采樣間隔和插值對(duì)混沌系統(tǒng)可預(yù)報(bào)期限估計(jì)的影響

史 珍，丁瑞強(qiáng)，李建平，王彰貴

（1．北京大學(xué)物理學(xué)院，北京100871；2.國(guó)家海洋環(huán)境預(yù)報(bào)中心，國(guó)家海洋局海洋災(zāi)害預(yù)報(bào)技術(shù)研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100081；3.中國(guó)科學(xué)院大氣物理研究所大氣科學(xué)和流體力學(xué)數(shù)值模擬國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100029；4.北京師范大學(xué)全球變化與地球系統(tǒng)科學(xué)研究院，北京100875；5.全球變化聯(lián)合研究中心，北京100875）

采樣間隔和插值對(duì)混沌系統(tǒng)可預(yù)報(bào)期限估計(jì)的影響

史 珍1,2，丁瑞強(qiáng)3，李建平4,5，王彰貴2

（1．北京大學(xué)物理學(xué)院，北京100871；2.國(guó)家海洋環(huán)境預(yù)報(bào)中心，國(guó)家海洋局海洋災(zāi)害預(yù)報(bào)技術(shù)研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100081；3.中國(guó)科學(xué)院大氣物理研究所大氣科學(xué)和流體力學(xué)數(shù)值模擬國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100029；4.北京師范大學(xué)全球變化與地球系統(tǒng)科學(xué)研究院，北京100875；5.全球變化聯(lián)合研究中心，北京100875）

利用非線性局部Lyapunov指數(shù)的方法研究了采樣間隔和插值對(duì)混沌系統(tǒng)可預(yù)報(bào)性的影響，結(jié)果表明：在一定范圍內(nèi)，采樣間隔對(duì)系統(tǒng)可預(yù)報(bào)期限估計(jì)的影響基本是隨采樣間隔的增大而逐漸減小。但當(dāng)采樣間隔超過(guò)一定大小時(shí)，所得序列已不能找到真實(shí)的局地動(dòng)力相似，無(wú)法得到其真實(shí)的誤差增長(zhǎng)情況，也無(wú)法得到系統(tǒng)準(zhǔn)確的可預(yù)報(bào)期限的估計(jì)。本文通過(guò)插值的方法試圖還原同樣長(zhǎng)度的時(shí)間序列，結(jié)果表明不論是在采樣間隔較大還是較小的情況下，插值都不能有效地改善對(duì)系統(tǒng)可預(yù)報(bào)期限的估計(jì)。此外，在采樣間隔固定的情況下，隨著插值個(gè)數(shù)的增多，系統(tǒng)的可預(yù)報(bào)期限的估計(jì)反而更低。以上結(jié)果提示我們?cè)诶脤?shí)際海洋觀測(cè)資料估計(jì)其可預(yù)報(bào)期限時(shí)，選用較高分辨率較長(zhǎng)時(shí)間序列的資料可以得到更接近真實(shí)的可預(yù)報(bào)期限。

非線性局部Lyapunov指數(shù)；可預(yù)報(bào)性；混沌系統(tǒng)

