基于時(shí)間序列的時(shí)柵轉(zhuǎn)臺(tái)誤差修正研究

彭東林，練俊君，陳錫候，高忠華

(1.重慶理工大學(xué)機(jī)械檢測(cè)技術(shù)與裝備教育部工程中心，重慶 400054;2.時(shí)柵傳感器及先進(jìn)檢測(cè)技術(shù)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400054)

時(shí)柵傳感器是基于“時(shí)間測(cè)量空間”思想設(shè)計(jì)的，具有高精度、高穩(wěn)定性的位移傳感器［1－3］，將其作為轉(zhuǎn)臺(tái)的測(cè)量元件，可構(gòu)成穩(wěn)定性較高的時(shí)柵轉(zhuǎn)臺(tái)。時(shí)柵轉(zhuǎn)臺(tái)因具有穩(wěn)定性高、成本低等優(yōu)勢(shì)而得到廣泛運(yùn)用，擁有良好的市場(chǎng)前景。但是，由于安裝結(jié)構(gòu)、使用環(huán)境等因素，轉(zhuǎn)臺(tái)的定位精度相比時(shí)柵傳感器而言有較大的降低，在很大程度上未能發(fā)揮時(shí)柵傳感器精度高的特點(diǎn)。針對(duì)這一問(wèn)題，目前時(shí)柵轉(zhuǎn)臺(tái)采用FFT技術(shù)進(jìn)行誤差修正，通過(guò)大量的標(biāo)定實(shí)驗(yàn)，運(yùn)用傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)誤差的基次諧波進(jìn)行修正［4－5］。FFT修正取得了不錯(cuò)的結(jié)果，目前最好的效果能使精度提高到±6角秒，但仍然存在以下問(wèn)題:從測(cè)量數(shù)據(jù)的組成結(jié)構(gòu)來(lái)看，測(cè)量數(shù)據(jù)包含了標(biāo)準(zhǔn)量、綜合系統(tǒng)誤差和綜合隨機(jī)誤差。以往的修正方法很少考慮隨機(jī)誤差的因素，將分離的誤差基本視為系統(tǒng)誤差，然后進(jìn)行建模修正。從精益求精的角度看，對(duì)隨機(jī)誤差的修正是時(shí)柵轉(zhuǎn)臺(tái)精度提高的重要研究?jī)?nèi)容，隨機(jī)誤差也是FFT修正后殘差中的主要組成部分［6］。

本文為進(jìn)一步提高轉(zhuǎn)臺(tái)的定位精度，改進(jìn)現(xiàn)有的修正方案，考慮隨機(jī)誤差的修正并結(jié)合時(shí)柵傳感器的原理，采用時(shí)間序列模型對(duì)具有相關(guān)性的隨機(jī)誤差進(jìn)行建模修正。時(shí)間序列模型是利用“未來(lái)是過(guò)去規(guī)律的延續(xù)”這一思想，通過(guò)大量過(guò)去的數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，然后通過(guò)有效的模型預(yù)測(cè)下一時(shí)刻的隨機(jī)誤差，以達(dá)到減小轉(zhuǎn)臺(tái)定位的隨機(jī)誤差，從而進(jìn)一步提高時(shí)柵轉(zhuǎn)臺(tái)精度的目的［7－9］。

1 時(shí)柵分度轉(zhuǎn)臺(tái)的時(shí)間序列誤差修正原理

時(shí)柵轉(zhuǎn)臺(tái)是可重復(fù)測(cè)量的穩(wěn)定系統(tǒng)。從誤差溯源的角度看，其誤差主要是由傳感器的非線性誤差、軸系的回轉(zhuǎn)誤差、齒輪的偏心誤差和溫度等因素引起。從所得測(cè)量數(shù)據(jù)的組成上看，數(shù)據(jù)包括了標(biāo)準(zhǔn)值、綜合系統(tǒng)誤差和綜合隨機(jī)誤差［10－11］。采用綜合誤差修正的思想，從測(cè)量數(shù)據(jù)中通過(guò)分離技術(shù)得到綜合的誤差數(shù)據(jù)，然后采用取平均、中心化等數(shù)據(jù)處理方法可分別得到系統(tǒng)誤差數(shù)據(jù)和隨機(jī)誤差數(shù)據(jù)。將系統(tǒng)誤差數(shù)據(jù)和隨機(jī)誤差數(shù)據(jù)分別進(jìn)行建模，并通過(guò)模型疊加方式進(jìn)行修正，從而達(dá)到提高轉(zhuǎn)臺(tái)定位精度的目的［12－13］。在誤差修正過(guò)程中，誤差模型建立是關(guān)鍵，模型是否合適是影響修正結(jié)果好壞的重要因素。本文將時(shí)柵傳感器的原理與時(shí)間序列模型相結(jié)合，采用時(shí)間序列模型建立誤差模型。

