基于B－F方法的未決賠款準備金隨機性評估

周靜靜，吳黎軍

(新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，烏魯木齊 830046)

非壽險準備金是指經(jīng)營非壽險業(yè)務(wù)的保險公司根據(jù)保險合同用于支付未來賠付所應(yīng)預(yù)留或準備的資金，主要包括未到期責(zé)任準備金、未決賠款準備金和理賠費用準備金。準備金評估的準確性可以真實反映保險公司的經(jīng)營成果，是公司經(jīng)營管理中進行科學(xué)決策的基礎(chǔ)，而且準備金提取的充分性影響著公司的償付能力和風(fēng)險情況。評估未決賠款準備金的模型有兩大類:確定性和隨機性模型。在保險公司中常用的確定性模型有鏈梯法、B－F法等，這些模型原理簡單，只給出一個點估計，且假設(shè)不明確，很難對準備金的結(jié)果進行統(tǒng)計檢驗。而隨機性模型則沒有這些問題，在最近的20多年中，準備金評估的隨機性模型成為精算學(xué)研究的熱點問題。國內(nèi)外財險公司也越來越關(guān)注準備金評估的隨機性模型的應(yīng)用［1－7］。

本文借鑒B－F法的思想，將鏈梯法和Cape Cod方法［8－9］進行結(jié)合，對最終損失的估計用加權(quán)平均，既考慮鏈梯法對最終損失的估計值，又考慮了基于均衡保費的期望最終損失的估計值。將鏈梯法中的傳統(tǒng)進展因子看作一個隨機變量研究，即假設(shè)進展因子服從對數(shù)正態(tài)分布［10］，再與Cape Cod方法結(jié)合進行估計準備金，最后將幾種方法進行實證分析比較。

1 鏈梯法

鏈梯法的重要假設(shè)是保險公司的賠付支出具有穩(wěn)定的延遲(進展)模式，通常采用的數(shù)據(jù)是累積數(shù)據(jù)。它基于“鏈梯”原理在已知損失的基礎(chǔ)上對未來損失進行預(yù)測。

表1 累計損失流量三角形

Cij表示事故年i進展年j的累積損失，i，j=1，2，…，n，Pi表示事故年i的保費。在已知上三角形數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，估計下三角形中的數(shù)值，即每個事故年的最終損失:{Ci，n:i=2，3，…，n}。首先，計算相鄰2個進展年的進展因子，…，n;其次，確定各列逐年進展因子的選定值。通常的方法有簡單平均法、幾何平均法、加權(quán)平均法、中位數(shù)法，具體根據(jù)保險業(yè)務(wù)的特征來定。mj(j=1，2，…，n－1)表示從第j進展年到第j+1進展年的逐年進展因子的選定值;再次，估計每個事故年的最終損失:?i，n=，上式中的進展因子mj的連乘因子稱為累計進展因子3，…，n;最后，估計每個事故年的未決賠款準備金:

2 損失進展模式Cape Cop方法

2.1 期望損失進展模式

需要一個可以隨時間推移從0%進展到100%的進展模式，在本文模型中，假設(shè)這種進展模式用累積分布函數(shù)(CDF)的形式描述，常見的2類CDF形式是Loglogistic增長曲線和Weibull增長曲線。其表達式分別為:Loglogistic增長曲線Weibull增長曲線其中，每個曲線都包含形狀參數(shù)ω和規(guī)模參數(shù)θ，x表示損失進展時間。在用這些曲線形式時，假設(shè)期望損失進展比例為從0%～100%的一個嚴格遞增模式。

基于這2類增長曲線，結(jié)合Cape Cod方法，先估計各事故年的期望損失進展模式，再估計各事故年的最終損失和索賠準備金。Cape Cod方法假設(shè)各事故年期望最終損失之間有一個已知關(guān)系。這個關(guān)系是通過暴露基礎(chǔ)確定的。暴露基礎(chǔ)通常是指均衡保費。

考慮事故年i進展年j的損失流量三角形數(shù)據(jù)。令Yi，j表示事故年i進展年j的增量損失進展變量Yi，j=Ci，j+1－ Ci，j(1≤i，j≤n)，期望值為 μi，j，則有:

Pi表示事故年i的均衡保費，ELR表示各事故年的損失率。該模型有3個未知參數(shù)要估計:{ELR，ω，θ}

2.2 增量損失分布假設(shè)與模型參數(shù)的極大似然估計

設(shè)增量損失Yi，j(i，j≥1，i+j≤n+1)相互獨立，且都服從過度分散的泊松分布，則Yi，j的概率函數(shù)為，均值和方差分別為:

其似然函數(shù)可表示為

對數(shù)似然函數(shù)為

假設(shè)分散參數(shù)φ已知，可將l的最大化等價于l*的最大化:

則有

l*ELR(G(j-0.5)-G(j-1.5)))-Pi·ELR(G(j-0.5)-G(j-1.5))］令上式關(guān)于參數(shù)ELR，ω，θ的一階偏導(dǎo)數(shù)均為0，得，則有

2.3 過程方差與參數(shù)方差

2.3.1 過程方差

用曲線G(x;ω，θ)表示期望損失進展模式，在上三角形增量損失都服從過度分散泊松分布的假設(shè)下，方差與均值的比是一個常量φ，它是分散參數(shù)，即有其中，N表示上三角形增量數(shù)據(jù)個數(shù)，即;p 為參數(shù)個數(shù);y是上三角增量損失;μ是增量損失的期望值。i，ji，j這里將φ視為常數(shù)，是一種近似估計，有時稱為擬似然估計。

2.3.2 參數(shù)方差

計算參數(shù)估計的方差是根據(jù)Rao-Cramer下界近似得到的，需要用到二階偏微信息矩陣I，通常稱為“Delta方法”。在該模型中信息陣I是3×3矩陣，各事故年的ELR相同，信息陣表示為

通過信息陣的逆矩陣得到協(xié)方差矩陣

2.4 索賠準備金評估

各事故年i的期望最終損失為LRi=Pi·EˉLR。準備金Ri和最終損失的估計值ULRi為

準備金的方差分成2部分:過程方差和參數(shù)方差。事故年i的索賠準備金和所有事故年索賠準備金總額的過程方差分別為:Var(Ri)=φ·Ri，Var(R)=φ·R;參數(shù)方差可表示為

3 鏈梯法與損失進展模式Cape Cod方法相結(jié)合及比較

類似于B－F方法，本文將鏈梯法與損失進展模式Cape Cod方法相結(jié)合。

1)計算期望最終損失。基于增量損失上三角形的數(shù)據(jù)，沿用Clark和Guszcza的假設(shè)得到的保費用損失進展模式Cape Cod方法來估計各事故年的期望最終損失為:各事故年的均衡保費乘以期望損失率，即Pi·ELR。其中，期望損失率是由損失進展模式Cape Cod方法用極大似然估算而來。

2)對上述期望最終損失進行修正。根據(jù)累計損失流量三角形進行，對上述期望最終損失的估計值進行修正，方法如下:

其中，f為累積進展因子，累計損失×f=最終損失，對上式變形得

即修正后的最終損失為鏈梯法估計的最終損失與損失進展模式Cape Cod方法期望最終損失估計值的加權(quán)平均。令ULXi表示各事故年修正后的最終損失，LR1i表示各事故年鏈梯法的最終損失，LR2i表示損失進展模式Cape Cod方法各事故年期望最終損失，則

3)未決賠款準備金。從修正后的最終損失中減去累計損失，得到各事故年的準備金為

4)與損失進展模式Cape Cod方法進行比較。令R2i表示損失進展模式Cape Cod方法得到的各事故年的準備金，有

4 基于對數(shù)進展因子建模的隨機性準備金評估

在第4部分中的累計進展因子用的是一般傳統(tǒng)方法，本節(jié)中考慮進展因子是一個隨機變量的情況。

4.1 模型假設(shè)

記Lij是事故年i的進展年j到進展年j+1的隨機進展因子，即

其中，Cij表示事故年i進展年j的累計損失。作如下假設(shè):

1)對每個 j有 L1j，L2j，…，Ln－1，j同分布于 Lj;