1引言

混沌系統(tǒng)由于其固有的內(nèi)在隨機(jī)性，存在一個(gè)可預(yù)報(bào)上限[1-3]。海洋作為復(fù)雜的非線性動(dòng)力系統(tǒng)，具有混沌特性，定量地估計(jì)海洋的可預(yù)報(bào)性對(duì)海洋預(yù)報(bào)的產(chǎn)品及業(yè)務(wù)化預(yù)報(bào)結(jié)果具有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義[4-9]。如何定量的給出可預(yù)報(bào)期限，是可預(yù)報(bào)性研究的一個(gè)重要課題[10-12]。過(guò)去的許多研究是基于最大Lyapunov指數(shù)來(lái)刻畫(huà)混沌系統(tǒng)預(yù)報(bào)誤差的整體（長(zhǎng)期）平均增長(zhǎng)速率，其倒數(shù)被近似表示為最大可預(yù)報(bào)時(shí)間長(zhǎng)度[13-15]。然而，由于該指數(shù)假設(shè)初始擾動(dòng)無(wú)限小，誤差發(fā)展方程近似滿足切線性方程，屬于誤差的線性增長(zhǎng)理論的范疇，忽略了誤差非線性增長(zhǎng)階段對(duì)可預(yù)報(bào)性的貢獻(xiàn)，并不能描述有限尺度大小初始誤差的情形，因此存在著很大的缺陷和不足[16-18]。近年來(lái)，李建平[19]、丁瑞強(qiáng)等[20]和Ding等[18]引入了非線性局部Lyapunov指數(shù)(NLLE)的方法，克服了傳統(tǒng)Lyapunov指數(shù)的局限性，可以很好地表征有限尺度大小初始擾動(dòng)的非線性增長(zhǎng)，能夠定量地確定混沌系統(tǒng)的可預(yù)報(bào)期限。在混沌系統(tǒng)的控制方程已準(zhǔn)確獲知的情況下，可以直接數(shù)值積分混沌系統(tǒng)的控制方程及其誤差發(fā)展方程，來(lái)計(jì)算NLLE及其相關(guān)統(tǒng)計(jì)量，從而定量地確定可預(yù)報(bào)期限。在混沌系統(tǒng)的控制方程未知的情況下，可以對(duì)混沌系統(tǒng)某個(gè)變量的實(shí)驗(yàn)或者觀測(cè)數(shù)據(jù)通過(guò)尋找局部動(dòng)力相似點(diǎn)的方法來(lái)確定NLLE，從而定量地估計(jì)可預(yù)報(bào)期限[21-23]。

現(xiàn)實(shí)中，海洋的實(shí)際觀測(cè)資料由于受到觀測(cè)上，傳輸上，設(shè)備上，技術(shù)上等方面的原因，會(huì)不可避免地存在有噪聲的污染，或者在采樣的時(shí)間間隔上受到限制。這些因素會(huì)直接影響時(shí)空資料的質(zhì)量和數(shù)量，進(jìn)而影響到預(yù)報(bào)結(jié)果的準(zhǔn)確性[24-26]。弄清這些因素對(duì)時(shí)空序列可預(yù)報(bào)性的影響，將有助于我們提高并改善預(yù)測(cè)結(jié)果。史珍等[27]在2012年利

用NLLE方法研究了在初始誤差存在的情況下，隨機(jī)誤差即白噪聲對(duì)混沌系統(tǒng)可預(yù)報(bào)性的影響。結(jié)果表明：初始誤差和隨機(jī)誤差對(duì)可預(yù)報(bào)期限影響所起的作用大小主要取決于兩者的相對(duì)大小，此外濾波并不能有效地改善對(duì)系統(tǒng)可預(yù)報(bào)期限的估計(jì)，如何提高包含較大隨機(jī)誤差的實(shí)際觀測(cè)資料可預(yù)報(bào)期限的估計(jì)仍面臨很大困難。那么對(duì)于采用不同時(shí)間間隔的采樣條件下產(chǎn)生的時(shí)空序列，其可預(yù)報(bào)性的估計(jì)是否會(huì)受到不同采樣間隔的影響？若有，是否可以通過(guò)插值的方法將它們還原成原序列長(zhǎng)度減小甚至去除這種影響？同時(shí)，對(duì)于采樣間隔較長(zhǎng)的物理量所得到的資料長(zhǎng)度相對(duì)較短，對(duì)于這些較短長(zhǎng)度的資料，為了滿足一些計(jì)算上的要求，通?？梢酝ㄟ^(guò)插值的方法來(lái)得到一個(gè)較長(zhǎng)的時(shí)間序列，而這種由插值后得到的較長(zhǎng)序列其可預(yù)報(bào)期限的估計(jì)相對(duì)于真實(shí)序列的可預(yù)報(bào)性又會(huì)有怎樣的變化？不同的插值間隔是否會(huì)對(duì)序列可預(yù)報(bào)性的估計(jì)造成影響，是否存在一個(gè)合適的插值間隔使得在該插值間隔下得到序列的可預(yù)報(bào)性最接近真實(shí)的可預(yù)報(bào)性？本文將利用NLLE方法來(lái)討論以上問(wèn)題，所得結(jié)果將對(duì)認(rèn)識(shí)采樣頻率和插值對(duì)海洋可預(yù)報(bào)性的影響有一定的啟示意義。