時(shí)柵傳感器基于“時(shí)間測(cè)量空間的思想”，利用TST原理建立相對(duì)運(yùn)動(dòng)雙坐標(biāo)系，將一個(gè)坐標(biāo)系上的位置關(guān)系表現(xiàn)為在另一個(gè)坐標(biāo)系上的時(shí)間差關(guān)系［14］，然后通過(guò)測(cè)量時(shí)間的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)空間的測(cè)量。

如圖1所示，三相電流產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)V可作為勻速坐標(biāo)系。圖1中:Pa和Pb分別為動(dòng)測(cè)頭和定測(cè)頭，傳感器所測(cè)量的角度為Pa與Pb之間的夾角。根據(jù)電磁感應(yīng)原理，旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)相繼掠過(guò)動(dòng)、定測(cè)頭就會(huì)有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)產(chǎn)生，對(duì)感應(yīng)信號(hào)進(jìn)行處理就可以得到如圖2所示的信號(hào)圖。在圖2中:Pa為定測(cè)頭感應(yīng)出的信號(hào)，Pb為定測(cè)頭的感應(yīng)信號(hào)。當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)旋轉(zhuǎn)時(shí)，Pa會(huì)平移，這時(shí)定測(cè)頭和動(dòng)測(cè)頭之間的夾角就表現(xiàn)為信號(hào)中的相位差θi。通過(guò)插入高頻脈沖pt后計(jì)脈沖數(shù)的方式可以計(jì)算出夾角。推導(dǎo)公式如下:

式(1)中:V為旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)的轉(zhuǎn)速，V=60f/k，f為電源頻率，k為電機(jī)對(duì)數(shù);Pt為單位脈沖頻率。

由式(1)可知:時(shí)柵傳感器實(shí)現(xiàn)了通過(guò)測(cè)量時(shí)間來(lái)測(cè)量空間的目的。傳感器對(duì)于時(shí)間的測(cè)量主要是通過(guò)插入高頻脈沖進(jìn)行計(jì)數(shù)的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)。因?yàn)闀r(shí)柵傳感器會(huì)以某一頻率不斷地給出轉(zhuǎn)臺(tái)當(dāng)前的位置信息，由此可以得到具有相關(guān)位置信息的時(shí)間序列 {θ(t)，t=0，±1，±2，… }。

圖1 時(shí)柵傳感器原理

在誤差分離時(shí)運(yùn)用了插入標(biāo)準(zhǔn)量法進(jìn)行誤差的分離［15］。在時(shí)柵給出當(dāng)前位置信息量的同時(shí)插入該位置的標(biāo)準(zhǔn)量，然后通過(guò)將標(biāo)準(zhǔn)量與時(shí)柵傳感器的測(cè)量值進(jìn)行比較可得到轉(zhuǎn)臺(tái)的綜合誤差。分離得到的綜合誤差含有系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差，其中系統(tǒng)誤差很大程度上決定了誤差數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)。

圖2 時(shí)柵傳感器動(dòng)、定測(cè)頭信號(hào)

將分離后的綜合誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行取平均、中心化等處理，然后運(yùn)用傅里葉級(jí)數(shù)進(jìn)行擬合，將擬合出來(lái)的基波和低次諧波作為系統(tǒng)誤差，并把綜合誤差與系統(tǒng)誤差進(jìn)行比較就可以分離出隨機(jī)誤差。隨機(jī)誤差分離過(guò)程如圖3所示。圖3中:Θ為時(shí)柵傳感器給出的位置信息量;Θ0為標(biāo)準(zhǔn)量;er為分離出來(lái)的隨機(jī)誤差。

