高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的現(xiàn)狀分析及對策研究

陳燕鋒杭州市蕭山三中

高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的現(xiàn)狀分析及對策研究

陳燕鋒
杭州市蕭山三中

一、高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的現(xiàn)狀分析

當(dāng)前，不重視概念教學(xué)是一個(gè)比較普遍的現(xiàn)象，“一個(gè)定義，三個(gè)注意項(xiàng)”式的概念教學(xué)比比皆是，讓學(xué)生覺得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念枯燥乏味，影響了對數(shù)學(xué)概念的理解。先看我校高一備課組舉行的“同課異構(gòu)”教研活動(dòng)中兩位教師執(zhí)教的關(guān)于“函數(shù)的奇偶性”一課的案例片斷。

【教師甲】

師：前面我們研究了函數(shù)的單調(diào)性，同學(xué)們已經(jīng)知道函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，它在解決函數(shù)的問題中有著十分廣泛的應(yīng)用。今天這節(jié)課，我們要學(xué)習(xí)函數(shù)的另一個(gè)重要性質(zhì)——奇偶性。（板書課題：函數(shù)的奇偶性）

師：什么是函數(shù)的奇偶性呢？請大家打開課本第33和35頁，看教材中是怎么闡述的。（大約2分鐘后）

師：哪位同學(xué)說說看。

生1：設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)锳，如果對于任意的x?A，都有f（-x）=f（x），那么稱函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，如果對于任意的x?A，都有f（-x）=-f（x），那么稱函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)。（學(xué)生口述，教師板書）

師：很好！如果函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)或偶函數(shù)，它的定義域A應(yīng)該具有怎樣的特點(diǎn)？

生2：關(guān)于原點(diǎn)對稱。

師：說說你的理由。

生2：因?yàn)槿绻鹸?A，則只有-x?A，才能計(jì)算f（-x）。

師：真不錯(cuò)！如果函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)或偶函數(shù)，它的圖象又具有怎樣的特點(diǎn)呢？

生3：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱。

師：非常好！看來同學(xué)們已經(jīng)作了很好的預(yù)習(xí)。如果函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)或偶函數(shù)，我們就說函數(shù)y=f（x）具有奇偶性。函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的又一重要性質(zhì)，它在解決函數(shù)問題時(shí)有著十分廣泛的應(yīng)用。請大家看下面的問題。（投影顯示問題1、問題2、問題3和問題4）

（師生共同探討上述問題的解題思路和解題過程，深化對函數(shù)奇偶性的認(rèn)識和理解。）

【教師乙】

師：請同學(xué)們回顧上節(jié)課學(xué)習(xí)的函數(shù)單調(diào)性的定義、單調(diào)區(qū)間及判斷函數(shù)單調(diào)性的方法。

（學(xué)生回答略）

師：很好！下面我們研究函數(shù)的第二個(gè)性質(zhì)——奇偶性。

師：請同學(xué)們先看一個(gè)我們熟悉的函數(shù)f（x）=x2，計(jì)算f（1）與f（-1），f（2）與f（-2），f（3）與f（-3），能得出怎樣的結(jié)論？

生：對于y=x2，當(dāng)自變量取一對相反數(shù)時(shí)，y取同一值.f（x）= y=x2記，有，一般地，有f（-x）=-f （x）。

由此啟發(fā)學(xué)生得出奇（偶）函數(shù)的定義.強(qiáng)調(diào)：①定義本身蘊(yùn)含著函數(shù)的定義域必須是關(guān)于原點(diǎn)的對稱區(qū)間；②“定義域內(nèi)任一個(gè)”是指對定義域內(nèi)的每一個(gè)x；③判斷函數(shù)奇偶性最基本的方法是先看定義域，再用定義檢查f（-x）=f（x）（或f（-x）=-f （x））。