2試驗(yàn)設(shè)計(jì)

本文選用Lorenz系統(tǒng)方程[1]來(lái)研究采樣與插值的問(wèn)題，

式中：a為Prandtl數(shù)，r為Rayleigh數(shù)，b表示所研究對(duì)流區(qū)域的外形比參數(shù)。這里我們選取參數(shù)值a=10，r=28，b=8/3。

假設(shè)我們已經(jīng)獲得某個(gè)混沌系統(tǒng)第i個(gè)單變量的N長(zhǎng)度的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，，其原始采樣間隔即為其步長(zhǎng)，記為Δt=1。對(duì)于該試驗(yàn)數(shù)據(jù)，采用不同的時(shí)間間隔nΔt，可以得到長(zhǎng)度為的新序列（這里用[]表示向上取整），記為對(duì)于該新序列，通過(guò)插值的方法將其插值成時(shí)間間隔為n′Δt的序列，此時(shí)序列長(zhǎng)度插值后序列為yi(N′)=yi1,yi2,yi3,...,yiN′，需要討論以下3個(gè)問(wèn)題：

（1）采樣間隔問(wèn)題。對(duì)于不同的采樣間隔，可以得到不同長(zhǎng)度的時(shí)間序列，利用非線性局部Lyapunov指數(shù)來(lái)估計(jì)它們的可預(yù)報(bào)性，并與原始序列的可預(yù)報(bào)性做對(duì)比，探討不同采樣間隔下得到的序列其可預(yù)報(bào)性是否會(huì)受到影響；

（2）插值問(wèn)題。對(duì)于問(wèn)題（1）中的不同采樣間隔的時(shí)間序列，通過(guò)插值的方法得到與原始序列同樣長(zhǎng)度的時(shí)間序列，探討在此情況下序列的可預(yù)報(bào)期限會(huì)有怎樣的變化，是否能夠得到真實(shí)的可預(yù)報(bào)期限；

（3）插值間隔問(wèn)題。對(duì)于通過(guò)采樣得到的時(shí)間序列，采用不同的插值間隔得到不同長(zhǎng)度的序列，其可預(yù)報(bào)性是否會(huì)受到影響？在多大的插值間隔下得到的時(shí)間序列的可預(yù)報(bào)性最能接近真實(shí)序列的可預(yù)報(bào)性？

3結(jié)果分析

以下給出對(duì)于以上3個(gè)問(wèn)題研究得到的結(jié)果。

3.1 不同采樣間隔對(duì)系統(tǒng)可預(yù)報(bào)期限估計(jì)的影響

對(duì)于Lorenz系統(tǒng)，我們以x單變量為例，固定時(shí)間步長(zhǎng)h=0.01，取序列長(zhǎng)度N=1000000，對(duì)該時(shí)間序列進(jìn)行不同間隔的采樣后得到新序列的平均誤差增長(zhǎng)曲線如圖1所示?？梢钥吹?，所有的誤差增長(zhǎng)曲線的飽和值相同，在采樣間隔較小時(shí)，所得序列的誤差平均增長(zhǎng)曲線的初始值也較小，比較接近原始序列的誤差平均增長(zhǎng)曲線的初始值。隨著時(shí)間的發(fā)展，所得序列的平均誤差增長(zhǎng)曲線最終緩慢達(dá)到飽和。這說(shuō)明此時(shí)找到的相似點(diǎn)之間初始誤差較小，基本能滿足局地動(dòng)力相似的要求，此時(shí)的誤差增長(zhǎng)曲線能代表其真實(shí)的誤差發(fā)展情況。隨著采樣間隔的增大，所得序列的平均誤差增長(zhǎng)曲線的初始值也越來(lái)越大，且隨著時(shí)間的發(fā)展更加迅速地到達(dá)誤差增長(zhǎng)的飽和值。這說(shuō)明此時(shí)尋找到的相似點(diǎn)之間初始誤差較大，相對(duì)于原始序列的真實(shí)局地動(dòng)力相似點(diǎn)，此時(shí)找到的相似點(diǎn)已很難滿足

