高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的幾點(diǎn)注記

唐風(fēng)琴，杜翠真

（淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000）

高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的幾點(diǎn)注記

唐風(fēng)琴，杜翠真

（淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000）

探討高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的三個(gè)問(wèn)題，包括極限的思想和方法、量與圖形的統(tǒng)一及高等數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用，旨在改進(jìn)課堂教學(xué)效果，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.

高等數(shù)學(xué)；極限；量與圖形統(tǒng)一

《高等數(shù)學(xué)》是理工科院校一門重要的基礎(chǔ)課程，具有高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性和廣泛的應(yīng)用性等特點(diǎn).學(xué)好高等數(shù)學(xué)對(duì)許多專業(yè)后繼課程的學(xué)習(xí)起到舉足輕重的作用，比如《大學(xué)物理》、《化學(xué)動(dòng)力學(xué)》、《數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)》、《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)》等課程就要求有較好的微積分功底.但是很多院系文理兼收，學(xué)生來(lái)自五湖四海，數(shù)學(xué)水平參差不齊，在講授同一本教材時(shí)，老師們常感到進(jìn)度困難，部分學(xué)生也覺(jué)得很困惑，學(xué)習(xí)興趣消失殆盡，不利于其他相關(guān)專業(yè)的學(xué)習(xí).基于以上種種問(wèn)題，很多教師對(duì)高等數(shù)學(xué)教學(xué)方式及教學(xué)內(nèi)容等方面做大量有益的研究.比如齊民友［1］總結(jié)微積分的發(fā)展史并對(duì)微積分的教學(xué)提出一系列的觀點(diǎn)，鮑培文［2］探討在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合問(wèn)題，張蓮［3］總結(jié)高等數(shù)學(xué)教學(xué)中求極限的方法，楊麗賢等［4］探討高等數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用.在此基礎(chǔ)上，本文結(jié)合實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)極限的思想和方法問(wèn)題、量與圖形的統(tǒng)一問(wèn)題及高等數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用進(jìn)行討論，旨在改進(jìn)課堂教學(xué)效果，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.

1 極限的思想和方法

學(xué)習(xí)《高等數(shù)學(xué)》課程的第一個(gè)要求就是理解極限的思想，建立極限的概念.《高等數(shù)學(xué)》［5］上冊(cè)以初等函數(shù)為研究對(duì)象，其內(nèi)容和體系基本是建立在嚴(yán)格的（初等）極限理論基礎(chǔ)之上的.如果對(duì)極限掌握不過(guò)關(guān)，這門課程的后期學(xué)習(xí)就必定面臨巨大的困難.然而，對(duì)大部分剛剛步入大學(xué)的學(xué)生（尤其文科背景的學(xué)生）而言，這一要求是很難達(dá)到的.畢竟，從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)，跨度很大——研究對(duì)象由常量轉(zhuǎn)化為變量，研究范圍由有限轉(zhuǎn)化為無(wú)限.解決問(wèn)題的主要手段更是產(chǎn)生一個(gè)飛躍——由直觀的初等方法變?yōu)槌橄蟮臉O限方法.許多重要的概念，均是借助極限來(lái)定義的；許多重要的問(wèn)題，均是借助極限來(lái)解決的.另一方面，高中數(shù)學(xué)課程對(duì)函數(shù)和極限等內(nèi)容的描述不夠嚴(yán)格，使許多學(xué)生對(duì)這些概念的理解不夠深刻，認(rèn)識(shí)誤區(qū)比比皆是.要想改變這一現(xiàn)狀，避免教師在《高等數(shù)學(xué)》課程教學(xué)中花費(fèi)大量時(shí)間去糾正學(xué)生的種種錯(cuò)誤觀念和認(rèn)識(shí)誤區(qū)，可從以下幾點(diǎn)著手：

第一，以鼓勵(lì)為手段，促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.文理學(xué)生同堂聽課，文科學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的心理壓力更大.要特別對(duì)他們進(jìn)行鼓勵(lì)，鼓勵(lì)他們思考和提問(wèn)，提高他們的自信心，避免問(wèn)題積累，差距擴(kuò)大.數(shù)學(xué)是需要想象力的，而在想象力方面，文科學(xué)生并不見得會(huì)差于理科學(xué)生.

