導(dǎo)體球面電像變換函數(shù)及其應(yīng)用

劉國松，李素文

（長春工程學(xué)院，長春130012）

0 引言

電像法是英國物理學(xué)家開爾文勛爵首先提出的一種特殊方法，用于靜電問題的求解。電像法的理論支撐是拉普拉斯方程、泊松方程在限定邊界條件下的唯一性定理。該方法在應(yīng)用過程中涉及點(diǎn)狀原電荷在給定邊界面下電像的個數(shù)、像電荷的位置和復(fù)雜帶電體的像電荷形狀、電荷分布兩大類問題。作為電像法有效性的示例，接地?zé)o限大平面、無限長圓柱面、球面導(dǎo)體邊界的點(diǎn)電荷電像計(jì)算于電磁場相關(guān)教科書［1－3］，電像法的應(yīng)用和討論雖多有報(bào)道，因帶電體和界面的復(fù)雜性帶來的像電荷位置、電荷量的確定問題限制了電像法的應(yīng)用范圍，有時(shí)甚至需要依靠直覺加以判定。盡管如此，仍有很多成功的解析算例，如鄭家奎［4］采用電像法處理了特殊角域靜電場，這是有限電像；嚴(yán)雪飛［5］采用迭代電像法計(jì)算雙導(dǎo)體球靜電模型，并且討論了多導(dǎo)體球問題，這是電像法應(yīng)用的較為復(fù)雜又貼合實(shí)際的成功范例，其工作的重要性還在于將電像法應(yīng)用于數(shù)值計(jì)算的預(yù)處理。

本文在導(dǎo)體球面邊界條件下應(yīng)用勒讓德多項(xiàng)式與其母函數(shù)的關(guān)系，證明了引入導(dǎo)體球面電像的合理性和唯一性。引進(jìn)電像變換函數(shù)用以表達(dá)導(dǎo)體球外帶電體的像格林函數(shù)，以實(shí)現(xiàn)求解任意帶電體電場中存在導(dǎo)體球界面情形下邊值問題，最后給出了導(dǎo)體球一均勻帶電圓環(huán)模型的數(shù)值算例。

1 球面電像的合理性、唯一性證明

對于導(dǎo)體球一點(diǎn)電荷靜電模型，空間電勢來源應(yīng)有兩部分（如圖1）：導(dǎo)體表面電荷σ和導(dǎo)體外的點(diǎn)電荷q。該情形下選取導(dǎo)體球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，球心與點(diǎn)電荷連線為球坐標(biāo)系的南北連線。

圖1 點(diǎn)電荷極化下的接地導(dǎo)體球電像模型

選取無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為電勢參考零點(diǎn)，則空間任意位置處的電勢可以表達(dá)為

式中：r?′0為點(diǎn)電荷q的位置矢量，且其模為a；r?′為球面上任意點(diǎn)的位置矢量。

模型所滿足的邊值條件為

勢函數(shù)具軸對稱性，因而球面電荷對導(dǎo)體球外區(qū)域任意一點(diǎn)的電勢貢獻(xiàn)可以采用球?qū)ΨQ球諧函數(shù)表達(dá)

因無窮遠(yuǎn)處為電勢參考零點(diǎn)，故而Al＝0，

將點(diǎn)電荷電勢貢獻(xiàn)用勒讓德多項(xiàng)式展開［6］

應(yīng)用r＝R處勢函數(shù)須滿足的邊界條件

即得到對于l＞0，

所以

所以

該式第一項(xiàng)表達(dá)球?qū)ΨQ成分，是導(dǎo)體球表面均勻分布電荷的貢獻(xiàn)，等效于某位于球心的點(diǎn)電荷電勢；第三項(xiàng)為位于球內(nèi)距球心b處，帶電量為q′，且位于球心與點(diǎn)電荷q連線上的等效點(diǎn)電荷電勢貢獻(xiàn)。上述推證過程表明，導(dǎo)體球面邊界下的點(diǎn)電荷鏡像是嚴(yán)格的感應(yīng)電荷等價(jià)描述，且具有唯一性。

2 導(dǎo)體球面電像變換函數(shù)

電荷的導(dǎo)體球面電像分析表明，對于任意的球外電荷分布下的任意點(diǎn)電荷微元dq（r′），對導(dǎo)體球外空間的電勢貢獻(xiàn)，都可以用該點(diǎn)電荷微元和像電荷微元的點(diǎn)元電勢貢獻(xiàn)表達(dá)，且像電荷位于原電荷位置矢徑上，因而像電荷微元與原電荷微元的電量借助式（3）建立起唯一聯(lián)系：