局地動(dòng)力相似的要求，因此得到的誤差發(fā)展曲線已不具有能真實(shí)地表征序列平均誤差增長(zhǎng)的情況的能力，已經(jīng)失去了物理意義。因此在較大的采樣間隔的情況下，無(wú)法找到真實(shí)的局地動(dòng)力相似，不能得到序列真實(shí)的平均誤差增長(zhǎng)曲線，進(jìn)而也無(wú)法對(duì)其可預(yù)報(bào)期限得到準(zhǔn)確估計(jì)。結(jié)合以上的討論，這里我們根據(jù)誤差發(fā)展的情況認(rèn)為可以采用的最大采樣間隔為100Δt，即當(dāng)采樣間隔大于該值時(shí)，序列無(wú)法得到準(zhǔn)確的誤差平均增長(zhǎng)曲線。

圖1 Lorenz系統(tǒng)x單變量的誤差增長(zhǎng)曲線

對(duì)于采樣間隔小于100Δt的序列，計(jì)算了它們的可預(yù)報(bào)時(shí)間，如圖2。必須指出的是，不同的采樣間隔下得到的誤差增長(zhǎng)到達(dá)誤差飽和值的時(shí)間需要乘以相應(yīng)的時(shí)間步長(zhǎng)才是正確的可預(yù)報(bào)時(shí)間，這里時(shí)間步長(zhǎng)即為采樣間隔?？梢钥吹?，插值后所得序列的可預(yù)報(bào)期限均小于原始序列的可預(yù)報(bào)期限，且基本上隨著采樣間隔的增大，所得序列的可預(yù)報(bào)時(shí)間逐漸降低。相對(duì)于原始序列接近12的可預(yù)報(bào)時(shí)間，采樣間隔在最大為100Δt時(shí)得到的可預(yù)報(bào)時(shí)間約為8，與原始序列的可預(yù)報(bào)時(shí)間相比，降低了約三分之一。這說(shuō)明對(duì)于不同的采樣間隔，所得序列的可預(yù)報(bào)期限的估計(jì)會(huì)受到影響，基本上隨著采樣間隔的增大，所得序列的可預(yù)報(bào)期限的估計(jì)受到的影響更大，可預(yù)報(bào)時(shí)間逐漸降低。

3.2 插值對(duì)系統(tǒng)可預(yù)報(bào)期限估計(jì)的影響

在上一節(jié)中討論了對(duì)于不同的采樣間隔，所得序列的可預(yù)報(bào)期限會(huì)受到怎樣的影響，結(jié)果表明對(duì)于采樣間隔過(guò)大的情況，序列無(wú)法找到真實(shí)的局地動(dòng)力相似，進(jìn)而也無(wú)法得到準(zhǔn)確的誤差發(fā)展曲線，對(duì)其可預(yù)報(bào)期限的估計(jì)則更無(wú)從談起。而對(duì)于采樣間隔相對(duì)較小，所得序列的局地動(dòng)力相似基本能反映其真實(shí)物理意義的情況時(shí)，發(fā)現(xiàn)其可預(yù)報(bào)時(shí)間隨著采樣間隔的增大逐漸減小。那么，對(duì)于以上這些情況，是否能夠通過(guò)插值成與原始序列同樣長(zhǎng)度的序列，來(lái)消除采樣帶來(lái)的對(duì)其可預(yù)報(bào)性的影響？這里我們使用三次樣條插值來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題。

圖2 Lorenz系統(tǒng)x單變量原始序列的可預(yù)報(bào)時(shí)間（虛線）以及不同采樣間隔下序列的可預(yù)報(bào)時(shí)間（實(shí)線）