第二，在堅(jiān)持極限概念嚴(yán)格性的基礎(chǔ)上，盡可能賦予直觀解釋.必要時(shí)，甚至可以犧牲一部分嚴(yán)格性.直觀解釋可用的例子很多，不勝枚舉.最重要的是利用直觀解釋來(lái)增強(qiáng)理解，揭露本質(zhì).例如，要讓學(xué)生明白極限是一個(gè)無(wú)窮進(jìn)行的過(guò)程，旨在描述一種變化趨勢(shì)，從宏觀層次到微觀層次再到更微觀層次，永不停止，突破初等數(shù)學(xué)的有限觀念束縛.對(duì)極限的定義，如果一開始就照抄ε-δ語(yǔ)言，不去解釋極限的背景及其本質(zhì)，那么學(xué)生會(huì)完全不知所云.因此在教學(xué)中應(yīng)該先講有關(guān)背景，例子要豐富，類型要突出，提出問(wèn)題并啟發(fā)思考；然后總結(jié)其共同的內(nèi)在特征，引出極限的思想；接下來(lái)則很自然地通過(guò)數(shù)學(xué)的方法描述極限并引導(dǎo)同學(xué)們進(jìn)入狀態(tài)，最后抽象出經(jīng)典的極限定義，這樣學(xué)生接受起來(lái)會(huì)容易的多.

第三，無(wú)窮小量的階的比較，是極限理論的經(jīng)典內(nèi)容，更是極限教學(xué)的關(guān)鍵部分.面對(duì)一個(gè)一般的極限問(wèn)題，結(jié)果總是可以計(jì)算出來(lái)的，比如說(shuō)，等于A，但要問(wèn)，這個(gè)極限為什么等于A？為什么不是B？如何解釋.經(jīng)驗(yàn)表明，如果學(xué)生弄清了無(wú)窮小量的概念及其階的比較的原理，并學(xué)會(huì)以此來(lái)解釋極限，就會(huì)對(duì)極限是什么產(chǎn)生更細(xì)致、更深刻的理解.進(jìn)一步地，如果搞清無(wú)窮小量的概念及其階的比較，無(wú)窮大量的概念自然就清楚，并且有關(guān)極限未定型、收斂速度、廣義積分及級(jí)數(shù)的收斂等相關(guān)問(wèn)題的理解也就容易多.

第四，關(guān)于極限的求法，應(yīng)注重多種方法的結(jié)合.諸多單個(gè)的方法如各類初等代換、變量代換、等價(jià)無(wú)窮?。ù螅┝康奶鎿Q、L′Hospital法則以及利用兩邊夾法則、Taylor展開及定積分求極限等，均是極其經(jīng)典并行之有效的，但對(duì)于經(jīng)常碰到的較為綜合或復(fù)雜的求極限問(wèn)題，則需將上述各方法結(jié)合起來(lái)予以解決.

這道題顯然不能通過(guò)一種方法解決，需要結(jié)合等價(jià)關(guān)系和Taylor展開才能完成求解.

第五，及時(shí)總結(jié)，不斷反復(fù)，讓學(xué)生逐步深化對(duì)極限的認(rèn)識(shí).極限內(nèi)容講完，一個(gè)接一個(gè)新的概念如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)乃至定積分、級(jí)數(shù)等，均要求我們的教學(xué)重復(fù)地運(yùn)用極限的概念.從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看，以極限思想作為一條主線，貫穿于《高等數(shù)學(xué)》課程教學(xué)的整個(gè)過(guò)程，不僅有利于學(xué)生溫故知新，加深對(duì)極限概念的理解，熟練掌握求極限的方法，還能在一定程度上保證學(xué)生對(duì)《高等數(shù)學(xué)》課程宏觀框架的把握，既見樹木，又見森林，益處毋庸質(zhì)疑.

