矩陣方程組AX=C，XB=D的行（列）共軛對(duì)稱解

聶祥榮，王 珂，武玲玲

（1.貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)系，貴州 畢節(jié)551700；2.上海大學(xué) 數(shù)學(xué)系，上海200444）

0 引 言

矩陣方程組是矩陣方程（組）理論與方法研究的重要對(duì)象，對(duì)研究其他類型矩陣方程（組）具有重要的基礎(chǔ)性和方法性意義.式（1）的各種對(duì)稱解是人們關(guān)注的課題之一，如文獻(xiàn)［1-5］討論了式（1）的Hermitian解、雙對(duì)稱解、中心對(duì)稱解和P-對(duì)稱解等.行（列）對(duì)稱矩陣或行（列）對(duì)稱延拓矩陣［6-8］在時(shí)頻分布、信息、控制、建筑等具有軸對(duì)稱特性現(xiàn)象中起著重要作用.最近，文獻(xiàn)［9-11］利用奇異值分解和行對(duì)稱矩陣的等價(jià)條件討論了矩陣方程組（1）的行或列對(duì)稱（延拓）解.

四元數(shù)矩陣特征值與特征向量問題由于四元數(shù)乘法的不可交換性變得較為復(fù)雜.許多學(xué)者對(duì)四元數(shù)矩陣右（左）特征值與特征向量做了大量有益的研究工作［12-18］，其中文獻(xiàn)［12-13，18］利用四元數(shù)矩陣復(fù)表示矩陣的特征多項(xiàng)式（擬特征多項(xiàng)式）和重特征多項(xiàng)式，通過右復(fù)特征主值，描述了四元數(shù)矩陣全部右特征值的集合、給出了相應(yīng)的求解右特征值的一個(gè)特征向量的方法.研究發(fā)現(xiàn)，可以通過復(fù)矩陣方程組（1）的具有行（列）共軛對(duì)稱性的解獲得四元數(shù)矩陣屬于右特征值的全部特征向量.因此，為豐富矩陣方程組特殊解及其應(yīng)用的研究內(nèi)容，本文提出復(fù)數(shù)域上行（列）共軛對(duì)稱矩陣概念，利用復(fù)矩陣的實(shí)表示和廣義逆方法，討論復(fù)數(shù)域上矩陣方程組（1）的行（列）共軛對(duì)稱解，建立其存在行（列）共軛對(duì)稱解的充分必要條件及該類解的一般表達(dá)式，并利用所得結(jié)果給出四元數(shù)矩陣右特征值的特征向量集合.

文中用Rm×n，Cm×n和Qm×n分別表示實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域和四元數(shù)體上的全體m×n階矩陣.對(duì)于A∈Qm×n，AT，ˉA，A＊，A?和r（A）分別表示矩陣A的轉(zhuǎn)置、共軛、共軛轉(zhuǎn)置、M-P逆和秩.I表示具有相應(yīng)階數(shù)的單位矩陣，Jm=（Ji，j）∈Cm×m（除J1，m=J2，m-1=…=Jm，1=1外其余元素均為零）.記LA=I-A?A，RA=I-AA?.

定義1 一個(gè)2n行（或2n+1行）矩陣X∈C2n×p（或X∈C（2n+1）×p）稱為行共軛對(duì)稱，是指存在Y∈Cn×p（或存在Y∈Cn×p，?！蔙1×p）使得X=

定義2 一個(gè)2p列（或列2p+1）矩陣X∈Cn×2p（或X∈Cn×（2p+1））稱為列共軛對(duì)稱是指，存在Y∈Cn×p（或存在Y∈Cn×p，?！蔙n×1）使得X=［Y ˉYJp］（或X=［Y Γ ˉYJp］）.

1 復(fù)矩陣的實(shí)表示及有關(guān)引理

設(shè)矩陣A=A1+i A2∈Cm×n，其中A1，A2∈Rm×n.分別稱矩陣

為A的行型和列型實(shí)表示矩陣.容易驗(yàn)證，矩陣A的行型和列型實(shí)表示矩陣具有如下性質(zhì)

引理1［19］設(shè)A∈Cm×n，B∈Cm×k，C∈Cl×n，則下列秩等式成立

引理2［2］設(shè)A∈Cm×n，B∈Cp×q，C∈Cm×p，D∈Cn×q已知，而X∈Cn×p未知.則下列陳述等價(jià)：

1）矩陣方程組（1）可解；

2）RAC=0，DLB=0，AD=CB；

當(dāng)式（1）可解時(shí)，其通解為

其中，Y是復(fù)數(shù)域C上任意具有適當(dāng)階數(shù)的矩陣.

