單壁碳納米管熱導(dǎo)率幾個(gè)問題的定量描述與分析

劉 煜，蔣玲芳，趙俊紅

（1.河南省電力公司 電力科學(xué)研究院，河南 鄭州 450052；2.中國(guó)民航飛行學(xué)院 洛陽(yáng)分院，河南 洛陽(yáng) 471000）

熱導(dǎo)率（κ）是單壁碳納米管的重要物性參數(shù)之一，該參數(shù)的研究受到廣泛關(guān)注.由于實(shí)驗(yàn)技術(shù)的困難，通過實(shí)驗(yàn)獲得的熱導(dǎo)率的數(shù)據(jù)不多［1－4］，且尚無一致認(rèn)可的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，更未能進(jìn)行多個(gè)影響因素、多種條件下的實(shí)驗(yàn)研究.因此，理論分析和分子動(dòng)力學(xué)模擬就成為熱導(dǎo)率研究的重要手段.熱導(dǎo)率的影響因素有溫度、管長(zhǎng)、管徑、手性、缺陷等［5－10］.文獻(xiàn)［5］借助聲子色散關(guān)系研究了熱導(dǎo)率隨溫度的變化；文獻(xiàn)［6］通過求解線性Boltzmann－Peierls聲子輸運(yùn)方程，討論了熱導(dǎo)率與管長(zhǎng)的關(guān)系；文獻(xiàn)［7－10］通過分子動(dòng)力學(xué)模擬分別研究了溫度、管長(zhǎng)、管徑對(duì)碳納米管熱導(dǎo)率的影響；運(yùn)用非平衡分子動(dòng)力學(xué)方法，文獻(xiàn)［11］研究了碳管中的點(diǎn)缺陷對(duì)熱導(dǎo)率的影響.上述這些研究從不同側(cè)面和不同角度豐富了人們對(duì)碳納米管熱導(dǎo)率的認(rèn)識(shí).

在現(xiàn)有文獻(xiàn)中，關(guān)于熱導(dǎo)率－溫度關(guān)系曲線在什么條件下能夠達(dá)到峰值存在幾種不同的看法［1，12－13］，并且這些看法都是定性分析，未給出定量的計(jì)算結(jié)果和分析論證.熱導(dǎo)率κ會(huì)隨管長(zhǎng)L的增加而增大［9－10］，但目前用來描述熱導(dǎo)率的管長(zhǎng)依賴性的指數(shù)關(guān)系式κ＝aLα（指數(shù)α＞0）［6，9，14］，由于熱導(dǎo)率κ隨管長(zhǎng)L的增加而發(fā)散，被認(rèn)為是不太合理的.如果考慮二階或高階三聲子過程，熱導(dǎo)率隨管長(zhǎng)的增加最終應(yīng)當(dāng)趨于有限值［6，15］，不過目前還沒有可以恰當(dāng)描述熱導(dǎo)率隨管長(zhǎng)的增加最終趨于有限值的數(shù)學(xué)表達(dá)式.雖然文獻(xiàn)［14］試圖對(duì)指數(shù)關(guān)系式進(jìn)行修正，但結(jié)果不很理想.聲子的平均自由程l是影響熱導(dǎo)率的主要因素之一，但通過數(shù)學(xué)關(guān)系式表達(dá)和分析平均自由程隨溫度和管長(zhǎng)變化，以及平均自由程與輸運(yùn)方式關(guān)系的文獻(xiàn)卻極少.文獻(xiàn)［16］發(fā)現(xiàn)，在極低溫度（T＜30K）下熱導(dǎo)率與溫度成線性關(guān)系，通過熱導(dǎo)率的基本關(guān)系式κ＝cv·v·l／3（其中，cv為單位體積比熱，v為聲子群速度）可建立單壁碳納米管束的熱導(dǎo)率與溫度和聲子平均自由程的函數(shù)關(guān)系，不過該函數(shù)關(guān)系只適合于估算極低溫度下聲子的平均自由程.