2 量與圖形統(tǒng)一問(wèn)題

數(shù)學(xué)類的許多課程很講究“量”與“圖”二者的統(tǒng)一和結(jié)合，《高等數(shù)學(xué)》自然也不例外.在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師往往更關(guān)注定義、公式、定理的邏輯推導(dǎo)而忽視它們的幾何或者物理背景.要讓學(xué)生感受到深?yuàn)W數(shù)學(xué)公式的直觀美，需在教學(xué)中做到以下幾點(diǎn)：

第一，首先將實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)點(diǎn)、實(shí)數(shù)集與實(shí)數(shù)軸之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系建立起來(lái).這是量與圖形統(tǒng)一思想的基本出發(fā)點(diǎn).就教學(xué)而言，它也是對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)有關(guān)內(nèi)容的一個(gè)簡(jiǎn)要回顧，起著承上啟下的作用.弄明白這一點(diǎn)，日后多變量函數(shù)中二元實(shí)數(shù)對(duì)與二維實(shí)數(shù)點(diǎn)、多元實(shí)數(shù)集與多維實(shí)空間的子集之間的等價(jià)性，就僅僅是形式上的推廣，理解起來(lái)不成問(wèn)題.

第二，在平常教學(xué)中，不少問(wèn)題的描述和推導(dǎo)，教師應(yīng)堅(jiān)持利用圖像加以直觀解釋.我們注意到，有些證明幾乎是完全可以利用圖像方法來(lái)完成的.即使不是如此，借助圖像進(jìn)行輔助分析，效果也很好.數(shù)學(xué)看起來(lái)總是抽象的，但其本質(zhì)絕不抽象，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不應(yīng)拘泥于抽象的形式.典型的例子如中值定理類問(wèn)題，若不顧幾何背景，純粹使用數(shù)學(xué)推導(dǎo)，結(jié)論就顯得很晦澀難懂，證明自然也難以完成.即使勉強(qiáng)完成了證明，就數(shù)學(xué)教學(xué)的要求而言，意義也不大.問(wèn)題的實(shí)際背景是什么以及結(jié)論有什么意義？二者之間有什么聯(lián)系？純粹的數(shù)學(xué)推導(dǎo)是回答不了這些問(wèn)題.相反，若能夠根據(jù)已知條件繪出圖像，則一目了然.根據(jù)圖像會(huì)清楚地看到，要找的那種點(diǎn)在什么位置？實(shí)際上，它只能存在于已知區(qū)間的某些特定的位置.接下來(lái)的任務(wù)僅僅是利用經(jīng)驗(yàn)和技巧將其解析地“推導(dǎo)”出來(lái)罷.

例2 已知f（x）在（0，1）上可導(dǎo)，在［0，1］上連續(xù)滿足f（0）=0，f（1）=1且f（x）是關(guān)于x的非線性函數(shù).證明在（0，1）內(nèi)至少存在一點(diǎn)η使得f′（η）＞1.

首先給出該題的理論證明.令F（x）=f（x）-x，由已知，F(xiàn)（x）在（0，1）上可導(dǎo)，在［0，1］上連續(xù)滿足F（0）= F（1）=0且F（x）不恒等于0.記

以下分兩種情形討論：

（1）若M＞0，則必有x1∈(0,1)，由拉格朗日中值定理知，存在η1∈(0,x1)，使得

而F′(η1)=f′(η1)-1，故 f′(η)＞1.

（2）若M=0，則m=F(x2)＜0，由拉格朗日中值定理知，存在η2∈(x2,1)，使得

故 f′(η)＞1.

對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，這個(gè)證明還是有相當(dāng)?shù)募记珊碗y度.換句話說(shuō)，如果只會(huì)證明，或者只看證明，很難幫助學(xué)生更好地理解問(wèn)題本身.但是根據(jù)題意和已知的條件繪出圖1，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)論是顯而易見的.

