組合數(shù)學與中學數(shù)學的關聯(lián)

劉會玲+劉東旭+南華

摘要：本文依據(jù)《普通高中數(shù)學新課程標準》，主要針對普通高中結(jié)合學生的認知水平和對教師的專業(yè)素質(zhì)要求，通過分析案例等方法，探討組合數(shù)學在中學教學中的地位，闡明了組合數(shù)學不僅在高等數(shù)學中起重要作用，而且在中學數(shù)學教學中也具有極其重要的地位。

關鍵詞：新課程標準;組合數(shù)學;數(shù)學文化

中圖分類號：G642.0 ? ? 文獻標志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2015）19-0256-02

一、引言

人類文化離不開數(shù)學，它是其中極其重要的組成部分。數(shù)學素養(yǎng)是人類的一種基本素養(yǎng)，在現(xiàn)代社會，每個公民更應具備這種素養(yǎng)。因為這種重要性，數(shù)學教育成為了教育必不可少的組成部分。在當代社會，數(shù)學教育以是終身發(fā)展必不可少的一個方面，是每個公民更進一步學習和發(fā)展的需要，是（終身）教育發(fā)展不可缺少的基礎。為了使學生學會如何能夠數(shù)學地思維，數(shù)學地表達，就要求各級各類學校向?qū)W生提供數(shù)學的基礎知識、基本思想和技能，進而培養(yǎng)、提高學生自身的數(shù)學素養(yǎng)。伴隨計算機技術和網(wǎng)絡信息的迅猛發(fā)展，作為數(shù)學的一個分支的組合數(shù)學得到了迅速發(fā)展，也越來越受到重視。組合數(shù)學研究的主要內(nèi)容包含離散對象滿足一定條件的方案的存在性，以及這種方案的構(gòu)造、枚舉計數(shù)及最優(yōu)化問題等內(nèi)容。它在密碼學、編碼和計算機科學、生物學等學科中有著重要應用?？梢赃@樣認為：近代的工業(yè)革命的基礎是微積分學的發(fā)展，而現(xiàn)代計算機革命的基礎就是組合數(shù)學的發(fā)展。如今，普通高中數(shù)學課程中也包含計數(shù)問題組合計數(shù)這部分內(nèi)容。當然除了計數(shù)問題，組合數(shù)學還包含組合原理、組合設計、組合優(yōu)化等內(nèi)容。本文從中學課程內(nèi)容特點、數(shù)學競賽試題、數(shù)學教師專業(yè)素質(zhì)、數(shù)學文化的滲透、解題方法等不同角度研究組合數(shù)學與中學數(shù)學的聯(lián)系與影響。

二、數(shù)學知識方面的聯(lián)系

1.計數(shù)問題是組合數(shù)學中的重要組成部分，是中學數(shù)學課堂教學內(nèi)容之一。組合數(shù)學中研究和應用最多的是計數(shù)問題，加法計數(shù)原理和乘法計數(shù)原理是其中最基本、最重要的兩個基本原理。普通高中數(shù)學課程中含有計數(shù)基本原理、排列、組合、二項式定理及其應用這些組合數(shù)學的內(nèi)容，要求學生掌握這些基本知識，同時了解計數(shù)與實際生活的聯(lián)系，會處理實際應用中的計數(shù)問題。組合計數(shù)、組合思想除在組合恒等式的證明和應用之外，在接下來的高中數(shù)學課程如統(tǒng)計與概率等中有著重要應用，排列組合掌握的好與壞常常影響古典概型的求解。

例題1（古典概型問題）：3件產(chǎn)品中包含2件正品a，b和1件次品c，每次從中任意選取一件，連續(xù)選取兩次。在下列不同條件下，分別計算選出的兩件產(chǎn)品中恰好有1件為次品的概率。（1）每次選出后不放回;（2）每次選出后放回。注：這里的摸球后放回、不放回是概率問題中常見的條件，也是計數(shù)問題中?？紤]的限制條件。無論哪一種情況下計算概率都要應用到排列組合知識點。