圖3 隨機(jī)誤差提取

時(shí)間序列的誤差修正是利用過(guò)去值與現(xiàn)在值有相關(guān)性的特點(diǎn)，通過(guò)過(guò)去時(shí)刻的隨機(jī)誤差序列ert，ert－1，ert－2，…來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)時(shí)刻的隨機(jī)誤差 ert+1。因?yàn)檎`差序列為離散的序列點(diǎn)，如果要得到兩個(gè)時(shí)刻之間的誤差數(shù)據(jù)，可以通過(guò)曲線擬合的方式擬合出隨機(jī)誤差的連續(xù)函數(shù)。如圖4中，實(shí)心點(diǎn)為y1，y2，y3時(shí)刻插入的標(biāo)準(zhǔn)值，與實(shí)心點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的空心點(diǎn)為該時(shí)刻的預(yù)測(cè)值。預(yù)測(cè)值通過(guò)對(duì)前期大量數(shù)據(jù)進(jìn)行建模得到。如果需要得到兩個(gè)時(shí)刻之間的時(shí)刻yk所對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)值，可以將采樣點(diǎn)的數(shù)值作為插入值進(jìn)行擬合，通過(guò)擬合的模型求出yk時(shí)刻的預(yù)測(cè)值［16］。

結(jié)合隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差疊加修正的思想可以得到整個(gè)時(shí)柵分度轉(zhuǎn)臺(tái)的修正模型:

其中:Y0(t)為修正后的數(shù)據(jù);Y(t)為時(shí)柵傳感器測(cè)量數(shù)據(jù);ΔsY(t)為系統(tǒng)誤差，可由傅里葉擬合得到有限次的傅里葉級(jí)數(shù)形式:

ΔrY(t)為隨機(jī)誤差，可由時(shí)間序列模型擬合。

圖4 隨機(jī)誤差預(yù)測(cè)

2 AR(p)時(shí)序模型的建立

誤差修正的關(guān)鍵在于誤差模型的建立，本文采用隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差分別修正的思想，將分離后的誤差分別建立系統(tǒng)誤差模型和隨機(jī)誤差模型，然后通過(guò)模型疊加的方式進(jìn)行修正。對(duì)系統(tǒng)誤差采用傅里葉級(jí)數(shù)擬合的方式修正，隨機(jī)誤差采用時(shí)間序列模型進(jìn)行擬合。時(shí)間序列模型可以很好地?cái)M合出具有相關(guān)性的隨機(jī)誤差。本文針對(duì)時(shí)柵轉(zhuǎn)臺(tái)誤差的特點(diǎn)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)分析，采用AR(p)模型進(jìn)行擬合，通過(guò)擬合的AR(p)模型來(lái)預(yù)測(cè)下一時(shí)刻的隨機(jī)誤差，達(dá)到誤差修正的目的。

對(duì)于隨機(jī)序列 {X( t)，t=0，±1，±2，… }，有數(shù)學(xué)模型:

模型中 φp≠0，保證最高階數(shù)為 p，其中:{εt}是均值為零的白噪聲 WN(0，σ2);{φ1，φ2，…，φp}是模型的參數(shù)。從模型可以看出，當(dāng)前時(shí)刻的值與過(guò)去p個(gè)時(shí)刻的值和當(dāng)前時(shí)刻的隨機(jī)干擾有關(guān)，因此可以通過(guò)模型的遞推公式預(yù)測(cè)未來(lái)的值。

模型中的參數(shù)估計(jì)是整個(gè)模型建立的關(guān)鍵［17］。下面對(duì)模型中的參數(shù)估計(jì)進(jìn)行介紹。將所有的時(shí)間序列零均值處理后，通過(guò)式(4)計(jì)算出樣本子相關(guān)系數(shù)。

系數(shù) ρ1，ρ2，…，ρp和φ1，φ2，…，φp滿(mǎn)足 Yule-Wolker方程，如下所示:

