基于CCS-MUSIC的寬帶無模糊測頻方法研究

常 虹

（西安郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，陜西 西安710121）

0 引 言

頻率估計(jì)是電子偵察中信號參數(shù)估計(jì)的基本問題，其中經(jīng)典算法有離散傅立葉變換（Discrete Fourier Transform，DFT）算法和特征子空間算法等.DFT運(yùn)算簡單，但易受到瑞利限影響，導(dǎo)致測頻精度不高［1］.典型的特征子空間算法如多信號子空間分類MUSIC算法、旋轉(zhuǎn)不變子空間ESPRIT（Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques，ESPRIT）算法［2-3］，其頻率估計(jì)性能優(yōu)于DFT，可用于中等信噪比條件下信號的頻率估計(jì).基于當(dāng)前的技術(shù)狀況和硬件水平，對寬頻段信號進(jìn)行高速采樣后的實(shí)時(shí)處理是很難的，存在AD和DSP速度不匹配的問題，欠采樣可有效降低數(shù)據(jù)率，但引起的信號頻譜混疊需要輔助解頻率模糊算法解決.基于延時(shí)相位差的無模糊頻率估計(jì)方法具有計(jì)算簡單、方便的特點(diǎn)［4-5］，但相位誤差引起的測頻誤差常常在MHz量級以上，無法滿足現(xiàn)代電子戰(zhàn)環(huán)境下接收機(jī)對測頻精度的要求；文獻(xiàn)［6］的前后向稀疏線性預(yù)測方法和文獻(xiàn)［7］的MUSIC方法均基于多個(gè)延時(shí)通路實(shí)現(xiàn)無模糊頻率估計(jì)，以增加硬件為代價(jià)，且延時(shí)精度無法保證，后者還需要預(yù)先知道信號個(gè)數(shù)，存在較大搜索步長時(shí)性能下降較多的問題；文獻(xiàn)［8］對輸入信號采用多路不同速率的AD進(jìn)行采樣，聯(lián)合多路采樣值并利用多維整數(shù)搜索解頻率模糊，運(yùn)算量較大，要求采樣頻率滿足參差關(guān)系.

為了提高寬頻帶接收時(shí)信號頻率的估計(jì)精度，同時(shí)保持較低的運(yùn)算量，本文采用兩個(gè)速率不同的AD對輸入信號進(jìn)行欠采樣，計(jì)算CCS，只要識別出正確的譜峰位置就可獲得信號的頻率.但在同時(shí)多信號情況下，互相關(guān)頻譜分布中，部分譜峰即“真峰”對應(yīng)信號頻率，部分譜峰即“偽峰”對應(yīng)交調(diào)信號頻率，本文提出在CCS峰附近設(shè)置搜索區(qū)間，并運(yùn)用MUSIC算法在該區(qū)間上分別對由兩個(gè)欠采樣序列各自構(gòu)造的特征子空間在該區(qū)間進(jìn)行搜索的快速識別“偽峰”的方法，該方法可有效解決寬帶偵收時(shí)同時(shí)多信號的無模糊頻率估計(jì)的問題.

1 算法原理

假設(shè)同時(shí)輸入頻率分別為｛F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)I｝的I個(gè)復(fù)指數(shù)信號，對該混合信號分別以采樣速率Fs1和Fs2進(jìn)行欠采樣，即max｛Fs1，F(xiàn)s2｝＜2max｛F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)I｝.采樣序列分別表示為

式中：Ai表示第i個(gè)信號的幅值.定義兩個(gè)序列的互相關(guān)運(yùn)算為

式中：T1=1／Fs1；T2=1／Fs2；v（n）為交調(diào)信號、信號與噪聲乘積、噪聲與噪聲乘積之和.當(dāng)|Fi（T1-T2）|＜1成立時(shí)，對z（n）作頻域變換得到CCS分布，其中部分譜峰對應(yīng)信號頻率，部分譜峰對應(yīng)交調(diào)信號頻率.

接下來介紹如何用MUSIC搜索法識別“真峰”.根據(jù)CCS的分布，在每個(gè)CCS峰附近選定頻率搜索區(qū)間，運(yùn)用MUSIC算法在該區(qū)間上分別對由兩個(gè)欠采樣序列各自構(gòu)造的特征子空間進(jìn)行搜索，若CCS峰對應(yīng)信號頻率，兩路MUSIC譜在該頻率搜索區(qū)間會同時(shí)出現(xiàn)最大值，即判斷該CCS峰為“真峰”，否則為“偽峰”.由特征子空間的最大特征值數(shù)量確定信號個(gè)數(shù)I后，對各相關(guān)譜峰處的聯(lián)合MUSIC譜值由大到小排序，前I個(gè)值對應(yīng)的頻率搜索區(qū)間就是I個(gè)信號頻率所在區(qū)間，位于這I個(gè)區(qū)間的CCS峰即對應(yīng)信號頻率.

