等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

張喜超

一、教學(xué)目標(biāo)

1.學(xué)生通過幾個(gè)具體的數(shù)列求和的例子，描述出數(shù)列的前n項(xiàng)和的定義；并能解釋數(shù)列的前n項(xiàng)和的判定功能和性質(zhì)功能；

2.學(xué)生通過觀察幾個(gè)特殊數(shù)列的求和過程，對(duì)項(xiàng)數(shù)n的奇偶進(jìn)行分類討論，利用“配對(duì)”進(jìn)行求和；

3.學(xué)生通過比較與奇偶有關(guān)的“配對(duì)求和”，探究推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的一般方法，并得出等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式；

4.學(xué)生能根據(jù)具體問題的特點(diǎn)，正確選擇公式，解決一類“知三求二”的等差數(shù)列問題；

5.學(xué)生能利用Sn的判定功能，解決一類“已知Sn求an”的數(shù)列問題，并能選擇方法解決等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題；

6.學(xué)生能運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的有關(guān)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際應(yīng)用問題。

二、重、難點(diǎn)分析

重點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)。

難點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程及綜合應(yīng)用。

三、教學(xué)方法：

在教學(xué)策略上采用：以問題驅(qū)動(dòng)，層層鋪墊，由特殊到一般的方法啟發(fā)學(xué)生獲得公式的推導(dǎo)思路，并采用評(píng)價(jià)樣題的形式加強(qiáng)公式的掌握運(yùn)用。

四、教學(xué)流程設(shè)計(jì)

1.雙基回顧，溫故導(dǎo)新

【問題1】等差數(shù)列的定義：____________________________

【問題2】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式： _______________

【問題3】

（1）等差數(shù)列中中，若，則__________

（2）上面的問題用的是等差數(shù)列的哪條性質(zhì)？

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)鞏固有關(guān)等差數(shù)列的知識(shí)，為下面的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

2.創(chuàng)設(shè)情境，嘗試探究

【問題1】你能寫出嗎？它們各表示什么？

【問題2】Sn表示什么？它的表達(dá)式是什么？

【問題3】

（1）若，，則可以表示為_______

（2）=？an與Sn、Sn-1什么關(guān)系？

【評(píng)價(jià)樣題1】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求.

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)問題組，層層推進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生自主探究數(shù)列前n項(xiàng)和的判定功能和性質(zhì)功能：，為下面的學(xué)習(xí)做好鋪墊。設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)樣題1，加深對(duì)知識(shí)的理解和認(rèn)識(shí)。

問題探究二：

【問題4】你知道這個(gè)圖案一共花了多少寶石嗎？

設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)問題的設(shè)計(jì)，源于歷史，富有人文氣息；承上起下，探討高斯算法，并且由學(xué)生所熟知的問題引入，貼近學(xué)生的認(rèn)知水平，并激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究問題的熱情和積極性。

【問題5】S79=1+2+3+…+79=？

問題探究三：

【問題6】Sn=1+2+3+4+…+n=？

【問題7】能不能找到不分奇偶就能求和的方法？

設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生體驗(yàn)由特殊到一般的數(shù)學(xué)方法，初步感受倒序相加方法，進(jìn)一步鞏固把不同的數(shù)的數(shù)列求和問題轉(zhuǎn)化為相同的數(shù)的求和問題這一數(shù)學(xué)化歸思想。

【問題8】已知等差數(shù)列，試猜想前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式，并給予證明。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在合作、交流的探討氛圍中學(xué)會(huì)表述、傾聽、質(zhì)疑、答疑，體驗(yàn)成功的喜悅并養(yǎng)成一種既要敢于大膽猜想，又要勇于嚴(yán)密論證的科學(xué)精神。

【問題9】通項(xiàng)公式中an可以用a1， n， d來(lái)表示，那么你能用a1， n， d來(lái)表示Sn嗎？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生自己推導(dǎo)，有利于學(xué)生對(duì)兩個(gè)公式聯(lián)系的理解。

3.步步推進(jìn)，應(yīng)用公式

例1等差數(shù)列的公差為2，第20項(xiàng)a20=29，求前20項(xiàng)的和。

【評(píng)價(jià)樣題2】

（1）已知在等差數(shù)列中，，求

（2）已知在等差數(shù)列中，，求

（3）已知在等差數(shù)列中，，求a1和an

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)以致用，著重強(qiáng)調(diào)公式的選擇。主要通過方程的思想進(jìn)行基本量的運(yùn)算，注意理解格式和規(guī)范，并有意識(shí)的培養(yǎng)學(xué)生的表述能力。

4.綜合應(yīng)用，能力提升

例2.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為：

（1）這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？求出它的通項(xiàng)公式；

（2）求使得 最小的序號(hào)n的值。

【問題10】

（1）證明等差數(shù)列都有哪些方法？

（2）如何用Sn公式求an？

（3）數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，在已知通項(xiàng)公式an和前n項(xiàng)和公式Sn的條件下，如何求Sn的最小值？

【評(píng)價(jià)樣題3】

（1）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為，求使得Sn最大的序號(hào)n的值。

（2）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差為2，求使得Sn最小的序號(hào)n的值。

設(shè)計(jì)意圖：由于問題難度較大，學(xué)生獨(dú)立完成比較困難，所以設(shè)計(jì)梯級(jí)問題，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)前面所學(xué)內(nèi)容逐步分解完成。設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)樣題，對(duì)“已知Sn求an”以及前n項(xiàng)和的最值問題進(jìn)行鞏固。

5.反思評(píng)價(jià)，深化認(rèn)識(shí)

（1）閱讀整理部分

①課后閱讀課本，對(duì)照學(xué)案，認(rèn)真整理課堂筆記。

②針對(duì)學(xué)習(xí)目標(biāo)，總結(jié)自己這節(jié)課的收獲。

（2）課下練習(xí)：

必做題：課本練習(xí)A，B

選做題：

已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn是關(guān)于正自然數(shù)n

的二次函數(shù)，其圖象上有三個(gè)點(diǎn)A、B、C。求

數(shù)列的通項(xiàng)公式，并指出是否為等差數(shù)列，說(shuō)明理由。

研究性課題：有關(guān)銀行利息問題

1.課本例3

2.今年我們榮成二中喜遷新校，家屬樓也正在建設(shè)中。我校王老師按揭買房，向銀行貸款25萬(wàn)元，采取等額本金的還款方式，即每月還款額比上月減少一定的數(shù)額。2012年1月王老師第一次向銀行還款2348元，以后每月比上月的還款額減少5元，若以2012年1月銀行貸款利率為基準(zhǔn)利率（月利率5.5‰），那么到2031年12月最后一次還款為止，王老師連本帶利一共還款多少萬(wàn)元？

設(shè)計(jì)意圖：布置彈性作業(yè)以使各個(gè)層次的學(xué)生都有所收獲和發(fā)展，考慮到學(xué)生的實(shí)際情況設(shè)計(jì)一個(gè)思考題，使學(xué)有余力的同學(xué)的創(chuàng)造性得到進(jìn)一步的發(fā)揮；并設(shè)置研究性課題，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與、自主探究生活中的數(shù)學(xué)問題及應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和大膽實(shí)踐的科學(xué)精神。