3 實(shí)驗(yàn)研究

圖5為時(shí)柵轉(zhuǎn)臺(tái)的誤差修正平臺(tái)。運(yùn)用步進(jìn)電機(jī)驅(qū)動(dòng)時(shí)柵轉(zhuǎn)臺(tái)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)時(shí)柵傳感器將發(fā)出帶有位置信息的時(shí)間序列。每次時(shí)柵傳感器發(fā)出信號(hào)的同時(shí)，光柵也發(fā)出相應(yīng)的位置信號(hào)作為標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)，然后將時(shí)柵和光柵信號(hào)同時(shí)送入計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。

實(shí)驗(yàn)研究將結(jié)合上述的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)進(jìn)行整周離散采樣，采樣規(guī)格為對(duì)時(shí)柵傳感器的一個(gè)對(duì)極(5°)進(jìn)行240個(gè)點(diǎn)的采樣，即每隔0.021°對(duì)光柵傳感器和時(shí)柵傳感器進(jìn)行一次采樣。圖6(a)為一對(duì)極采樣中光柵數(shù)據(jù)和時(shí)柵數(shù)據(jù)的差值，可視為該實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)臺(tái)的綜合誤差。從圖6(a)中數(shù)據(jù)可以看出，其最大誤差達(dá)到了90角秒。根據(jù)本文前述，運(yùn)用傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)系統(tǒng)誤差進(jìn)行擬合。本實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)臺(tái)采用8次傅里葉級(jí)數(shù)進(jìn)行擬合，圖6(b)中曲線為系統(tǒng)誤差擬合的曲線。將擬合模型視為該轉(zhuǎn)臺(tái)的系統(tǒng)誤差模型，然后與綜合誤差數(shù)據(jù)做比較可得到綜合隨機(jī)誤差數(shù)據(jù)。如圖6(c)所示，可見(jiàn)該轉(zhuǎn)臺(tái)的隨機(jī)誤差達(dá)到±6角秒，對(duì)于隨機(jī)誤差的修正是本文研究的重點(diǎn)。

隨機(jī)誤差采用AR模型進(jìn)行擬合，通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)臺(tái)的大量研究發(fā)現(xiàn)，采用6階AR模型具有較好的擬合效果。圖7中‘ ’為隨機(jī)誤差數(shù)據(jù)的實(shí)際測(cè)量值，通過(guò)對(duì)前50個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，得到合適的AR模型，該模型的擬合曲線在圖中用‘ ’表示。從圖7可以看出其擬合程度較好，能達(dá)到47.41%。

圖5 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

圖6 誤差分析

圖8為整個(gè)誤差修正之后的結(jié)果。通過(guò)傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)系統(tǒng)誤差的修正和AR模型對(duì)隨機(jī)誤差的修正，從圖8可知轉(zhuǎn)臺(tái)的精度有了較大的提高，由原來(lái)的最大90角秒減少到±3角秒。

圖7 隨機(jī)誤差預(yù)測(cè)

圖8 修正結(jié)果

4 結(jié)論

本文結(jié)合時(shí)間序列與時(shí)柵傳感器原理之間的關(guān)系，將時(shí)間序列模型運(yùn)用到時(shí)柵轉(zhuǎn)臺(tái)誤差修正中。通過(guò)時(shí)柵傳感器在單位周期內(nèi)給出的具有轉(zhuǎn)臺(tái)位置信息的時(shí)間序列進(jìn)行建模，預(yù)測(cè)出下一時(shí)刻的誤差值，然后通過(guò)誤差修正模型提高轉(zhuǎn)臺(tái)的定位精度。通過(guò)本文的研究可以得到以下的結(jié)論:

1)通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究，對(duì)比圖6(a)中的最大90角秒的誤差和圖8中的±3角秒誤差可知:對(duì)于時(shí)柵轉(zhuǎn)臺(tái)，采用系統(tǒng)誤差模型和隨機(jī)誤差模型疊加的方式進(jìn)行修正可以取得較好的修正效果。

2)在隨機(jī)誤差修正模型中，本文采用時(shí)間序列AR模型，并通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)研究得到較好的AR模型，證明了時(shí)間序列模型可以很好地運(yùn)用到時(shí)柵轉(zhuǎn)臺(tái)的隨機(jī)誤差修正中。

