旋量凝聚體中偶極作用的平均場(chǎng)效應(yīng)

王紅梅

（太原師范學(xué)院 物理系，山西 太原030012）

0 引 言

1998年，MIT小組首次在純光阱中實(shí)現(xiàn)了23Na的玻色愛(ài)因斯坦凝聚體（Bose-Einstein con-densate，BEC），釋放了原子由于具有超精細(xì)自旋而存在的內(nèi)部自由度，相當(dāng)于第一次實(shí)現(xiàn)了旋量BEC［1］.隨后實(shí)驗(yàn)上相繼實(shí)現(xiàn)了自旋-1和2的23Na和87Rb凝聚［2-4］及自旋-3的52Cr凝聚［5］.具有自旋的超冷原子間存在短程各向同性的自旋交換作用和長(zhǎng)程各向異性的磁偶極-偶極相互作用.這兩種相互作用以及它們之間的競(jìng)爭(zhēng)引起了各種豐富的磁效應(yīng).目前，偶極旋量BEC的理論研究主要集中于較簡(jiǎn)單的自旋-1或偶極作用較強(qiáng)的自旋-3情況.本文主要介紹偶極自旋-1BEC在平均場(chǎng)方法下的基態(tài)相圖，然后用這種方法分析并比較自旋-2和混合自旋-1凝聚體中的偶極效應(yīng).以此研究偶極作用的普遍性質(zhì)及在各旋量凝聚體中的具體表現(xiàn)，有助于實(shí)驗(yàn)上量子磁相變的探測(cè)及技術(shù)上磁效應(yīng)的應(yīng)用.

1 模 型

考慮N個(gè)自旋為f的玻色冷原子組成的系統(tǒng).由于自旋，兩兩原子間具有自旋交換作用，此作用可以用接觸贗勢(shì)表示為

式中：r1，r2為兩原子的位置；Pf是對(duì)應(yīng)自旋f的投影算符，不同f時(shí)Pf有不同的具體形式；相互作用參數(shù)gf=4πh2af／M，af是f通道的s-波散射長(zhǎng)度，M是原子質(zhì)量［6］.令＾ψα（r）（α=0，…，±f）為場(chǎng)算符，它表示在位置r處湮滅一個(gè)磁量子數(shù)為α的玻色子，上述自旋交換作用對(duì)應(yīng)的哈密頓量為

自旋使得原子具有偶極矩μ=-gμBF，這里g為朗德因子，μB為玻爾磁子，F(xiàn)=（Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z）表示自旋角動(dòng)量，其矩陣元為Fαβ.兩兩原子間便存在偶極-偶極相互作用，其作用勢(shì)為

式中：r12=r1-r2，e=r12／|r12|；μ0是真空磁導(dǎo)率.令cd=μ0g2μ2B／（4π），偶極相互作用部分的哈密頓量便表示為

當(dāng)粒子數(shù)N較大時(shí)，可以采用平均場(chǎng)方法并作單模近似（簡(jiǎn)稱(chēng)為平均場(chǎng)近似），即令＾ψα（r）≡φ（r）ζα，這 里φ（r）滿(mǎn) 足 粒 子 數(shù) 歸 一 化 條 件滿(mǎn)足自 旋守 恒 條 件

平均場(chǎng)近似下偶極作用哈密頓量為

下面給出不同自旋情況下系統(tǒng)的總哈密頓量形式并分析其基態(tài)性質(zhì).

2 自旋-1BEC

對(duì)于f=1原子，Vc=c0+c2F1·F2且c0=（g0+2g2）／3，c2=（g2-g0）／2［6］.平均場(chǎng)近似下，自旋交換作用哈密頓量為

令（c2／2）∫d r|φ（r）|4=c并忽略自旋無(wú)關(guān)c0項(xiàng)，系統(tǒng)總自旋相關(guān)哈密頓量為

這里考慮的是總自旋相關(guān)能量，忽略了原子的動(dòng)能、外勢(shì)能等.

利用自旋-1矩陣和并令2θ0，可以得到自旋相關(guān)的能量泛函

引入拉格朗日乘子λ，對(duì)泛函X=H1（x，y，z）-λg（x，y，z）進(jìn)行最小化，并利用守恒條件g（x，y，z）=x2+y2+z2-1=0，便 得 到 全 部可能的自旋相和相應(yīng)的能量.當(dāng)自旋態(tài)為eiθ+（1，1，0）和eiθ-（0，0，1）時(shí)能量為e+2d；當(dāng)自旋態(tài)為時(shí)能量為0；當(dāng)自旋態(tài) 為時(shí) 能 量 為這里

由此得到，不考慮偶極作用時(shí)，d=0，系統(tǒng)只有兩個(gè)相，相邊界為c=0，見(jiàn)圖1（a）.當(dāng)c＞0，磁矩m=x2-z2=1，系統(tǒng)處于鐵磁相（F）；當(dāng)c＜0，磁矩m=x2-z2=0，系統(tǒng)處于反鐵磁相或極化相（P）.考慮偶極作用d≠0，則會(huì)出現(xiàn)三個(gè)相.偶極作用解除了鐵磁態(tài)的簡(jiǎn)并，將F相分成兩個(gè)相，易于平面各向異性的相F1和易于軸向各向異性的相F2，相邊界為d=0.相F1與相P的邊界為c-d=0，相F2與相P的邊界為c+2d=0，如圖1（b）.這與文獻(xiàn)［7］用量子方法得到的結(jié)果相同，偶極作用破壞了無(wú)偶極系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性并引入磁性各向異性.