為了定量分析和討論上述問題，作者利用文獻(xiàn)［6，14，17－18］中給出的碳納米管熱導(dǎo)率和比熱數(shù)據(jù)，通過擬合的方法分別建立起數(shù)學(xué)關(guān)系式，并利用這些關(guān)系式定量討論κ隨T和L的變化，研究κ－T關(guān)系曲線達(dá)到峰值應(yīng)當(dāng)滿足的條件以及影響峰值位置的因素；提出不同于指數(shù)函數(shù)的描述熱導(dǎo)率的管長(zhǎng)依賴性數(shù)學(xué)表達(dá)式，利用該式描述熱導(dǎo)率隨管長(zhǎng)的增加最終趨于有限值的情形；還定量分析聲子平均自由程l隨T和L的變化，探討κ隨L的增加趨于有限值的原因.

1 定量關(guān)系式的建立

根據(jù)聲子氣模型和晶格動(dòng)力學(xué)理論，計(jì)算晶格熱導(dǎo)率的公式為

其中：κ為熱導(dǎo)率；cv為單位體積比熱；v為聲子的群速度；l為聲子的平均自由程.

對(duì)于準(zhǔn)一維的碳納米管，式（1）中的系數(shù)1／3應(yīng)當(dāng)去掉［2，14，19］，因此，碳納米管的熱導(dǎo)率可由下式計(jì)算

其中：v對(duì)溫度不敏感，而cv和l則對(duì)溫度非常敏感，二者都是溫度的函數(shù).

理論研究表明［4－5，7－8］，熱導(dǎo)率κ在低溫段會(huì)隨溫度T升高而升高，在高溫段隨溫度T升高而下降，κ－T關(guān)系曲線存在峰值.該文假設(shè)熱導(dǎo)率κ與溫度T具有如下函數(shù)關(guān)系

其中：a、b為待定參數(shù)，可通過數(shù)據(jù)擬合確定.

文獻(xiàn)［14，17］利用分子動(dòng)力學(xué)模擬得到了（5，5）單壁碳納米管的熱導(dǎo)率隨溫度和管長(zhǎng)變化的數(shù)據(jù).文獻(xiàn)［6］通過求解線性Boltzmann－Peierls聲子輸運(yùn)方程，計(jì)算了不同溫度和管長(zhǎng)條件下（10，0）單壁碳納米管的熱導(dǎo)率.（5，5）和（10，0）兩種碳管雖然手性不同，但管徑比較接近，R（5，5）＝0.34nm，R（10，0）＝0.39nm.考慮到直徑相同時(shí)，手性角對(duì)碳管熱導(dǎo)率影響不大，因此兩種碳管的熱導(dǎo)率數(shù)據(jù)具有一定的可比性［14］.

作者利用文獻(xiàn)［6，14，17］的數(shù)據(jù)，通過不同溫度和管長(zhǎng)條件下熱導(dǎo)率數(shù)據(jù)的擬合，得到參數(shù)b＝0.003 1.參數(shù)a是管長(zhǎng)L的函數(shù)，對(duì)不同管長(zhǎng)時(shí)的a值進(jìn)行擬合，得到a＝5.86（L／（L＋94））.將參數(shù)a和b的具體形式（或數(shù)值）代入式（3），得到熱導(dǎo)率κ與管長(zhǎng)L和溫度T的關(guān)系式為

圖1為利用式（4）計(jì)算得到的溫度T＝300K時(shí)熱導(dǎo)率κ隨管長(zhǎng)L變化的曲線，計(jì)算值與有關(guān)文獻(xiàn)［14，17］的結(jié)果基本吻合，因此可以利用式（4）進(jìn)行計(jì)算分析.

比熱是影響熱導(dǎo)率的重要因素之一.文獻(xiàn)［18］討論了單壁碳納米管的比熱性質(zhì)，給出了基于聲子譜的（10，10）碳管比熱與溫度的理論關(guān)系曲線（見圖2）.為了方便后面的計(jì)算分析，作者利用該曲線的數(shù)據(jù)，擬合得到比熱cv隨溫度T變化的關(guān)系式

其中：kB為Boltzmann常數(shù)，M0為碳原子的質(zhì)量.

