基于ARMA 模型河北省地區(qū)收入總額的預(yù)測(cè)

董春慧

（河北聯(lián)合大學(xué) 研究生學(xué)院，河北 唐山 063000）

一、ARMA 模型簡(jiǎn)介

ARMA 模型（Auto－Regressive and Moving Average Model）是研究時(shí)間序列的重要方法。此模型是由自回歸模型簡(jiǎn)稱AR 模型與滑動(dòng)平均模型簡(jiǎn)稱MA 模型為基礎(chǔ)“混合”構(gòu)成的。AR 模型和MA模型都是其特例。

ARMA 模型是根據(jù)時(shí)間序列本身的數(shù)字特征，來尋找變量當(dāng)期值及誤差項(xiàng)之間的關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上對(duì)后期數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，是時(shí)間序列分析的常用模型。

ARMA 模型主要有兩種實(shí)際應(yīng)用：

（1）在市場(chǎng)研究中常用于長(zhǎng)期追蹤資料的研究。如Panel研究中用于消費(fèi)行為模式變遷研究。

（2）在零售研究中用于具有季節(jié)變動(dòng)特征的銷售量、市場(chǎng)規(guī)模的預(yù)測(cè)等。

二、ARMA 模型數(shù)據(jù)的引入

在首都北京周圍，近鄰天津的河北省是中國(guó)古代文明的發(fā)祥地之一，長(zhǎng)期以來一直是兵家必爭(zhēng)之地?，F(xiàn)在，河北資源豐富、交通便利、經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)，在全國(guó)占有很重要的地位，河北省近來一直致力于建設(shè)沿海經(jīng)濟(jì)發(fā)展的強(qiáng)省。河北省地區(qū)收入總額大體上能反映河北省的經(jīng)濟(jì)狀況。因此本文應(yīng)用ARMA模型對(duì)河北省地區(qū)收入總額的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。

本文采用的數(shù)據(jù)是河北省1978年到2011年的河北省地區(qū)收入總額，數(shù)據(jù)來源于河北省2011年的統(tǒng)計(jì)年鑒數(shù)據(jù)如下：其中Y代表河北省地區(qū)收入總額，如表1所示。

表1 河北省地區(qū)收入總額（1978－2011）

三、樣本的平穩(wěn)性檢驗(yàn)和處理

我們定義河北省地區(qū)收入總額序列為Y。首先我們用EVIEWS軟件對(duì)上述數(shù)據(jù)做了趨勢(shì)圖，如圖1所示，由河北省地區(qū)收入總額的趨勢(shì)圖可以看出，1978－2011年河北省地區(qū)收入總額具有明顯的上升趨勢(shì)，且到后期呈對(duì)數(shù)化增長(zhǎng)，特別是從1995年之后，增長(zhǎng)趨勢(shì)強(qiáng)勁，因此該序列是非平穩(wěn)的，不利于對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)化處理。

圖1 河北省地區(qū)收入總額的趨勢(shì)圖（1978－2011）

由上節(jié)分析，因此通過取對(duì)數(shù)來將指數(shù)趨勢(shì)轉(zhuǎn)化為線性趨勢(shì)，并將生成的新序列定義為L(zhǎng)Y，其線性圖如圖2所示。本文下面的分析都將采用LY進(jìn)行分析。

圖2 取對(duì)數(shù)后的河北省地區(qū)收入總額的趨勢(shì)圖（1978－2011）

傳統(tǒng)的回歸方法要求序列是平穩(wěn)的，但通常情況下經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，如果對(duì)非平穩(wěn)的序列進(jìn)行回歸會(huì)導(dǎo)致“虛假回歸”，這會(huì)直接導(dǎo)致分析結(jié)果無效。為了解決該問題，計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家提出了Phillips－Person（PP）單位根檢驗(yàn)法和Augmented Dick－ey－Fuller（ADF）單位根檢驗(yàn)法。本文選取ADF 檢驗(yàn)法進(jìn)行檢驗(yàn)。利用Eviews軟件對(duì)LY進(jìn)行檢驗(yàn)。獲得結(jié)果如表2所示。

表2 ADF檢驗(yàn)結(jié)果

如上表所示，序列LY都未通過ADF 檢驗(yàn)，同樣其一階差分也未通過ADF 檢驗(yàn)。但二階差分通過了ADF 檢驗(yàn)，即LY的二階差分LY2是平穩(wěn)序列。