使用三次樣條插值方法對(duì)不同采樣間隔nΔt的序列插值成與原始序列相等長(zhǎng)度N=1000000的序列，用非線性局部Lyapunov指數(shù)方法計(jì)算其誤差平均增長(zhǎng)情況，如圖3所示?？梢钥吹?，隨著插值后序列其原本的采樣間隔的逐漸增大，平均誤差增長(zhǎng)曲線先是逐漸以更快的速度發(fā)展并達(dá)到飽和，然而當(dāng)采樣間隔繼續(xù)增大后，平均誤差增長(zhǎng)曲線卻逐漸降低了增長(zhǎng)速度，開(kāi)始緩慢地達(dá)到飽和，甚至在采樣間隔為1000Δt時(shí)，平均誤差增長(zhǎng)曲線的速度比原始序列的還要慢，并更慢地達(dá)到了飽和值。從對(duì)應(yīng)的

可預(yù)報(bào)期限的圖上可以看到（見(jiàn)圖4），隨著采樣間隔的開(kāi)始增大，插值后序列的可預(yù)報(bào)時(shí)間迅速減小，當(dāng)采樣間隔為40Δt時(shí)，此時(shí)插值后序列的可預(yù)報(bào)時(shí)間減小到4左右，當(dāng)采樣間隔進(jìn)一步增大到50Δt至100Δt時(shí)，此時(shí)可預(yù)報(bào)期限維持在較低的值4附近，沒(méi)有發(fā)生大的波動(dòng)。隨著采樣間隔的進(jìn)一步增大，插值后序列的可預(yù)報(bào)時(shí)間迅速增大，到采樣間隔為1000Δt時(shí)，甚至達(dá)到了比原始序列更高的可預(yù)報(bào)期限。相對(duì)于采用不同采樣間隔得到的序列計(jì)算得到的可預(yù)報(bào)時(shí)間，插值成原始序列長(zhǎng)度的做法得到的可預(yù)報(bào)時(shí)間在采樣間隔較小時(shí)，不能改善不同采樣間隔帶來(lái)的可預(yù)報(bào)期限降低的影響，反而得到了更低的可預(yù)報(bào)期限的估計(jì)。而對(duì)于采樣間隔較大的情況，原先的誤差平均增長(zhǎng)曲線的初始值較大，可預(yù)報(bào)期限由于不滿足真實(shí)的局地動(dòng)力相似無(wú)法得到，而插值后得到序列的誤差平均增長(zhǎng)曲線的初始值與原始序列的非常接近，可預(yù)報(bào)期限反而隨著原先采樣間隔的增大而增大，并能得到超過(guò)原始可預(yù)報(bào)期限的估計(jì)。

圖3 對(duì)不同采樣間隔的序列插值成與原始序列相同長(zhǎng)度后計(jì)算的誤差平均增長(zhǎng)曲線圖

圖4 原始序列的可預(yù)報(bào)時(shí)間（虛線），不同采樣間隔下序列的可預(yù)報(bào)時(shí)間（藍(lán)線），對(duì)不同采樣間隔插值后序列的可預(yù)報(bào)時(shí)間（紅線）

那么，對(duì)于以上情況，是否說(shuō)明在采樣間隔較大的情況下，插值可以改善采樣間隔造成的對(duì)序列可預(yù)報(bào)期限估計(jì)的影響呢？我們給出對(duì)于以上不同采樣間隔下，插值成原序列長(zhǎng)度的時(shí)間序列圖，如圖5?？梢钥吹剑瑢?duì)于采樣間隔很小，在10Δt到20Δt時(shí)，插值后序列的基本動(dòng)力特征與原始序列的非常接近，插值所引入的時(shí)間序列上的其余的點(diǎn)能夠基本保持原始序列的動(dòng)力特征。同時(shí)由于此時(shí)較小的采樣間隔，對(duì)于沒(méi)有落在真實(shí)序列值上的插值點(diǎn)，它們相對(duì)于真實(shí)采樣點(diǎn)來(lái)說(shuō)是較小的一部分，也即信噪比較高，因此此時(shí)插值后序列得到的平均誤差增長(zhǎng)曲線以及可預(yù)報(bào)期限都與原始序列的較為接近。當(dāng)采樣間隔繼續(xù)增大，在40Δt到100Δt時(shí)，此時(shí)插值后序列與原始序列相比只能抓住原始序列的部分動(dòng)力特征，同時(shí)由于采樣間隔的增大，信噪比也逐漸降低，因此此時(shí)插值后序列得到的平均誤差增長(zhǎng)曲線更加偏離原始序列的誤差增長(zhǎng)曲線，且更快速地達(dá)到飽和值，因此得到的可預(yù)報(bào)期限較低。隨著采樣間隔的進(jìn)一步增大，在250Δt到1000Δt時(shí)，此時(shí)插值后序列與原始序列相比僅能表現(xiàn)原始序列的大體趨勢(shì)，完全無(wú)法體現(xiàn)原始序列的基本動(dòng)力特征，從時(shí)間序列上來(lái)看近似于做了低通濾波的效果，同時(shí)信噪比進(jìn)一步降低。因此在這種情況下，插值后得到的序列并不能體現(xiàn)原