圖2給出了（10，10）單壁碳納米管的比熱cv隨溫度T變化的理論曲線和擬合曲線.由圖2可見，擬合曲線與理論曲線基本吻合.碳管的直徑對(duì)比熱有一定影響［18］，但影響很小，可以忽略不計(jì)，因此在后面的計(jì)算分析中可以直接使用式（5）.

在式（5）中引入碳納米管的密度值ρ，可得單位體積比熱

其中：ρ可近似取為1.28×106g·m－3［20］.

將式（4）、（6）代入式（2），可得聲子平均自由程l與管長(zhǎng)L和溫度T的函數(shù)關(guān)系為

根據(jù)文獻(xiàn)［9］給出的（5，5）碳納米管的聲學(xué)聲子模式（包括橫波、縱波和卷曲模式）的群速度進(jìn)行計(jì)算，得到v≈10×103m·s－1.

2 結(jié)果和討論

在本節(jié)里，將利用前面建立的幾個(gè)數(shù)學(xué)關(guān)系式，以完整無缺陷的單個(gè)（5，5）單壁碳納米管為例，對(duì)與熱導(dǎo)率有關(guān)的幾個(gè)問題進(jìn)行討論.

2.1 溫度和管長(zhǎng)對(duì)κ的影響

利用式（4）繪制了熱導(dǎo)率κ與溫度T和管長(zhǎng)L的關(guān)系曲線圖，如圖3所示.由圖3可見，管長(zhǎng)一定時(shí)，熱導(dǎo)率隨溫度升高而提高，在300～400K時(shí)達(dá)到峰值；溫度繼續(xù)升高時(shí)，熱導(dǎo)率下降；溫度越高，κ越小，即κ∝1／T；當(dāng)溫度一定時(shí)，管長(zhǎng)L越長(zhǎng)，熱導(dǎo)率越大.可見式（4）可以較好地描述溫度T和管長(zhǎng)L兩個(gè)因素對(duì)碳納米管熱導(dǎo)率的影響.

對(duì)于κ－T曲線的峰值位置，有些文獻(xiàn)給出的數(shù)值為85～100K［7，12］，有些則在300～400K［4，8，11］，至今尚無定論.已有的研究表明，碳管的手性和管徑會(huì)影響峰值位置：對(duì)于鋸齒型碳管，峰值位置隨著碳管直徑的增大向低溫區(qū)移動(dòng)［12］；對(duì)于扶手椅型碳管，峰值位置隨著碳管直徑的增大向高溫區(qū)移動(dòng)［8］，導(dǎo)致移動(dòng)的機(jī)制目前尚不十分清楚.對(duì)式（4）求κ對(duì)T的一階偏導(dǎo)數(shù)并令其等于零，可求得κ出現(xiàn)峰值的溫度為322.6K，這與文獻(xiàn)［4，8，11］的結(jié)果接近，并且峰值位置與管長(zhǎng)L無關(guān).

關(guān)于κ在什么條件下達(dá)到峰值，目前尚無一致的觀點(diǎn).有關(guān)文獻(xiàn)［1，12－13］均為定性分析，未用定量的計(jì)算結(jié)果來予以證明.作者利用式（7）對(duì)κ達(dá)到峰值所需滿足的條件作如下計(jì)算分析.

在低溫條件下，U散射被“凍結(jié)”，可以假設(shè)T＝25K時(shí)的聲子平均自由程l等于靜態(tài)長(zhǎng)度lst，即lst＝l（T＝25K）.利用式（7）計(jì)算聲子平均自由程l，然后利用關(guān)系式計(jì)算 U 散射長(zhǎng)度lum.圖4為不同管長(zhǎng)L條件下U散射長(zhǎng)度lum隨溫度T的變化.圖4表明，在所有給定的管長(zhǎng)條件下，U散射長(zhǎng)度lum都隨溫度的升高而下降.

