程 杰,張 蘭
( 重慶師范大學 數(shù)學學院,重慶401331)
混沌同步在物理、保密通信、生物系統(tǒng)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域中有著廣泛的應用前景.近年來,脈沖控制被廣泛應用于混沌系統(tǒng)的穩(wěn)定與同步[1-5],該種控制方法有以下優(yōu)點:控制器的設(shè)計較簡單,控制裝置所需成本低,控制時所需能量少等.然而,在有關(guān)脈沖同步的文獻中大多數(shù)是考慮脈沖完全同步和投影同步.2007 年,Li[6]把完全同步和投影同步推廣到修正投影同步.當修正投影同步中的同步比例因子α1,α2,a3,α4分別取α1=α2=α3=α4=1 和α1=α2=α3=α4時即為完全同步和投影同步.
自1979 年以來一系列的超混沌系統(tǒng)被提出來,如超混沌Chen 系統(tǒng)、超混沌Lü 系統(tǒng)、超混沌Lorenz 系統(tǒng)等.2009 年,劉明華、馮久超[7]提出了一個新的超混沌系統(tǒng):
其中x1,x2,x3,x4是狀態(tài)變量,當參數(shù)a=35,b=3,c=35,而d∈(4.6,29.2]和d∈(33.5,53.7]時,系統(tǒng)(1)有兩個正的Lyapunov 指數(shù),是超混沌系統(tǒng).
本文對超混沌系統(tǒng)(1)進行脈沖控制后得到脈沖微分系統(tǒng),然后運用脈沖比較系統(tǒng)方法,得到了脈沖修正投影同步的充分判據(jù).
一個脈沖微分系統(tǒng)如下描述[8]:
這里X∈Rn是狀態(tài)變量,f:R+×Rn→Rn連續(xù),Ui:Rn→Rn是狀態(tài)變量在時間瞬時τi的改變換言之和分別定義為τi前后的瞬時.{τi:i=1,2,…}滿足當i→∞時.
把方程(1)所刻畫的混沌系統(tǒng)的線性部分與非線性部分分開,重寫如下:
這里x=(x1,x2,x3,x4)T,且:
在脈沖同步構(gòu)造模型中,驅(qū)動系統(tǒng)由(3)式確定,由于在離散時刻τi(i=1,2,…),驅(qū)動系統(tǒng)的狀態(tài)變量被傳送到響應系統(tǒng),因此響應系統(tǒng)的狀態(tài)變量會經(jīng)歷一個瞬時的跳躍.所以受控的響應系統(tǒng)為:
{τi:i=1,2,…}滿足:
令φ(x,y)=φ(x)-αφ(y),則:
則脈沖投影同步的誤差系統(tǒng)為:
由于混沌系統(tǒng)的狀態(tài)變量是有界的,因此存在正數(shù)Mi(i=1,2,3,4)使得|xi(t)|≤Mi,|yi(t)|≤Mi對所有的t成立,從而有如下定理.
或者:
則誤差系統(tǒng)(8)的平凡解是漸近穩(wěn)定的,也蘊含著系統(tǒng)(3)與(5)的脈沖修正投影同步是漸近穩(wěn)定的.
證明 取Liapunov 函數(shù)V(t,e)=eTe,當t≠τi時,有:
當t=τi時,有:
由文獻[9]可知系統(tǒng)(8)的漸近穩(wěn)定性可由如下比較系統(tǒng)來判定:
其中,上述兩不等式成立的原因是因為定理中的不定式(9)和(10),因此由文獻[9]中的相應定理可知系統(tǒng)(8)的平凡解是漸近穩(wěn)定的.
注1 :若令:
則可得:
這表明當同步因子α=diag(α1,α2,α3,α4)滿足方程(12)時,不需要控制器U也能夠?qū)崿F(xiàn)脈沖修正投影同步,從而本文所給方法可以看做是脈沖完全同步的推廣(α4≠0).
注2:通過定理1,可估計出脈沖間隔Δ2的上界:
本文研究了一個新超混沌系統(tǒng)的脈沖控制與修正投影同步問題,在脈沖間隔變化的情況下得到了保證脈沖控制系統(tǒng)修正投影同步的充分判據(jù),也可得到脈沖區(qū)間Δ 的上界估計.
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