始動(dòng)力系統(tǒng)的動(dòng)力特征，其性質(zhì)已發(fā)生改變，此時(shí)得到誤差平均增長(zhǎng)曲線的初始誤差值明顯接近于原始序列的誤差增長(zhǎng)曲線的初始誤差值，誤差平均增長(zhǎng)曲線也越來(lái)越靠近原始序列的，因此得到了越來(lái)越高的可預(yù)報(bào)期限的估計(jì)。

由以上分析可以發(fā)現(xiàn)，將不同采樣間隔的時(shí)間序列插值成與原始序列同樣長(zhǎng)度的時(shí)間序列，在采樣間隔較小的情況下，如小于100Δt時(shí)，并不能改善由于采樣帶來(lái)的可預(yù)報(bào)期限降低的影響，反而會(huì)更加降低對(duì)序列可預(yù)報(bào)期限的估計(jì)。而在采樣間隔較大時(shí)，如大于250Δt時(shí)，還會(huì)由于插值導(dǎo)致序列的動(dòng)力特征發(fā)生變化，使得插值序列與原始序列的值相差更大，得到虛假的誤差增長(zhǎng)曲線和可預(yù)報(bào)時(shí)間。

圖5 Lorenz系統(tǒng)x單變量在不同采樣間隔下插值后的時(shí)間序列圖

3.3 不同插值間隔對(duì)系統(tǒng)可預(yù)報(bào)期限估計(jì)的影響

上一節(jié)的分析表明，將不同采樣間隔的時(shí)間序列插值成與原始序列同樣長(zhǎng)度的時(shí)間序列并不能改善對(duì)其可預(yù)報(bào)期限的估計(jì)，甚至?xí)斐商摷俳Y(jié)果。那么，當(dāng)采樣間隔相對(duì)較小時(shí)，使用不同的插值間隔，是否能改善對(duì)系統(tǒng)可預(yù)報(bào)期限的估計(jì)呢？根據(jù)以上的分析，這里我們選用采樣間隔為100Δt的序列作為試驗(yàn)數(shù)據(jù)，探討它在不同插值間隔下，可預(yù)報(bào)性會(huì)有怎樣的變化。

將對(duì)原序列通過(guò)采樣間隔為100Δt提取出來(lái)的新序列，應(yīng)用三次樣條函數(shù)，等距地插值成不同長(zhǎng)度的序列。具體做法是通過(guò)三次樣條函數(shù)將原序列相鄰兩點(diǎn)之間插值生成不同個(gè)數(shù)的點(diǎn)，如插值生成1個(gè)點(diǎn)，2個(gè)點(diǎn)，3個(gè)點(diǎn)，4個(gè)點(diǎn)，5個(gè)點(diǎn)，9個(gè)點(diǎn)，19個(gè)點(diǎn)，39個(gè)點(diǎn)，49個(gè)點(diǎn)，99個(gè)點(diǎn)。其中當(dāng)給定序列的相鄰兩點(diǎn)之間插入生成點(diǎn)的個(gè)數(shù)為99個(gè)時(shí)，即為上節(jié)中所討論的插值成原序列長(zhǎng)度的情況。圖6給出了以上這些情況下序列的平均誤差發(fā)展曲線，可以看到，隨著插值點(diǎn)數(shù)的增多，誤差平均增長(zhǎng)曲線的