表1給出了不同管長(zhǎng)和溫度下聲子的靜態(tài)長(zhǎng)度lst和U散射長(zhǎng)度lum.由表1可知，lum隨溫度升高而下降，在T＝300K和T＝350K時(shí)，lum與lst最為接近，根據(jù)文獻(xiàn)［1］的觀點(diǎn)，峰值位置應(yīng)該在T＝300～350K之間，而前文給出的峰值位置的解析數(shù)值T＝322.6K就處在這一溫度范圍內(nèi).上述定量計(jì)算結(jié)果表明，lum≈lst可以作為κ達(dá)到峰值的條件，這也證實(shí)了文獻(xiàn)［1］的假設(shè)是有道理的，對(duì)單壁碳納米管也同樣適用.

表1 不同管長(zhǎng)和溫度下聲子的靜態(tài)長(zhǎng)度和U散射長(zhǎng)度Tab.1 The static length and U scattering length of phonon at different temperatures and lengths

表2給出了峰值溫度322.6K時(shí)的聲子平均自由程l和U散射長(zhǎng)度lum的數(shù)據(jù).由表2可知，對(duì)各個(gè)管長(zhǎng)，l約為lum的一半.因此，關(guān)于κ達(dá)到峰值的條件，還可以得到如下觀點(diǎn)：當(dāng)聲子平均自由程l等于U散射長(zhǎng)度lum的一半時(shí)，κ達(dá)到峰值.

從理論上講，峰值位置需要嚴(yán)格滿足的條件可由式（2）得到.對(duì)式（2）求κ對(duì)T的一階導(dǎo)數(shù)，得

當(dāng)κ達(dá)到峰值時(shí)，有dκ／dT＝0.滿足dκ／dT＝0的條件為

表2 峰值溫度（T＝322.6K）下的聲子平均自由程和U散射長(zhǎng)度Tab.2 The phonon mean free path and U scattering lengths at the peak temperature（T＝322.6K）

利用式（6）～（7）計(jì)算峰值溫度T0＝322.6K時(shí)式（9）中的各個(gè)參數(shù)，得這些數(shù)據(jù)能滿足式（11）.

這一定量計(jì)算結(jié)果表明，峰值位置不僅取決于cv和l的數(shù)值大小，還與二者隨溫度的變化率密切相關(guān)，因此在分析κ達(dá)到峰值所需滿足的條件時(shí)，必須把二者隨溫度的變化率考慮在內(nèi).

2.2 κ的管長(zhǎng)依賴性及其數(shù)學(xué)表達(dá)

對(duì)于碳管熱導(dǎo)率的管長(zhǎng)依賴性，眾多文獻(xiàn)［6，9，14－15，21］采用理論、實(shí)驗(yàn)和分子動(dòng)力學(xué)模擬進(jìn)行了研究.結(jié)果表明，熱導(dǎo)率隨管長(zhǎng)的增加而增大，二者具有指數(shù)關(guān)系κ∝Lα.這種指數(shù)關(guān)系造成熱導(dǎo)率隨管長(zhǎng)的增加而發(fā)散，而這種發(fā)散的結(jié)果被認(rèn)為是不合理的.如果考慮二階或高階三聲子過程，熱導(dǎo)率隨管長(zhǎng)的增加最終應(yīng)當(dāng)趨于有限值［6，15］.文獻(xiàn)［14］研究發(fā)現(xiàn)，指數(shù)關(guān)系式κ＝κ0Lα中的指數(shù)α?xí)S著L的增大而降低，并且通過數(shù)據(jù)擬合得出α＝2.38L－0.34，因此存在關(guān)系式.這一關(guān)系式避免了發(fā)散的結(jié)果.不過，用該式描述κ隨L的變化時(shí)，κ不是隨L的增加而單調(diào)增大直至收斂，而是隨L的增加先是增大，在L＝18.93時(shí)出現(xiàn)極大值（可由dκ／dL＝0求得），然后κ隨L的增大逐漸減少，最終收斂于κ0.因此，該關(guān)系式也未能合理反映熱導(dǎo)率隨管長(zhǎng)的增加最終趨于有限值的結(jié)果.