2.組合數(shù)學是數(shù)學建模中的重要工具?！镀胀ǜ咧袛?shù)學新課程標準》中提出：數(shù)學建模是運用數(shù)學思想、方法和知識解決實際問題的過程，已經(jīng)成為不同層次數(shù)學教育重要和基本的內(nèi)容。據(jù)統(tǒng)計，組合優(yōu)化在歷年的數(shù)學建模比賽所占比例比較重，幾乎占百分之四十左右。配對問題模型、摸球問題模型、分配問題模型、組合優(yōu)化模型等都是組合數(shù)學在建模中的應用。

例題2：自動售貨機內(nèi)裝有“可樂”、“雪碧”、“健力寶”3種聽裝飲料，投幣后隨機自動滾出一聽，今有5個人若要喝同一品種的飲料，他們至多要投幣幾次？解：把飲料的品種看做“鴿籠”，飲料罐看做“鴿子”。根據(jù)抽屜原理，為了使5個人能喝上同一品種的飲料，至少有一個“籠子”內(nèi)要有5只“鴿子”。從最不利的情形考慮，投幣12次滾出3個品種各4=5-1聽，共12聽，所以這5個人需要至多投幣13次。這就是利用中學數(shù)學抽屜原理法建模，當然這類題難度可以再加深。

3.組合數(shù)學是數(shù)學競賽的重要內(nèi)容。中小學數(shù)學競賽中?？嫉闹R點——抽屜原理和容斥原理是組合計數(shù)和組合分析常用的技巧和方法，不僅如此組合計數(shù)和組合分析中還有遞推（歸）原理、容斥原理、染色方法等常用方法。這些內(nèi)容看似簡單，但其中包含極強的技巧性，從小學到高中的數(shù)學競賽中常見這類問題。數(shù)學競賽題有一定的難度，往往不會輕易解決，對于這類問題一般通過構(gòu)造的方法建立簡單的數(shù)學模型，繼而借助數(shù)學原理求解。

例題3（第6屆國際數(shù)學奧林匹克試題）：有17位科學家，其中每一個人和其他所有人通信，他們的通信中只討論3個題目。求證：至少有3個科學家相互之間討論同一個題目。注：用平面上任意三點不共線的17個點v■，v■，…，v■分別表示17位科學家。設a，b，c為他們討論的3個題目。兩位科學家討論a，則用黃線連接;討論b用紅線連接;討論z則用藍線連接，那么“以這17個點為頂點的三角形中必有一同色三角形”就是要證的結(jié)論。此題屬于組合學中Ramsey問題，其根本思想還是構(gòu)造抽屜。將幾何圖形與染色問題相結(jié)合，再對已知邊按顏色進行分類（分抽屜），最后對幾個或某個抽屜進行分析，就可以解決問題。

三、滲透數(shù)學文化方面的聯(lián)系

數(shù)學文化的內(nèi)涵狹義上的理解就是數(shù)學的思想、精神、方法、觀點、語言，以及它們的形成和發(fā)展;廣義上的理解是除這些內(nèi)涵外，還包含數(shù)學家、數(shù)學史、數(shù)學美、數(shù)學教育、數(shù)學發(fā)展中的人文成分、數(shù)學與社會的聯(lián)系、數(shù)學與各種文化的關系等?！绑w現(xiàn)數(shù)學的文化價值”這是《普通高中數(shù)學新課程標準》基本理念之一，并且對數(shù)學文化有教學要求。中學期間，數(shù)學文化不會限定學時，不會專門設置幾堂課進行數(shù)學文化教學，而是將數(shù)學文化貫穿于整個高中數(shù)學課程中，滲透在每個模塊或?qū)ｎ}中，也是一部分重要內(nèi)容。

1.通過學習組合數(shù)學可以激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，體會數(shù)學的內(nèi)在美。組合數(shù)學源于數(shù)學游戲，許多問題看似簡單，卻蘊含很深數(shù)學原理。比如“柯克曼女生問題”、“幻方”等，這些數(shù)學游戲豐富了組合數(shù)學的研究方法與內(nèi)容。游戲往往比抽象的理論更有吸引力和挑戰(zhàn)性，通過數(shù)學游戲、趣味問題激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，讓學生感受到數(shù)學不僅是一種重要的“工具”也是一種思維模式，從而促進學生的數(shù)學學習以及數(shù)學觀的發(fā)展。endprint