初始值越來(lái)越靠近原始序列的誤差平均增長(zhǎng)曲線的初始值。這表明尋找到的局地動(dòng)力相似點(diǎn)之間的初始誤差隨著插值點(diǎn)數(shù)的增多而逐漸增大。計(jì)算這些情況下的可預(yù)報(bào)時(shí)間，如圖7所示。可以看到，在對(duì)采樣序列相鄰兩點(diǎn)之間只插值生成1個(gè)點(diǎn)時(shí)，序列的可預(yù)報(bào)期限約為6，與原始序列的接近12的可預(yù)報(bào)期限相比，小了一半。與直接采樣得到的序列其可預(yù)報(bào)期限為8相比，也減小了2。隨著插值點(diǎn)數(shù)的增多，序列的可預(yù)報(bào)期限繼續(xù)降低，當(dāng)插值點(diǎn)數(shù)大于3個(gè)點(diǎn)后，基本上系統(tǒng)的可預(yù)報(bào)期限穩(wěn)定在4附近，可預(yù)報(bào)期限不再隨插值點(diǎn)數(shù)的增多而發(fā)生明顯變化。這說(shuō)明采用不同的插值個(gè)數(shù)并不能改善并提高對(duì)系統(tǒng)可預(yù)報(bào)期限的估計(jì)，隨著插值個(gè)數(shù)的增多，系統(tǒng)的可預(yù)報(bào)期限的估計(jì)反而更低。這可能是由于插值過(guò)多的點(diǎn)數(shù)引入了較多的虛假信息，干擾了系統(tǒng)真實(shí)的動(dòng)力特征，因此也影響了尋找到真實(shí)的局地動(dòng)力相似，降低了對(duì)系統(tǒng)可預(yù)報(bào)期限的估計(jì)。

圖6 Lorenz系統(tǒng)x單變量采樣間隔在100Δt時(shí)所得序列在插值不同點(diǎn)數(shù)后的誤差平均增長(zhǎng)曲線圖

圖7 Lorenz系統(tǒng)x單變量原始序列的可預(yù)報(bào)時(shí)間（虛線），采樣間隔100Δt時(shí)序列的可預(yù)報(bào)時(shí)間（點(diǎn)劃線），相鄰兩點(diǎn)間插值不同的點(diǎn)數(shù)的序列的可預(yù)報(bào)時(shí)間（實(shí)點(diǎn)線）

4總結(jié)

本章利用NLLE方法來(lái)研究了采樣和插值對(duì)混沌系統(tǒng)可預(yù)報(bào)性的影響的問(wèn)題，主要結(jié)論如下：

（1）對(duì)于不同的采樣間隔下得到的時(shí)間序列，其可預(yù)報(bào)性會(huì)受到不同采樣間隔的影響。當(dāng)采樣間隔相對(duì)較小時(shí)，所得序列的局地動(dòng)力相似基本能反映其真實(shí)物理意義，其可預(yù)報(bào)時(shí)間隨著采樣間隔的增大逐漸減小。當(dāng)采樣間隔較大時(shí)，所得序列已不能找到真實(shí)的局地動(dòng)力相似，無(wú)法得到其真實(shí)的誤差增長(zhǎng)情況，也無(wú)法得到可預(yù)報(bào)期限的估計(jì)；

（2）將不同采樣間隔的時(shí)間序列插值成與原始序列同樣長(zhǎng)度的時(shí)間序列，在采樣間隔較小的情況下，并不能改善由于采樣帶來(lái)的可預(yù)報(bào)期限降低的影響，反而會(huì)更加降低對(duì)序列可預(yù)報(bào)期限的估計(jì)。而在采樣間隔較大時(shí)，還會(huì)由于插值導(dǎo)致序列的動(dòng)力特征發(fā)生變化，使得插值序列與原始序列的值相差更大，得到虛假的誤差增長(zhǎng)曲線和可預(yù)報(bào)時(shí)間；