上述研究表明，熱導(dǎo)率會(huì)隨著管長(zhǎng)增加而增大，但是用指數(shù)函數(shù)來描述二者的函數(shù)關(guān)系，不能恰當(dāng)描述收斂的結(jié)果.部分文獻(xiàn)采用指數(shù)函數(shù)的形式來描述κ與L的關(guān)系是因?yàn)椋涸跓崃W(xué)極限下，一維原子鏈的κ與L成指數(shù)關(guān)系κ＝κ0Lα［14］，將這一關(guān)系用于具有準(zhǔn)1維結(jié)構(gòu)的碳納米管是很自然的.但嚴(yán)格來說，碳納米管具有3維空間結(jié)構(gòu)，其原子可在3維空間運(yùn)動(dòng)，把適用于1維結(jié)構(gòu)的理論和公式用于具有3維結(jié)構(gòu)的體系，容易造成不合理的結(jié)果.

作者利用式（4）計(jì)算了不同溫度下熱導(dǎo)率隨管長(zhǎng)的變化，結(jié)果見圖5.由圖5可見，熱導(dǎo)率隨著管長(zhǎng)增加而增大，當(dāng)管長(zhǎng)大于100nm后，熱導(dǎo)率隨著管長(zhǎng)增大的幅度逐漸減小，隨著管長(zhǎng)進(jìn)一步增加，熱導(dǎo)率逐漸趨于有限值.這一結(jié)果，與文獻(xiàn)［6］在考慮二階或高階三聲子過程后，熱導(dǎo)率隨管長(zhǎng)的增加而增大并最終趨于有限值的結(jié)果是一致的.

將式（4）改寫為

其中：κ0＝5.86Te－0.0031T.求κ對(duì)L的一階導(dǎo)數(shù)，得

由式（10）～（11）可知，?κ／?L＞0，κ與L的關(guān)系曲線沒有峰值.當(dāng)L→∞，?κ／?L→0，κ→κ0.因此，將κ與L的函數(shù)關(guān)系表示成式（10）的形式，可以避免出現(xiàn)發(fā)散的結(jié)果，并且可以描述κ隨L增加而增大，最終趨于有限值的情形，該有限值即κ0，它只與溫度有關(guān).這意味著當(dāng)管長(zhǎng)L足夠大時(shí)，κ僅是溫度T的函數(shù).

2.3 聲子的平均自由程及聲子的輸運(yùn)

作者利用式（7）計(jì)算了不同溫度和管長(zhǎng)條件下的聲子平均自由程l，結(jié)果見圖6.由圖6可見，l隨溫度T的升高而下降；溫度T一定時(shí)，l隨管長(zhǎng)L的增加而增大.

圖7a為聲子平均自由程l與管長(zhǎng)L的關(guān)系曲線，圖中對(duì)角線表示l＝L.由圖7a可見，溫度一定時(shí)，l隨管長(zhǎng)L增加而增大，當(dāng)L大于100nm后，l隨L增大的幅度逐步減小，并且最終趨于有限值.由圖7a還可以看出，在低溫（如25、100K）條件下，隨著管長(zhǎng)增加，聲子平均自由程l從大于管長(zhǎng)L轉(zhuǎn)變?yōu)樾∮诠荛L(zhǎng)；當(dāng)管長(zhǎng)較短（如L＝10nm）時(shí)，隨著溫度升高，聲子平均自由程l也從大于管長(zhǎng)L轉(zhuǎn)變?yōu)樾∮诠荛L(zhǎng).