圖1 曲線y=f(x)表示因變量y與自變量x之間的非線性關(guān)系，直線L(x)表示過(guò)曲線y=f(x)上的點(diǎn)ε的切線，其斜率大于1

更甚者，可以為其加上一個(gè)物理學(xué)背景.可將f(x)看成路程，變量x為時(shí)間，那么所研究的對(duì)象就變成“單位時(shí)間內(nèi)路程為1（平均速度為1），但物體做非勻速直線運(yùn)動(dòng)，因此在某些時(shí)點(diǎn)上物體的速度絕對(duì)會(huì)超過(guò)平均速度1”這一問(wèn)題了，由導(dǎo)數(shù)物理背景知，速度是路程函數(shù)的導(dǎo)數(shù).這樣的解釋使題意與結(jié)論變得自然、直觀且十分有趣.數(shù)學(xué)脫下了神奇而抽象的外衣，表現(xiàn)出可愛的一面——源于實(shí)際的數(shù)學(xué)，又奇妙地回歸于實(shí)際.這樣解決問(wèn)題的方式，不僅使問(wèn)題的背景、意義及其之間的關(guān)系變得清晰化，問(wèn)題的解決過(guò)程不再云里霧里，還會(huì)讓整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程清爽愉快，學(xué)習(xí)效果明顯提升.“理論聯(lián)系實(shí)際”才是最符合高等數(shù)學(xué)教學(xué)的要求.

第三，為了達(dá)到上述要求，必須注意培養(yǎng)學(xué)生的圖像能力，包括繪圖能力和圖像理解能力.總有一些學(xué)生的手工繪圖能力較差，或者不善于將有關(guān)知識(shí)點(diǎn)與相應(yīng)的圖形特征聯(lián)系起來(lái).針對(duì)這一現(xiàn)狀，教師在課堂講授及習(xí)題講解中可結(jié)合具體內(nèi)容，一方面?zhèn)魇谧鲌D的基本技巧，如由簡(jiǎn)單函數(shù)的圖像經(jīng)疊加、壓縮、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱及復(fù)合等變換生成各種較復(fù)雜的函數(shù)圖像；另一方面利用圖像特征進(jìn)行輔助分析，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由特殊至一般，逐步培養(yǎng)學(xué)生的圖像基本功，培養(yǎng)學(xué)生把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖像的能力和利用圖像分析并解決問(wèn)題的能力.

3 高等數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用

實(shí)踐證明，用數(shù)學(xué)方法對(duì)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題做定性或者定量分析是十分有效的、可靠的.隨著經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的多樣化，在定量分析這些問(wèn)題的時(shí)候，首先要根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論，建立數(shù)學(xué)模型，然后通過(guò)分析數(shù)據(jù)，并運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)方法對(duì)其結(jié)果進(jìn)行分析，從而可以對(duì)于未來(lái)的經(jīng)濟(jì)狀況作出預(yù)測(cè)，最終為決策者提供有效的決策信息.在上述過(guò)程中，每一步都與數(shù)學(xué)理論息息相關(guān)，比如在政策評(píng)價(jià)中，需要用到彈性函數(shù)、邊際效用等，它們與高等數(shù)學(xué)中的微分學(xué)緊密相連.另外，在經(jīng)濟(jì)學(xué)和管理學(xué)中，最優(yōu)化理論是極其重要的研究對(duì)象之一.通俗的來(lái)講，就是在經(jīng)濟(jì)資源投入一定的前提下如何使效益達(dá)到最大；或者在效益一定的前提下如何使投入最小.現(xiàn)在舉例說(shuō)明：

例3 根據(jù)需求、收入及價(jià)格間的關(guān)系，假設(shè)某種商品在一定時(shí)期內(nèi)的綜合需求函數(shù)為D=0.5P-0.6X0.8，其中D為需求函數(shù)，P為該商品單位價(jià)格，X為人均月收入.由于該商品的需求富有彈性，即收入增加，需求增加；價(jià)格提高，需求下降.可見給出的函數(shù)關(guān)系是有意義的.

假設(shè)某地區(qū)人均月收入5000元，蘋果手機(jī)的價(jià)格為4500元，則需求量為2.91.利用此結(jié)果，可為商家的進(jìn)貨量做出合理預(yù)測(cè).同時(shí)，由需求函數(shù)可得：需求關(guān)于收入的偏彈性為，表明收入增加1%，對(duì)該商品的需求量增加0.8%.同理可得需求關(guān)于價(jià)格的偏彈性為αP=-0.6，也就是說(shuō)當(dāng)該商品價(jià)格提高1%，需求量下降0.6%.