（以下是例題鞏固、數(shù)學(xué)應(yīng)用的環(huán)節(jié)）

從上面兩個(gè)案例不難看出當(dāng)前概念教學(xué)的現(xiàn)狀：

現(xiàn)狀一：一個(gè)定義三項(xiàng)注意

教師甲從上課開始到給出定義，總共花了不到10分鐘的時(shí)間，接著進(jìn)行運(yùn)用函數(shù)奇偶性的概念進(jìn)行解題的訓(xùn)練。對函數(shù)奇偶性這一概念建立的過程沒有很好地展開，為什么要研究函數(shù)的奇偶性？函數(shù)的奇偶性的定義為什么要這樣給出？…課堂中，教師不舍得在概念、定義的發(fā)生發(fā)展過程上花時(shí)間，認(rèn)為這樣“太虛”，不如讓學(xué)生多做幾個(gè)題目實(shí)在。因而概念教學(xué)常常用“一個(gè)定義三項(xiàng)注意”的方式，告訴學(xué)生定義的內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)幾個(gè)注意事項(xiàng)，然后就講例題、做練習(xí)。實(shí)踐表明，這樣的教學(xué)結(jié)果只能是機(jī)械模仿，不可能有理想的解題質(zhì)量和效率。

現(xiàn)狀二：無視學(xué)生認(rèn)知需求

教師乙讓學(xué)生通過對兩個(gè)特殊函數(shù)的研究，抽象出函數(shù)奇偶性的概念，符合特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律。但是，為什么要研究函數(shù)的奇偶性？為什么要計(jì)算f（1），f（-1），…？為什么要用這樣的方式給出函數(shù)奇偶性的定義？顯然，教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)和過程實(shí)施時(shí)，只是為了教而教，無視學(xué)生的認(rèn)知需求，其結(jié)果是忽視了構(gòu)成概念的基礎(chǔ)條件，留給學(xué)生更多的只是些文字和公式，所傳授的概念距離學(xué)生的理解和經(jīng)驗(yàn)太遠(yuǎn)，影響數(shù)學(xué)概念的掌握。

二、高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的對策研究

在概念的教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)，提高概念外化與內(nèi)質(zhì)抽象的思維質(zhì)辨力度呢？為此，筆者嘗試在概念形成的不同階段，選擇運(yùn)用不同的教學(xué)策略，供大家參考。

對策1：創(chuàng)設(shè)情境，感知概念

概念的感知是形成概念的前提，學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的感性認(rèn)識是通過教師的直觀教學(xué)方法獲得的。概念的引入是概念教學(xué)的關(guān)鍵，概念是抽象的、概括的，每一個(gè)概念的產(chǎn)生都有豐富的知識背景，形成準(zhǔn)確概念的首要條件是要讓學(xué)生獲得十分豐富和合乎實(shí)際的感性材料，在概念教學(xué)中，可以根據(jù)概念和學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)概念形成的問題情景，體會(huì)到數(shù)學(xué)概念引進(jìn)的必要性和必然性，讓學(xué)生有自己發(fā)現(xiàn)的感覺，幫助學(xué)生完成從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的過渡。

【案例1】“n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)”的概念教學(xué)片斷問題情境設(shè)計(jì)：

用動(dòng)畫創(chuàng)設(shè)情境，丙丙和丁丁在公園里種了8棵樹，假設(shè)每棵樹的成活率都為0.75，請思考以下兩個(gè)問題：（1）他們種的第一棵樹的成活和第二棵樹的成活相互之間有沒有與影響？8棵樹各自的成活與否相互之間有沒有影響？（2）所種的每一棵樹，可能出現(xiàn)哪些不同的結(jié)果？

進(jìn)一步創(chuàng)設(shè)情境，對比分析，感知概念。

在下列試驗(yàn)中，與丙丙和丁丁種樹試驗(yàn)具有共同特征的有（）

①某射手射擊一次，擊中目標(biāo)的概率是0.9，他連續(xù)射擊4次。

②姚明罰球的命中率是0.9，他連罰3次。

③一枚硬幣連續(xù)扔5次。（5枚硬幣一起扔出）

④袋中5個(gè)白球，3個(gè)紅球，有放回取球，每次取一個(gè)，連續(xù)3次。

⑤袋中5個(gè)白球，3個(gè)紅球，無放回取球，每次取一個(gè)，連續(xù)3次。

點(diǎn)評：通過以上情境設(shè)置，學(xué)生思考，教師引導(dǎo)感知，形成概念。師生共同歸納得出現(xiàn)象的共同點(diǎn)：在同樣條件下重復(fù)的進(jìn)行的一種試驗(yàn)；各次試驗(yàn)之間相互獨(dú)立，相互之間沒有影響；每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，即某事發(fā)生或不發(fā)生，并且任意一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的，揭示概念。