圖7b給出了不同溫度下聲子平均自由程l與管長(zhǎng)L的相對(duì)長(zhǎng)度（l／L）隨L的變化情況.由圖7b可見，溫度一定時(shí)，管長(zhǎng)L增加會(huì)使l／L迅速下降；管長(zhǎng)一定時(shí)，溫度越高，l／L越小.管長(zhǎng)或溫度改變會(huì)使聲子平均自由程l從大于管長(zhǎng)L（l／L＞1）轉(zhuǎn)變?yōu)樾∮诠荛L(zhǎng)（l／L＜1）.當(dāng)溫度較高或管長(zhǎng)較長(zhǎng)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)l／L?1的情形.一般來說，當(dāng)聲子平均自由程大于體系的尺度時(shí)，聲子表現(xiàn)為彈道輸運(yùn)；當(dāng)聲子平均自由程與體系的尺度相當(dāng)時(shí)，聲子表現(xiàn)為彈道－擴(kuò)散輸運(yùn)；當(dāng)聲子平均自由程遠(yuǎn)小于體系的尺度時(shí)，聲子表現(xiàn)為擴(kuò)散輸運(yùn)［14，21］.因此，當(dāng)溫度或管長(zhǎng)改變，使得聲子平均自由程從大于管長(zhǎng)轉(zhuǎn)變?yōu)樾∮诠荛L(zhǎng)時(shí)，聲子的輸運(yùn)方式也會(huì)隨之改變.可用l與L的比值l／L作為表征聲子輸運(yùn)方式的參數(shù)，當(dāng)l／L＞1時(shí)，聲子表現(xiàn)為彈道輸運(yùn)；當(dāng)l／L≤1時(shí)，聲子的輸運(yùn)為彈道－擴(kuò)散輸運(yùn)，l／L越小，擴(kuò)散輸運(yùn)所占比重越大；當(dāng)l／L?1（或l／L→0）時(shí)，聲子的輸運(yùn)為擴(kuò)散輸運(yùn).從聲子輸運(yùn)的角度來看熱導(dǎo)率隨管長(zhǎng)的增加最終趨于有限值的現(xiàn)象，可以認(rèn)為：隨管長(zhǎng)L增加，聲子平均自由程l趨于有限值，必然會(huì)使比值l／L→0，此時(shí)聲子的輸運(yùn)近似為完全的擴(kuò)散輸運(yùn).由于聲子擴(kuò)散輸運(yùn)時(shí)熱導(dǎo)率κ不隨L變化［14］，所以κ將不隨管長(zhǎng)增加而增大，而將趨于有限值.

3 結(jié)束語

（1）該文得出的定量關(guān)系式可以較好地描述溫度T和管長(zhǎng)L對(duì)熱導(dǎo)率κ的影響，κ隨L變化的關(guān)系式也可以合理地描述κ隨L的增加而增大，最終趨于有限值的情形.

（2）κ－T關(guān)系曲線的峰值位置與cv和l的數(shù)值及二者隨溫度的變化率有關(guān)而與管長(zhǎng)L無關(guān)；當(dāng)聲子平均自由程l等于U散射長(zhǎng)度lum的一半時(shí)，κ達(dá)到峰值.

（3）溫度一定時(shí)，聲子平均自由程l隨管長(zhǎng)L增加而增大，但增大的幅度逐步減小，并最終趨于有限值.

（4）聲子的輸運(yùn)方式會(huì)隨溫度和管長(zhǎng)變化而變化.溫度或管長(zhǎng)改變時(shí)，聲子平均自由程l從大于管長(zhǎng)L轉(zhuǎn)變?yōu)樾∮诠荛L(zhǎng)，聲子的輸運(yùn)從彈道輸運(yùn)轉(zhuǎn)變?yōu)閺椀溃瓟U(kuò)散輸運(yùn)；l與L的比值l／L越小，擴(kuò)散輸運(yùn)所占比重越大，熱導(dǎo)率隨管長(zhǎng)增加的幅度越小；當(dāng)l／L→0時(shí)，聲子的輸運(yùn)為擴(kuò)散輸運(yùn)，熱導(dǎo)率不再隨管長(zhǎng)的增加而增大.

（5）該文提出的關(guān)系式和分析結(jié)果適用于完整無缺陷的單個(gè)單壁碳納米管.

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