分別以采樣速率Fs1和Fs2對輸入信號進(jìn)行采樣，并將N（N＞I）個(gè)采樣值用矢量表示如下

其中

其中，數(shù)字頻率f1i=Fi／Fs1，f2i=Fi／Fs2各不相同，即l1i=mod（Fi／Fs1），l2i=mod（Fi／Fs2）各不相同，Wx（n），Wy（n）表示噪聲向量.

采樣序列的自相關(guān)矩陣為

式中：RS1=E［S1（n）SH1（n）］，RS2=E［S2（n）SH2（n）］，E［］表示期望運(yùn)算，［］H表示共軛轉(zhuǎn)置，δ2x，δ2y為噪聲功率，I表示單位矩陣.對矩陣RXX和RYY特征值分解得到N個(gè)特征值，其中較大的I個(gè)特征值作為對角矩陣ΔS和ΩS的對角線元素，相應(yīng)的特征向量ui和vi組成矩陣US=［u1，u2，…，uI］和VS=［v1，v2，…，vI］，N-I個(gè)較小特征值對應(yīng)的特征向量ui和vi組成矩陣UN和VN.

利用特征子空間理論［9］，US，VS張成的信號子空間正交于UN，VN張成的噪聲子空間.有span（A（f））=span（US）⊥span（UN），span（B（f））=span（VS）⊥span（VN），聯(lián) 合MUSIC譜函數(shù)表示為

當(dāng)a（f1i）和b（f2i）分別位于信 號子空 間span（US）和span（VS）時(shí)，必然存在a（f1i）⊥span（UN）和b（f2i）⊥span（VN），則aH（f1i）UN和bH（f2i）VN趨于零，聯(lián)合MUSIC譜在信號頻率Fi處會出現(xiàn)大的峰值，而在交調(diào)信號頻率處聯(lián)合MUSIC譜分布較平坦或者峰值較小.

2 頻率搜索區(qū)間確定

由CCS無法直接實(shí)現(xiàn)對信號頻率估計(jì)，存在判斷譜峰的真?zhèn)涡詥栴}，利用聯(lián)合MUSIC譜在每個(gè)CCS峰附近搜索可有效解決真?zhèn)畏宓膯栴}，因此確定頻率搜索區(qū)間就成了關(guān)鍵，此方法不僅可以準(zhǔn)確定位信號頻率位置，還在降低MUSIC譜搜索量的同時(shí)實(shí)現(xiàn)了頻率的高精度估計(jì).

在非整數(shù)倍周期位置截?cái)嘈盘枙?dǎo)致頻譜泄漏，假設(shè)某個(gè)信號的CCS峰位于DFT頻率ki處，由于頻譜泄漏，相鄰頻率ki+1或ki-1處CCS值也較大，因此信號頻率一定是位于ki～ki+1或ki-1～ki之間，頻率搜索區(qū)間選為

根據(jù)測頻精度選擇搜索步長Δf?Fs／N，以Δf為步長，以譜峰位置ki為中心向兩端擴(kuò)展搜索［10］，直到滿足式（13）和式（14），搜索停止.

式中：m=0，1，…，F(xiàn)s／（NΔf）.聯(lián)合MUSIC譜的頻率估計(jì)均方根誤差為

式中：σ為搜索誤差；Q為信號采集周期數(shù).

3 計(jì)算機(jī)仿真

假設(shè)輸入頻率分別為310 MHz和430 MHz的兩個(gè)信號的混合信號，對該信號以200 MHz和250 MHz速率分別進(jìn)行采樣，由于不滿足采樣定理，采樣信號頻譜會出現(xiàn)混疊，信號采集周期數(shù)Q=100，每個(gè)周期采樣點(diǎn)數(shù)N=128，聯(lián)合MUSIC譜搜索步長取為0.2 MHz.兩個(gè)欠采樣序列的CCS如圖1所示，4個(gè)譜峰中有2個(gè)對應(yīng)信號頻率，剩余2個(gè)對應(yīng)交調(diào)信號頻率.

圖1 互相關(guān)頻譜圖 Fig.1 Cross correlation spectrogram

兩個(gè)采樣序列在4個(gè)CCS峰處的MUSIC譜如圖2和圖3所示.由圖2可知，以200 MHz速率采樣得到的采樣序列1的MUSIC譜在310，430，830，910 MHz這4個(gè)互譜峰處都出現(xiàn)了峰值，以250 MHz速率采樣得到的采樣序列2的MUSIC譜只在頻率為310 MHz和430 MHz兩處出現(xiàn)峰值，結(jié)合兩個(gè)采樣序列的MUSIC譜圖，選擇兩者均在同一互譜峰頻率處出現(xiàn)MUSIC譜峰的次數(shù)，就可以確定信號個(gè)數(shù)為2個(gè)，頻率分別為310 MHz和430 MHz.