（3）采用不同的插值個(gè)數(shù)并不能改善并提高對(duì)系統(tǒng)可預(yù)報(bào)期限的估計(jì)，隨著插值個(gè)數(shù)的增多，系統(tǒng)的可預(yù)報(bào)期限的估計(jì)反而更低。這可能是由于插值過(guò)多的點(diǎn)數(shù)引入了較多的虛假信息，干擾了系統(tǒng)真實(shí)的動(dòng)力特征，因此也影響了尋找到真實(shí)的局地動(dòng)力相似，降低了對(duì)系統(tǒng)可預(yù)報(bào)期限的估計(jì)。

在實(shí)際情況中，隨著現(xiàn)代海洋觀測(cè)技術(shù)的不斷

提升，一部分海洋觀測(cè)資料的時(shí)間分辨率較高，可以利用的資料長(zhǎng)度較長(zhǎng)，當(dāng)我們直接對(duì)其應(yīng)用NLLE方法來(lái)研究其可預(yù)報(bào)性時(shí)，就能得到較為接近真實(shí)的可預(yù)報(bào)期限的估計(jì)。而當(dāng)使用一些觀測(cè)間隔較長(zhǎng)、資料長(zhǎng)度較短的物理量資料來(lái)估計(jì)其可預(yù)報(bào)期限時(shí)，可能其無(wú)法滿足局地動(dòng)力相似的特征，當(dāng)對(duì)其采用插值的方法增加數(shù)據(jù)長(zhǎng)度時(shí)，所得可預(yù)報(bào)期限的估計(jì)可能就會(huì)不夠準(zhǔn)確。這提示我們?cè)诶脤?shí)際海洋觀測(cè)資料估計(jì)其可預(yù)報(bào)期限時(shí)，選用較高分辨率較長(zhǎng)時(shí)間序列的資料可以得到更接近真實(shí)的可預(yù)報(bào)期限。

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Im pactsof sam p ling intervaland interpolation on theestim atimation of the predictability of chaotic system s

SHIZhen1,2,DINGRui-qiang3,LIJian-ping4,5,WANG Zhang-gui2
(1.Schoo lofPhysics,PeKing University,Beijing 100871 China;2.Key Laboratory ofResearch on Marine Hazards Forecasting,NationalMarine Environmental Forecasting Center,Beijing 100081China;3.State Key Laboratory ofNumericalModeling forAtmospheric Sciencesand Geophysical Fluid Dynamics,Institute ofAtmospheric Physics,Chinese Academy ofSciences,Beijing 100029China;4.College ofGlobalChange and Earth System Sciences,Beijing Normal University,Beijing 100875 China;5.JointCenter for Global Change Studies,Beijing 100875China)

Based on the nonlinear local Lyapunov exponent(NLLE)approach,the influencesof sampling interval and interpolation on the predictability of the Lorenz system are studied.The results show that the impacts of the sampling interval on the predictability of the chaotic system can be reduced gradually w ith the increase of the sampling interval in certain extent.But when the sampling interval exceeds a certain value,the real local dynam ical sim ilarity cannot be found in the resultant sequence.Thus the real error grow th and the accurate estimate of the predictability lim it of the chaotic system cannot be obtained.The present study also attempts to reconstruct the time series by using the interpolation method.However,the findings indicate that interpolation cannoteffectively improve the estimate of the predictability lim itof chaotic systemswhether in larger or smaller sampling interval.In addition,w ith the increase of the number of interpolation,the estimate of the predictability lim itof chaotic systems can be lower.These resultssuggest thatdataw ith higher resolution and longer time series can be obtainedmore close to the realpredictability lim it.

nonlinear local Lyapunov exponent;predictability;chaotic systems

P732.4

A

1003-0239（2015）06-0066-08

2015-10-02

國(guó)家自然科學(xué)青年基金（41306008）；國(guó)家自然科學(xué)面上基金（41376016）

史珍（1984-），女，助理研究員，博士，大氣和海洋可預(yù)報(bào)性研究。E-mail：shiz@nmefc.gov.cn

10.11737/j.issn.1003-0239.2015.06.009