3)除了通過(guò)改善時(shí)柵轉(zhuǎn)臺(tái)結(jié)構(gòu)的方式來(lái)提高時(shí)柵轉(zhuǎn)臺(tái)的精度外，增強(qiáng)時(shí)柵轉(zhuǎn)臺(tái)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，使其成為可重復(fù)測(cè)量的穩(wěn)定系統(tǒng)，然后運(yùn)用本文方法也可以很好地提高轉(zhuǎn)臺(tái)精度。該方法為提高時(shí)柵轉(zhuǎn)臺(tái)精度提供了另一種設(shè)計(jì)思路。

［1］彭東林，劉小康，張興紅，等.高精度時(shí)柵位移傳感器研究［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2005，41(12):126－129.

［2］彭東林，劉小康，張興紅，等，場(chǎng)式時(shí)柵位移傳感器研究［J］.儀器儀表學(xué)報(bào)，2003，24(3):321－323.

［3］彭東林，劉小康，張興紅，等.時(shí)柵位移傳感器研究［J］.重慶工學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，20(5):1－4.

［4］彭東林，劉小康，張興紅，等.基于諧波修正法的高精度時(shí)柵位移傳感器［J］.儀器儀表學(xué)報(bào)，2006，27(1):31－33.

［5］楚興春，呂海寶，趙尚弘.基于傅里葉變換的高精度條紋細(xì)分方法［J］.光學(xué)學(xué)報(bào)，2007，27(12):2179－2183.

［6］費(fèi)業(yè)泰，劉小君.機(jī)密儀器隨機(jī)誤差分離與修正技術(shù)的研究［J］.儀器儀表學(xué)報(bào)，1990，11(2):171－178.

［7］劉小康，鄭方燕，王先全，等.時(shí)柵數(shù)控轉(zhuǎn)臺(tái)空間回轉(zhuǎn)位置預(yù)測(cè)方法研究［J］.儀器儀表學(xué)報(bào)，2011，32(10):2303－2308.

［8］何書(shū)元.應(yīng)用時(shí)間序列分析［M］.北京:北京大學(xué)出版社，2007:145－152.

［9］李書(shū)臣，徐心和，李平.預(yù)測(cè)控制最新算法綜述［J］.系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2004，16(6):1314－1319.

［10］盧榮勝，費(fèi)業(yè)泰，楚含進(jìn)，等.具有實(shí)時(shí)誤差綜合修正功能的動(dòng)態(tài)測(cè)角儀［J］.工具技術(shù)，1998(4):39－41.

［11］盧榮勝，費(fèi)業(yè)泰，楚含進(jìn).動(dòng)態(tài)測(cè)量誤差評(píng)定.宇航計(jì)測(cè)技術(shù)［J］，1998，18(6):14－17.

［12］費(fèi)業(yè)泰，陳曉懷，李書(shū)富.精密測(cè)試即儀器的誤差修正技術(shù)［J］.宇航計(jì)測(cè)技術(shù)，1996，16(4):66－70.

［13］盧榮勝，費(fèi)業(yè)泰.動(dòng)態(tài)測(cè)量若干基礎(chǔ)理論問(wèn)題研究綜述［C］//全國(guó)計(jì)量測(cè)試學(xué)術(shù)大會(huì)論文集.北京:計(jì)量學(xué)報(bào)，1998:59－64.

［14］彭東林，劉成康，譚為民，等.時(shí)空坐標(biāo)轉(zhuǎn)換理論與時(shí)柵位移傳感器研究［J］.儀器儀表學(xué)報(bào)，2000，21(4):338－342.

［15］盧榮勝，費(fèi)業(yè)泰，葉聲華，等.標(biāo)準(zhǔn)量插入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)時(shí)誤差修正技術(shù)研究［J］.計(jì)量學(xué)報(bào)，2001，22(2):81－86.

［16］陳曼龍.誤差補(bǔ)償技術(shù)及應(yīng)用特點(diǎn)［J］.計(jì)量測(cè)試與檢定，2008，18(6):1－3.

［17］王沁.時(shí)間序列分析及其應(yīng)用［M］.成都:西南交通大學(xué)出版社，2008.