2.經(jīng)典歷史名題，讓學生領略數(shù)學文化。古老的數(shù)學游戲和經(jīng)典的數(shù)學名題是重要的數(shù)學史料，數(shù)學史料又是數(shù)學文化中的一個重要的組成部分，而歷史名題又是數(shù)學史料的一種很好的載體。教學中結(jié)合數(shù)學史的文化背景進行講解，可以使學生在感受趣味性同時，體會其中的文化性和思想性，領略數(shù)學文化。例如著名的Fibonacci兔子問題：把一對小兔子（雌、雄各一只）在某年的開始放到圍欄中，一個月后長成大兔子。之后每個月這對兔子都生出一對新兔子，其中雌、雄各一只。一個月后，每對新兔子每個月也生出一對新兔子，也是雌、雄各一只。問一年后圍欄中有多少對兔子？第n個月的兔子的對數(shù)用F■來表示，則它滿足帶初值的二階遞推關系式。法國的數(shù)學家Binet求出了數(shù)列{F■}■■的通項。而且由斐波那契數(shù)列中前一項與后一項的比值組成的分數(shù)列以■≈0.618為極限，這正是“黃金比”，由它產(chǎn)生的優(yōu)選法“0.618法”是運用離散的手段來處理最優(yōu)化問題。通過賞析名題，能夠使學生感受到數(shù)學不僅僅是一門科學，更是一種文化。

四、提高數(shù)學教師的專業(yè)素質(zhì)方面的聯(lián)系

1.組合數(shù)學能夠提高數(shù)學老師的數(shù)學修養(yǎng)，進而提高教學質(zhì)量。我們知道教師要上好一堂課，只了解和解決課本和參考書上的知識和問題是遠遠不夠的。教授必須具有與這堂課相關的許多直接或間接相關的知識，這就是對教師數(shù)學素養(yǎng)的要求。組合數(shù)學里包含的歷史典故及蘊含的組合思想，會讓數(shù)學教師了解和掌握更豐富的數(shù)學知識，從而提高數(shù)學教師的數(shù)學素質(zhì)，提高解決問題的能力。因為組合數(shù)學問題在高中數(shù)學課程的各個模塊都有不同程度的應用，而且在數(shù)學競賽中出現(xiàn)頻率較高，更加需要數(shù)學教師掌握一定的組合數(shù)學知識和組合思想。

2.掌握組合數(shù)學中的解題思想、解題方法，提高數(shù)學教師的業(yè)務水平和能力。組合問題求解方法層出不窮、千變?nèi)f化，通過解決組合問題可以發(fā)現(xiàn)、歸結(jié)出許多有用的解題方法：（1）從組合學基本概念、基本原理出發(fā)的解題方法：①利用容斥原理、遞推關系、母函數(shù)方法——解計數(shù)問題。②利用抽屜原理——解決存在性問題。（2）從組合思想出發(fā)的解題方法：如組合對應法（一一對應）、分類法、組合分析法、放球模型法等。（3）在解決組合數(shù)學問題時還經(jīng)常會用到數(shù)論方法：應用奇偶性、整除性等數(shù)論性質(zhì)解決存在性問題。以及反證法和數(shù)學歸納法等。

組合數(shù)學的解題方法技巧性很強，教師通過學習組合數(shù)學更進一步學會數(shù)學思維，理解和掌握不同的解題方法，也可以積累豐富的解題技巧、思想，有助于拓展分析問題的思路進而提高教師的解題能力，提升專業(yè)素質(zhì)。

參考文獻：

[1]許胤龍，孫淑玲.組合數(shù)學引論[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2010.

[2]黃小龍，鄧勇，胡曉惠，袁茵.基于棋盤編碼粒子群算法的衛(wèi)星資源調(diào)度方法[J].計算機工程與設計，2013，（1）.

[3]戴朝壽，孫世良.數(shù)學建模簡明教程[M].上海：高等教育出版社，2007.

[4]馬洪炎，沈虎躍，許康華.高中數(shù)學競賽解題方法[M].浙江：浙江大學出版社，2006.

[5]張文穎，鞏誠，于濤.采用多種方式在大學數(shù)學教育中滲透數(shù)學文化[J].中國科教創(chuàng)新導刊，2010，（31）.

[6]陳永川.話說組合數(shù)學[J].科學中國人，2003，（5）.

[7]佘守憲，胡頡.黃金數(shù)與Fibonacci數(shù)列[J].物理與工程，2006，（16）.endprint