【感悟】教學(xué)時(shí)不要生硬地拋出概念，讓學(xué)生死記硬背，應(yīng)從實(shí)際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)情景，提出問題，通過與概念有明顯聯(lián)系、直觀性強(qiáng)的例子，使學(xué)生在對具體問題的體驗(yàn)中感知概念，形成感性認(rèn)識。比如；我們在講圓柱、圓錐、球的概念時(shí)，由于圓柱、圓錐、球?qū)儆谌S圖形，用平面直觀圖難免會(huì)造成視覺上的失真，我們可以借助教具、利用幾何畫板動(dòng)畫展示幫助學(xué)生理解，讓學(xué)生在活動(dòng)中思考、感悟和體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識的萌芽以及發(fā)生、發(fā)展的全過程，從而豐富學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

對策2：自主探索，生成概念

概念的生成過程教學(xué)就是讓學(xué)生參與和經(jīng)歷概念生成的整個(gè)思維過程。因此，在教學(xué)中，恰當(dāng)?shù)倪M(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，充分展示數(shù)學(xué)知識的形成過程，讓學(xué)生弄清概念的來龍去脈，認(rèn)識它的必要性和合理性，讓學(xué)生在體驗(yàn)中自主探究，生成概念，概念在其生成的過程中逐漸明朗化，可以更好的幫助學(xué)生深化對概念的理解，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用概念的意識和能力。

【案例2】“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”概念教學(xué)片段

第一步：在學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)問題，使學(xué)生體驗(yàn)新概念的一個(gè)具體背景。

師：前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓和雙曲線的有關(guān)知識，請同學(xué)們試解決下面問題：

（學(xué)生思考并動(dòng)筆，教師巡視，個(gè)別指導(dǎo)。）

生1：我利用平方化簡，但還沒有做出來。

師：該同學(xué)平方化簡，肯定可以得到答案，只是還需要一些時(shí)間，相信他一定能成功。

生2：上面式子表示兩點(diǎn)距離之和，根據(jù)橢圓定義可知，點(diǎn)軌跡是橢圓。

（學(xué)生紛紛表示生2的解法是正確的）

（學(xué)生認(rèn)為是雙曲線）

師：是雙曲線嗎？

生3：應(yīng)該是雙曲線的上半支。（由于第1題的解決對第2題有著提示和啟發(fā)作用，所以第2題幾乎所有學(xué)生都不再化簡了，自然地聯(lián)想到利用定義的解法中來，于是教師順勢拋出第3題。）

生4：從條件的含義看，似乎不是橢圓，也不像雙曲線。

師：到底軌跡是什么，生1解問題1的方法會(huì)給我們很好的啟示。

（學(xué)生再次化簡，片刻后，一直得到的軌跡是拋物線，因?yàn)樗姆匠淌浅踔幸呀?jīng)學(xué)過。）

第二步：剖析問題3條件的幾何意義，并推出是否具有一般性的結(jié)論。

師：若把條件中的“2”改成其他數(shù)字（非零），結(jié)果如何？

生5：軌跡仍然是拋物線，只是方程中的數(shù)字不同而已。

師：那么條件所表示的幾何意義又是什么呢？

第三步：類比推廣，從具體實(shí)例中抽象出拋物線的概念。

師：從問題3的分析中我們可以看出，滿足這些條件的軌跡都是拋物線。于是我們拋棄這些具體的位置和數(shù)據(jù)外殼，得出拋物線的定義。請哪位同學(xué)根據(jù)上面的等式，說出拋物線的定義。