式中：dq（r′）表示原電荷微元；r′為原電荷微元位置矢量；dq′（r″）為像電荷微元；r″為像電荷位置矢量。且兩者之間的位置變換關(guān)系為

則可以定義電荷變換函數(shù)及位置變換函數(shù)

位置變換函數(shù)實(shí)際上表達(dá)的是原、像格林函數(shù)關(guān)系。依據(jù)電像法的基本精神，應(yīng)用靜電場的可疊加原理，立即可以得到空間任意場點(diǎn)r的電勢。

這實(shí)質(zhì)上是在原電荷空間和像電荷空間分別進(jìn)行的格林函數(shù)積分，若將電像變換函數(shù)代入，則

式（6）是僅在原電荷分布空間上的疊加積分。該式表明，引進(jìn)電像變換函數(shù)，本質(zhì)上把邊值問題轉(zhuǎn)化成了已知電荷分布下的直接電勢疊加積分。

空間電場分布

我們感興趣的還有導(dǎo)體球的表面電場強(qiáng)度，即電荷面密度的分布問題。顯然

3 均勻帶電圓環(huán)與接地導(dǎo)體球模型的數(shù)值解例

由于電荷變換和位置變換都是非線性變換，所以電勢疊加積分通常不可解析求解。但是由于電像變換函數(shù)的引進(jìn)，將給定邊界條件下的數(shù)值計(jì)算簡化為直接的數(shù)值積分，而數(shù)值積分在數(shù)值計(jì)算中是最為簡單和成熟的技術(shù)，因而計(jì)算效益顯而易見。

模型如圖2所示，帶電細(xì)圓環(huán)與導(dǎo)體球的某個子午面共面，電荷線密度為λ，半徑與導(dǎo)體球相同，都為R，環(huán)心與球心相距3R。為簡化數(shù)值模型，進(jìn)行如下數(shù)值化預(yù)處理

圖2中直接給出了帶電圓環(huán)的電像。由于任意原電荷微元與導(dǎo)體球的間距均大于導(dǎo)體球半徑，所以原電荷與像電荷無論電荷量還是線元長度都是縮小的，所以像帶電體遠(yuǎn)小于原帶電體，圖示像環(huán)貌似圓環(huán)，實(shí)際上與圓環(huán)相去甚遠(yuǎn)，這緣于電像變換的非線性導(dǎo)致的線元形變。

圖2 均勻帶電圓環(huán)和接地導(dǎo)體球模型示意圖

圖2中像環(huán)的形狀看似圓環(huán)只是與導(dǎo)體球和圓環(huán)相比尺寸太小而導(dǎo)致的視差。除此之外，像環(huán)上的電荷密度不再是均勻的。

依據(jù)電勢疊加計(jì)算式（6）直接計(jì)算出空間電勢分布函數(shù)，如圖3所示。

圖3 電勢分布等高圖式

彩色等高圖式可以清楚地確定電勢相對分布，粗略估量電場強(qiáng)度的分布狀況。圖中左側(cè)圓環(huán)為導(dǎo)體球占據(jù)區(qū)，為零電勢區(qū)。右側(cè)紅色區(qū)域?yàn)楦唠妱輩^(qū)，且由于細(xì)圓環(huán)處電荷體密度發(fā)散導(dǎo)致電勢函數(shù)發(fā)散。圖中接近圓環(huán)線分布電荷的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行了上截?cái)嗵幚怼?/p>

4 結(jié)語

本文證明了導(dǎo)體球面電像的合理性和唯一性，引進(jìn)電像變換函數(shù)，將邊值問題直接轉(zhuǎn)化為給定電荷分布下的電勢疊加計(jì)算。并且給出了復(fù)雜原電荷分布、簡單導(dǎo)體界面下的電勢分布函數(shù)實(shí)際算例。

［1］Jackson J D.Classical Electrodynamics［M］.Third Edition.Singapore：John Wiley ＆Sons，2001：57－64，86－87.

［2］俞允強(qiáng).電動力學(xué)簡明教程［M］.北京：北京大學(xué)出版社，1999：56－61.

［3］虞福春，鄭春開.電動力學(xué)［M］.北京：北京大學(xué)出版社，1992：28－37.

［4］鄭家奎.電像法求解角域靜電場［J］.泰山學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，32（6）：84－87.

［5］嚴(yán)雪飛.特殊的電像法研究多個導(dǎo)體球的相互作用［J］.大學(xué)物理，2011，30（3）：44－47.

［6］郭敦仁.數(shù)學(xué)物理方法［M］.北京：高等教育出版社，1991：278－280.