而又簡單的公式，它將定義和形式完全不同的指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)聯(lián)系起來，為我們研究這兩種函數(shù)的有關(guān)運(yùn)算及其應(yīng)用性質(zhì)架起了一座橋梁，特別是對某些類型的積分很是實(shí)用。本文將通過實(shí)例介紹了該公式在含參量積分中的應(yīng)用，歐拉公式的應(yīng)用可以大大簡化計(jì)算的復(fù)雜性。

關(guān)鍵詞：歐拉公式；三角函數(shù)；積分；含參量積分

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）15-0149-02

一、引言

1748年，歐拉在其著作中陳述出公式：eix=cosx+isinx，其中x為任意實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位。這就是著名而又簡單的歐拉公式，它自于復(fù)指數(shù)函數(shù)?？梢匀菀椎玫饺缦鹿剑?/p>

該公式給出了指數(shù)函數(shù)與實(shí)三角函數(shù)的聯(lián)系，從而就有了在某些含三角函數(shù)的積分中應(yīng)用此公式把積分變?yōu)橹笖?shù)函數(shù)的積分的可能，并能使計(jì)算簡化，先看下例。

從上例中，我們可以看出用歐拉公式的來計(jì)算積分比直接采用分部積分進(jìn)行計(jì)算更為簡便。此外，該公式在含參量積分中有許多應(yīng)用。

二、歐拉公式在含參量積分中的應(yīng)用

1.含參量正常積分。

例2.計(jì)算含參變量積分。

于是有：

可以看出，本例中先引入含參量正常積分，再通過交換積分次序后利用歐拉公式一下算出兩個(gè)積分，也要比用分部積分法簡單。

2.含參量反常積分。有些反常積分同樣可以利用歐拉公式計(jì)算，可以使計(jì)算簡化。

例3.計(jì)算含參變量反常積分。

三、小結(jié)

從以上例子可以看出歐拉公式可以用來計(jì)算一部分含參量的積分，并能使計(jì)算大大簡化。當(dāng)然，歐拉公式也可以用來計(jì)算一般的定積分、不定積分等，這里不再贅述。

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