例4 某公司有三條生產(chǎn)線生產(chǎn)兩類產(chǎn)品，數(shù)據(jù)如表1，要求利潤(rùn)最大，該如何生產(chǎn)？

表1 公司的三條生產(chǎn)線生產(chǎn)不同類別產(chǎn)品的生產(chǎn)周期及其每天工作時(shí)間

解 設(shè)兩類產(chǎn)品每天產(chǎn)量分別為x1,x2，每天利潤(rùn)為z，則x1,x2滿足

可行性域如圖2.

故當(dāng)x1=2,x2=6時(shí)，該公司的每天利潤(rùn)z=3x1+5x2達(dá)到最大.究其本質(zhì)，該問(wèn)題是利用線性規(guī)劃理論求條件極值的問(wèn)題，即在約束條件（*）下，如何才能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)z=3x1+5x2的最大值.由于約束條件中的函數(shù)及目標(biāo)函數(shù)形式簡(jiǎn)單，也可以采取代入法，轉(zhuǎn)換為無(wú)條件極值問(wèn)題，結(jié)論相同.

圖2 藍(lán)色區(qū)域表示目標(biāo)函數(shù)z=3x1+5x2在約束條件（*）下的可行性區(qū)域

4 總結(jié)

除上述幾個(gè)方面外，“高等數(shù)學(xué)”教學(xué)中應(yīng)該注意到的問(wèn)題還有很多，比如習(xí)題講解中“質(zhì)”與“量”的關(guān)系問(wèn)題，是追求大量講解習(xí)題以幫助學(xué)生積累解題經(jīng)驗(yàn)，還是少講精講而樹立解題典型？又比如數(shù)學(xué)形式的嚴(yán)格性與講授的通俗性的關(guān)系問(wèn)題，若講得通俗明白一點(diǎn)，學(xué)生容易接受，但可能犧牲數(shù)學(xué)科學(xué)的一部分嚴(yán)格性；若極力保持嚴(yán)格性，就不能太通俗，但學(xué)生很可能聽不大懂.二者明顯是不相容的，如何處理這個(gè)關(guān)系？有些問(wèn)題難于定論，有待進(jìn)一步的總結(jié)，繼續(xù)探索教學(xué)規(guī)律.“高等數(shù)學(xué)”的教學(xué)方法可以不同，思想可以有所差別，然而有一點(diǎn)是明確無(wú)誤的：我們的教學(xué)，務(wù)必想方設(shè)法地消除大多數(shù)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)課程的恐懼感，讓他們喜歡數(shù)學(xué)、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)甚至學(xué)會(huì)鑒賞數(shù)學(xué)，并盡可能利用數(shù)學(xué)的思想和方法來(lái)指導(dǎo)他們的學(xué)習(xí)和日后的工作.

［1］齊民友.從微積分的發(fā)展看微積分的教學(xué)［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2004，7（2）：2-6.

［2］鮑培文.例析數(shù)形結(jié)合思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用［J］.當(dāng)代教育理論與實(shí)踐，2012，4（10）：74-77.

［3］張蓮.高等數(shù)學(xué)教學(xué)中極限的幾種求法分析［J］.遼寧師專學(xué)院，2011，13（4）：15-15.

［4］楊麗賢，曹新成，關(guān)麗紅.談高等數(shù)學(xué)理論在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用［J］.長(zhǎng)春大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，16（6）：20-22.

［5］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)［M］.6版.北京：高等教育出版社，2007.

Notes in the Teaching of Higher Mathematics

TANG Feng-qin，DU Cui-zhen
（School of Mathematical Sciences，Huaibei Normal University，235000，Huaibei，Anhui，China）

In this paper，three problems in the teaching of Higher Mathematics are presented，includ?ing the methods and thoughts of limit，the unity of quantity and graphic and the applications of high?er mathematics in economic area.Our discussions are devoted to improving the classroom teaching and arousing the students’interest in the higher mathematics.

higher mathematics；limit；unity of quantity and graphic

O 13

C

2095-0691（2015）01-0082-05

2014-07-10

淮北師范大學(xué)教學(xué)研究項(xiàng)目（jy13231）

唐風(fēng)琴（1983- ），女，江蘇連云港人，講師，研究方向：概率論極限理論.