2 矩陣方程組（1）的行共軛對(duì)稱解

定理1 A∈Cm×2n，B∈Cp×q，C∈Cm×p，D∈

C2n×q已知，而X∈C2n×p未知.記

則下列陳述等價(jià)：

1）矩陣方程組（1）存在行共軛對(duì)稱解；

在上述情況下，式（1）的行共軛對(duì)稱解的一般表達(dá)式為一般表達(dá)式為式（2）.設(shè)其中是式（1）的行共軛對(duì)稱解.記則將X代入式（1），注意到［I i I］CσEp，可得

即

將引理2應(yīng)用于實(shí)矩陣方程組（4）可得2）成立，且

式中：Z是實(shí)數(shù)域R上任意具有適當(dāng)階數(shù)的矩陣.從而X可表為式（2）.

當(dāng)未知矩陣X為2n+1行時(shí)，令列陳述等價(jià)：

1）矩陣方程組（1）存在行共軛對(duì)稱解；

在上述情況下，式（1）的行共軛對(duì)稱解的一般表達(dá)式為

式中：Z是實(shí)數(shù)域R上任意具有適當(dāng)階數(shù)的矩陣.

備注 定理1（定理2）中等價(jià)條件2）和3）均為實(shí)形式.易驗(yàn)證Sn和Wn均是酋矩陣，即式（1）的行共軛對(duì)稱解可分別通過行酋變換Sn（Wn）與實(shí)矩陣等價(jià).

3 矩陣方程組（1）的列共軛對(duì)稱解

由于矩陣方程組（1）等價(jià)于

所以式1對(duì)未知矩陣X存在列共軛對(duì)稱解X=［Y ˉYJp］（或X=［Y Γ ˉYJp］）等價(jià)于式（6）對(duì)XT存在行共軛對(duì)稱解XT.將定理1（或定理2）應(yīng)用于關(guān)于XT的式（6），并對(duì)所得矩陣等式、秩等式和XT的表達(dá)式兩邊轉(zhuǎn)置，注意復(fù)矩陣實(shí)表示的性質(zhì)，可得矩陣方程組（1）的兩種列共軛對(duì)稱解.

定理3 設(shè)A∈Cm×n，B∈C2p×q，C∈Cm×2p，D∈Cn×2p已知，而X∈Cn×2p未知.則下列陳述等價(jià)：

1）矩陣方程組（1）存在列共軛對(duì)稱解；

式中：Z是實(shí)數(shù)域R上任意具有適當(dāng)階數(shù)的矩陣.

定理4 設(shè)A∈Cm×n，B∈C（2p+1）×q，C∈式中：Z是實(shí)數(shù)域R上任意具有適當(dāng)階數(shù)的矩陣.

證明 由引理1易知，2）與3）等價(jià).因此只需證明1）與2）等價(jià)，且式（1）的行共軛對(duì)稱解的Cm×（2p+1），D∈Cn×q，而X∈Cn×（2p+1）未知.則下列

陳述等價(jià)：

1）矩陣方程組（1）存在列共軛對(duì)稱解；

在上述情況下，式（1）的行共軛對(duì)稱解的一般表達(dá)式為

式中：Z是實(shí)數(shù)域R上任意具有適當(dāng)階數(shù)的矩陣.

4 四元數(shù)矩陣的右特征向量

根據(jù)文獻(xiàn)［12-13，18］，A∈Qn×n的右特征值集合為｛qαq-1|0≠q∈Q，α是Aφ的復(fù)特征值｝.利用定理1的特殊情形AX=C的行共軛對(duì)稱解，可得四元數(shù)矩陣右特征值的特征向量集合：

定理5 設(shè)A=A1+A2j∈Qn×n，A1，A2∈Cn×n，λ=λ1+λ2j∈Q（其中λ1，λ2∈C）是A的右特征值，則A的屬于λ的特征向量集合為

根據(jù)定理1，存在Z0∈R4n×1，使得所以

為

所以x=i是A的右復(fù)特征值，從而λ=（1+k）i·（1+k）-1=j是A的右特征值.由λ1=0，λ2=1得

所以

是A的右特征值λ=j的全部特征向量，其中，zj∈R，t=1，2，…，8，且或者z2≠0，或者z4≠0，或者z1≠-z7，或者z3≠-z5.

備注 如果考慮文獻(xiàn)［13］定義3.5.4中的左特征值λ（滿足ξA=λξ，ζ≠0），類似地利用定理2的特殊情形XB=D的列共軛對(duì)稱解，可得四元數(shù)矩陣屬于該類左特征值的特征向量集合.

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