圖2 采樣序列1在互譜峰值附近的MUSIC譜 Fig.2 MUSIC spectrogram of sample sequence 1 in the neighbourhood of CSS peak

圖3 采樣序列2在互譜峰值附近的MUSIC譜圖 Fig.3 MUSIC spectrogram of sample sequence 2 in the neighbourhood of CSS peak

圖4（a）是SNR=10 dB時(shí)，僅頻率為310 MHz的信號輸入時(shí)的CCS圖，由于滿足|F1（T1-T2）|＜1，根據(jù)CCS的譜峰位置估計(jì)信號頻率為312.5 MHz；對由速率為250 MHz的采樣序列構(gòu)造的MUSIC譜，在區(qū)間［310.55 MHz，314.45 MHz］內(nèi)以步長為0.4 MHz，頻率中心為312.5 MHz進(jìn)行搜索，MUSIC譜圖如圖4（b）所示，根據(jù)MUSIC譜峰位置估計(jì)信號頻率為310.2 MHz；其他參數(shù)不變，搜索步長改為0.2 MHz時(shí)的MUSIC譜分布圖如圖4（c），由譜峰估計(jì)信號頻率為309.96 MHz，頻率估計(jì)精度進(jìn)一步提高.MATLAB仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文方法，基于CCS的MUSIC譜搜索能夠準(zhǔn)確定位信號的模糊頻率應(yīng)在的頻率區(qū)間，實(shí)現(xiàn)高精確測頻.

圖4 頻譜圖 Fig.4 Frequency spectrogram

4 結(jié) 論

針對寬帶數(shù)字接收時(shí)的測頻模糊問題，本文考慮到在同時(shí)多信號情況下利用不同速率的采樣序列的CCS估計(jì)頻率時(shí)存在交調(diào)信號頻率影響，提出了CCS聯(lián)合MUSIC譜的快速無模糊估計(jì)頻率方法，根據(jù)CCS峰位置及測頻精度要求選擇搜索區(qū)間及步長，由MUSIC譜搜索結(jié)果就實(shí)現(xiàn)了信號頻率估計(jì)，由于僅在有限個(gè)相關(guān)譜峰的鄰近區(qū)間上進(jìn)行搜索，搜索量不大，且頻率估計(jì)精度較高.

［1］Ertan A E.Accurate single-tone frequency estimation from DFT coefficients using time-window＇s frequency spectrum［C］.IEEE Radar Conference，2013：1-6.

［2］王永良，陳輝，彭應(yīng)寧，等.空間譜估計(jì)理論與算法［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2005.

［3］Zhang J X，Christense M G，Jensen S H，et al.A robust and computationally efficient subspace-based fundamental frequency estimator［J］.IEEE Trans on Audio，Speech，and Language Processing，2010，18（3）：487-497.

［4］Baransky E，Itzhak G，Wagner N，et al.Sub-nyquist radar prototype：hardware and algorithm［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2014，50（2）：809-822.

［5］余朋駿，阮懷林.遲延相位差結(jié)合FFT多信號頻率估計(jì)［J］.電子信息對抗技術(shù)，2014，29（3）：7-12.Yu Pengjun，Ruan Huailin.The frequency estimation of multi signal based on delayed phase difference and FFT［J］.Electronic Information Warfare Technology，2014，29（3）：7-12.（in Chinese）

［6］Sarma A，Tufts D W.Rank-order adaptive CFAR：performance bounds and efficient implementation［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2013，49（4）：2211-2224.

［7］王鑫，趙春暉，戎建剛.多路延遲結(jié)構(gòu)的修正MUSIC算法頻率估計(jì)［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2009，31（4）：795-798.Wang Xin，Zhao Chunhui，Rong Jiangang.Frequency estimation of modified MUSIC algorithm based on multi-path delay structure［J］.Systems Engineering and Electronics，2009，31（4）：795-798.（in Chinese）

［8］李鵬，朱平云，陳望達(dá).欠采樣信號多采樣頻率處理方法［J］.海軍航空工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，19（1）：165-167.Li Peng，Zhu Pingyun，Chen Wangda.Using different frequencies method to solve bandpass sub-nyquist sampling［J］.Journal of Naval Aeronautical，2004，19（1）：165-167.（in Chinese）

［9］Elasmi Ksibi R，Besbes H，Cherif S.Equivalent fullband implementation of subband subspace methods for frequency estimation Signals［C］.3rd International Conference on Circuits and Systems（SCS），2009：1-6.

［10］蔣毅，劉章文，古天祥.MUSIC法的有限域單向快速頻率搜索［J］.電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，37（2）：241-243.Jiang Yi，Liu Zhangwen，Gu Tianxiang.Fast frequency estimation way for MUSIC algorithm［J］.Journal of University of Electronic Science and Technology of China，2008，37（2）：241-243.（in Chinee）