圖1 自旋-1BEC基態(tài)相圖 Fig.1 Ground state phase diagram of spin-1 BEC

3 自旋-2BEC

當(dāng)f=2時(shí)，自旋相互作用勢(shì)成為Vc=α+βF1·F2+5γP0.平均場(chǎng)近似下的自旋相互作用哈密頓量為

通過(guò)對(duì)基態(tài)能量泛函極小化，可以得到當(dāng)d=0時(shí)，由c1，c2參數(shù)決定了系統(tǒng)存在鐵磁相（F）、極化相（P）和循環(huán)相（C），如圖2所示.而d≠0的作用只是將c1變?yōu)閏1+2d，即只是平移了F-P邊界與F-C邊界，而對(duì)P-C邊界沒(méi)有影響.對(duì)于自旋-2原子，一個(gè)爭(zhēng)論是87Rb原子的基態(tài)處于F相還是C相.而偶極作用的效應(yīng)相對(duì)比較小，見(jiàn)圖2.它因此無(wú)益于87Rb原子的爭(zhēng)論，但偶極作用也許對(duì)自旋-283Rb原子的基態(tài)有重大影響，因?yàn)閷?shí)驗(yàn)中83Rb原子的c2，c1數(shù)據(jù)約為（c2，c1）=（3.2，-0.8）×10-27J，這靠近F-C邊界且有較大值的d／c1≈［-0.59，1.18］.這個(gè)值是基于文獻(xiàn)［8］中a0，2，4=83.0，82.0，81.0（aB）所作估算并假設(shè)83Rb與87Rb同樣的原子數(shù)和密度.期望以后的精確實(shí)驗(yàn)可以驗(yàn)證自旋-283Rb在偶極作用下能否出現(xiàn)從相F到相C的轉(zhuǎn)變.

圖2 自旋-2BEC的基態(tài)相圖 Fig.2 Ground state phase diagram of spin-2 BEC

實(shí)驗(yàn)上最早觀察到偶極作用比較大的自旋-352Cr凝聚體的偶極效應(yīng)［5］.由于自旋-1和自旋-2凝聚體中的偶極作用較弱，一直以來(lái)觀察比較困難.最近Marti等人在探測(cè)自旋-187Rb的鐵磁態(tài)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了磁振子質(zhì)量增加的現(xiàn)象［9］.此現(xiàn)象在理論上可以用偶極作用來(lái)解釋?zhuān)?0］.該實(shí)驗(yàn)在旋量凝聚體的制備和束縛上采用常規(guī)的磁光阱，但在探測(cè)上采用對(duì)樣品損傷較小的原位（in situ）測(cè)量技術(shù)，所以測(cè)量結(jié)果更加精確從而能將微弱的偶極效應(yīng)顯示出來(lái).自旋-283Rb實(shí)驗(yàn)若采用此探測(cè)技術(shù)有望對(duì)上述F-C相作出判決.

4 混合旋量-1BEC

考慮兩種自旋-1凝聚體的混合物，如23Na與87Rb原子的混合物.其原子數(shù)分別為N1，N2，場(chǎng)算符分別為＾Ψ（r），＾Φ（r）.在平均場(chǎng)近似下，設(shè)它們滿(mǎn)足歸一化條件不同種自旋-1原子間的自旋交換作用為

同種自旋-1原子間的偶極-偶極作用為

定義C1β1／2=c11，C2β2／2=c22，C12β／2=c12，C12γ／2=c′12，cdCd1／2=d11，cdCd2／2=d22，cdCd12／2=d12，系統(tǒng)的總能為

考慮一特殊情況，當(dāng)〈F〉=〈Fz〉且同種原子內(nèi)部相互作用為0，式（16）變?yōu)?/p>

最小化能量泛函，如果沒(méi)有偶極作用，自旋交換作用會(huì)導(dǎo)致c′12-c12相圖中由相邊界c12=0和c12=c′12／3給出的PP、FF、CC和AA相［12］.前三個(gè)相類(lèi)似于自旋-2BEC中的P、F和C相.只有AA相沒(méi)有對(duì)應(yīng)者.偶極作用的效果是將c′12-c12相圖中的相邊界沿c12軸平移2d12，見(jiàn)圖3.圖中只考慮了種間偶極作用、種間自旋交換作用和單體配對(duì)作用，取d12／c12=［-0.5，1.0］.這表明偶極作用對(duì)混合自旋-1BEC的影響類(lèi)似于對(duì)自旋-2BEC的影響.

圖3 混合偶極自旋-1BEC的基態(tài)相圖 Fig.3 Ground state phase diagram for binary mixture of spin-1 BEC

5 總 結(jié)

本文研究了具有不同超精細(xì)自旋的偶極旋量BEC在不加外磁場(chǎng)下的基態(tài)性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)偶極作用破壞了無(wú)偶極系統(tǒng)磁性的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性，解除了鐵磁相的簡(jiǎn)并，并影響到鐵磁相和其它相的邊界.對(duì)于自旋-187Rb原子，偶極作用的影響是需要考慮的.對(duì)于自旋-287Rb原子，偶極作用的影響雖然可以忽略，但有助于理解其它高自旋混合BEC中的偶極作用效應(yīng).

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