四、模型的識(shí)別和建立

我們接下來要確定的是用AR（p）模型還是用MA（q）模型，或者是用AEMA （p，q）模型來估計(jì)平穩(wěn)的時(shí)間序列LY2。首先要做的是序列LY2的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖，圖形如圖3所示。

從圖中可以看出，自相關(guān)圖在K＝2之后都在隨機(jī)區(qū)間內(nèi)，從偏自相關(guān)圖可以看出K＝2之后都在隨機(jī)區(qū)間內(nèi)。我們采用李子奈和潘文清編著的《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)》上所講述的識(shí)別規(guī)則來對(duì)模型識(shí)別。即如果LY2t的偏自相關(guān)函數(shù)在p以后截尾則此序列是自回歸AR（p）序列，如果LY2t的自相關(guān)函數(shù)在q以后截尾，則此序列是移動(dòng)平均MA（q）序列。

所以考慮建立模型ARMA（2，2）ARMA（2，2）。ARMA（p，q）模型：如果時(shí)間序列Yt滿足：則稱時(shí)間序列Yt服從（p，q）階自回歸滑動(dòng)平均混合模型?；蛘哂洖棣眨˙）yt＝θ（B）εt。

圖3 LY2 的相關(guān)圖

用EVIEWS軟件建立模型ARMA（2，2）并對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，得到LYt的模型：LYt＝O．688228LYt－1＋0．336843LYT－2－1．003949et－1－0．252478Ut－2＋et，其中LYt＝d（d（lnYt））。

五、ARMA 模型檢驗(yàn)

現(xiàn)在對(duì)求得的模型的殘差進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)。

白噪聲檢驗(yàn)是70年代中期國(guó)際上新創(chuàng)立的無窮維Schwartz廣泛函數(shù)理論，應(yīng)用所嚴(yán)加安研究員是建立和完善該理論的數(shù)學(xué)框架的主要貢獻(xiàn)者之一，他與法國(guó)科學(xué)院通訊院士Meyer教授提出的框架被稱為Meyer－Yan 空間。他與Kondratiev等新近發(fā)表的論文建立了完善的無窮維非高斯分析的數(shù)學(xué)框架。今后擬在這方面進(jìn)行開拓性研究。由于白噪聲分析有深刻的物理背景，在量子物理中有著愈來愈深刻的應(yīng)用。

本文中白噪聲檢驗(yàn)則是對(duì)數(shù)據(jù)殘差序列進(jìn)行殘差檢驗(yàn)，如果殘差序列不是白噪聲序列，則需要對(duì)模型做進(jìn)一步的改進(jìn)，如果是白噪聲過程則接收估計(jì)得到的模型。檢驗(yàn)結(jié)果如下圖所示：

圖4 模型的白噪聲檢驗(yàn)結(jié)果

由圖4可知該模型的殘差是一個(gè)白噪聲過程，所以可以接受該模型。

六、利用求得的模型進(jìn)行預(yù)測(cè)

最終確定的是ARIMA （2，2）模型，現(xiàn)在用該模型來做接下來4年的河北省地區(qū)收入總額的預(yù)測(cè)。預(yù)測(cè)結(jié)果為2012－2015年河北省地區(qū)收入總額分別為29 594．52億元，35 798．80億元，41 850．53億元，49 890．21億元。

由軟件分析可知此種預(yù)測(cè)方法比較好地反映了增長(zhǎng)的趨勢(shì)，只是在預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)上也許與現(xiàn)實(shí)值會(huì)有一些差距，但差距是難免的。預(yù)測(cè)結(jié)果是通過軟件來生成的，越往后面預(yù)測(cè)區(qū)間越寬，即預(yù)測(cè)的年份越長(zhǎng)誤差越大。但是近一兩年的數(shù)據(jù)在不發(fā)生特別變化的情況下是可以參考的。

七、結(jié)論

本文一共分為七部分，分別為ARMA 模型簡(jiǎn)介，ARMA 模型數(shù)據(jù)的引入，樣本的平穩(wěn)性檢驗(yàn)和處理，模型的識(shí)別和建立，ARMA 模型的檢驗(yàn)，利用求得的模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)論。整體上運(yùn)用ARMA模型對(duì)河北省地區(qū)收入總額的數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析，預(yù)測(cè)了河北省未來收入狀況，得出河北省經(jīng)濟(jì)發(fā)展一片向好，未來發(fā)展?jié)摿薮蟮慕Y(jié)論。

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