2)L1，L2，…，Ln－1是獨立的;

3)Lj服從參數(shù)為μj的對數(shù)正態(tài)分布。

4.2 參數(shù)估計

因為Lj是服從參數(shù)為μj和的對數(shù)正態(tài)分布，則有，記lij=log(Lij)，則其極大似然估計為和

得到θj的極大似然估計為，但證得是θj的漸進無偏估計。為了得到θj的無偏估計，F(xiàn)inney(1941)構(gòu)造了函數(shù)其中，該函數(shù)具有以下性質(zhì):1)對于k≥1，有fk(0)=1;2)對于所有的t＞0，fk(t)是關(guān)于k的增函數(shù)，且=et;3)若k的取值較小，則有fk(t)＜et。在本節(jié)中，下標k是與有關(guān)的自由度的個數(shù)，即k=n－j－1，所以θj的無偏估計為

4.3 準備金的無偏估計

則總準備金的方差的無偏估計為(Tn)2－。

4.4 基于對數(shù)進展因子與損失進展模式Cape Cod方法的準備金評估

將用本節(jié)方法計算的累計進展因子代替第4部分中的累計進展因子。期望最終損失由本文第3部分損失進展模式Cape Cod方法得到，即各事故年的期望最終損失為LRi，則各事故年的準備金為Ri=LRi×(1－1/)，i=2，…，n。因為 Lj服從參數(shù)為 μj和的對數(shù)正態(tài)分布，則1/Lj服從參數(shù)為 －μj和的對數(shù)正態(tài)分布，E(1/L)的無偏估計為j

其方差的無偏估計為

5 實證分析

本文實證分析的數(shù)據(jù)如表2所示，這些數(shù)據(jù)已在文獻中被多次引用，如Clark［8］、Guszcza［10］、張連增和段白鴿［9，11］等。

表2 累計損失數(shù)據(jù)元

沿用Clark和Guszcza的假設(shè)，即事故年1的均衡保費是1000萬元，其后每年增加40萬元。在Capecod方法中，基于Loglogistic曲線時用極大似然估計的參數(shù)估計值=1.447 6=4.001 8，=0.597 8，=61 574.54;基于Weibull增長曲線時用極大似然估計的參數(shù)估計值=1.305 5=4.057 2=0.479 5=60 881.99，進而得到各事故年期望最終損失的估計值，見表3。

表3 Cape Cod方法的最終損失與方法3得到的修正最終損失 元

記本文中第2部分的方法為Cape Cod方法;第3部分的方法為模型1;第4部分的方法為模型2;則用這3種方法估計的準備金結(jié)果見表4。

表4 Cape cod方法與模型1，模型2的估計結(jié)果

從表4與圖1、2中可以看出:在Weibull曲線下，3種方法得到的準備金非常近似;而在Loglogistic曲線下，3種方法得到的準備金有些差別，但模型1和模型2的波動性顯然比Cape Cod方法小。模型1與模型2之間由較早事故年的接近到最近事故年的差距是越來越大。用模型2算出的準備金的方差是最小的，說明模型2相對好一些。因此，是否可以通過找出已知的幾種隨機性模型之間存在的潛在聯(lián)系，然后將它們結(jié)合到一起構(gòu)成新的模型使其估計的效果更好，還需要更多的研究和驗證。

雖然從理論上可以構(gòu)建無窮多個準備金評估模型，但事實上對準備金的評估過程就是針對具體數(shù)據(jù)的分析過程。對同一組數(shù)據(jù)，可能使用多種不同方法估計的結(jié)果并沒有實質(zhì)性差異，如在圖2顯示的Weibull曲線上，3種方法的結(jié)果差別不大，也從來沒有哪一種準備金評估方法可以適用所有數(shù)據(jù)。所以，在準備金評估過程中，需要選擇恰當?shù)姆椒ǎ谶x擇過程中，要先考慮損失數(shù)據(jù)的特點。在當前國際精算實務(wù)中，人們對準備金的不充足性風(fēng)險越來越重視，且準備金的評估需要滿足動態(tài)財務(wù)分析等更加復(fù)雜的需求，隨機性模型則成為最佳選擇。

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