生7：到定點(diǎn)的距離和到定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線。

師：不太準(zhǔn)確，應(yīng)該是在“平面內(nèi)”，接下來我們再用動(dòng)畫來演示一下這個(gè)定義下的軌跡

……

點(diǎn)評：本案例從學(xué)生已有知識出發(fā)，由易到難設(shè)計(jì)了3個(gè)問題，讓學(xué)生在問題解決的過程中自主探究，對比發(fā)現(xiàn)，逆向生成拋物線的定義，再結(jié)合多媒體動(dòng)畫演示，同學(xué)們經(jīng)歷了一次“發(fā)現(xiàn)”，“創(chuàng)造”的過程，給學(xué)生留下較深刻的印象，對此概念的理解也將更準(zhǔn)確更深刻。

【感悟】在教學(xué)中需要教師通過問題努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)，問題可以把學(xué)生帶入“憤”與“悱”的境地，幫助學(xué)生自主探究，理解數(shù)學(xué)概念的生成過程。

對策3：步步為營，理解概念

學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理性認(rèn)識是否初步形成，首先反映在對該概念的定義是否理解。學(xué)生認(rèn)識事物的過程，總是從具體到抽象，從個(gè)別到一般，這也是人類認(rèn)識事物的規(guī)律，因此，我們要遵照這一規(guī)律，通過問題串的設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生辨析，解剖概念，從而理解概念的內(nèi)涵和外延。

【案例3】函數(shù)周期的理解

函數(shù)的周期性和最小正周期是學(xué)生難以理解的概念，在學(xué)生了解其概念后，為了幫助學(xué)生準(zhǔn)確把握函數(shù)的函數(shù)周期性和最小正周期的外延，我設(shè)計(jì)了以下問題鏈，讓學(xué)生討論：

（1）函數(shù)y=a（a為常數(shù)）是周期函數(shù)嗎？y=a（a≠±2）呢？y=呢？

（2）函數(shù)y=sinx，x?[-2π，+∞）是周期函數(shù)嗎？最小正周期是多少？

函數(shù)y=sinx，（x?R且x≠kπ）呢？

（4）作出函數(shù)y=sinx，x?[-2π，3π）與y=sinx（x?R）的圖像。

點(diǎn)評：通過上述問題的研究，可以幫助學(xué)生弄清以下問題：（1）周期函數(shù)定義域的結(jié)構(gòu)特征；（2）最小正周期的存在狀況；（3）周期函數(shù)函數(shù)值的分布規(guī)律；（4）周期函數(shù)的圖像特征.在此基礎(chǔ)上，學(xué)生才能真正弄清周期函數(shù)、最小正周期的概念，

【感悟】在概念形成后，如何讓學(xué)生深入理解概念，在教學(xué)中，可以結(jié)合具體的事例詮釋概念的內(nèi)涵與外延。這里既可以設(shè)計(jì)“形似而神非”的個(gè)案來校正；也可以巧設(shè)“問題鏈”。在對“問題鏈”的辨析中，通過歸納、抽象、概括、提煉，循序漸進(jìn)，步步緊逼，使學(xué)生的認(rèn)識結(jié)構(gòu)從“了解”上升到“理清并掌握”的層面，讓學(xué)生經(jīng)歷著好奇、驚喜、迷惑、困頓，最后茅塞頓開，使學(xué)生體驗(yàn)一個(gè)‘自我否定’的過程，從而喚醒學(xué)生的悟性和靈感，以達(dá)到對數(shù)學(xué)概念真正的理解。

對策4：螺旋上升，內(nèi)化概念

教師在平時(shí)教學(xué)中，要在挖掘新概念的內(nèi)涵與外延的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生理解并鞏固概念。有些概念由于其內(nèi)涵豐富、外延廣泛等原因，很難一步到位，需要分成若干個(gè)層次，逐步加深提高。

【案例4】“曲線與方程”教學(xué)片斷

在得出“曲線與方程”的關(guān)系后，如何進(jìn)一步理解“曲線的方程”與“方程的曲線”這些概念的本質(zhì)，進(jìn)一步體驗(yàn)“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化與結(jié)合的思想方法。為此，教學(xué)中使用下面的例子，設(shè)計(jì)問題啟發(fā)學(xué)生思考，從正、反兩方面認(rèn)識一般

例1下列哪條曲線是方程x= ■1-y2的曲線？請說明理由。

例2下列哪個(gè)方程是下圖中曲線C（兩條相交直線：第一、三象限的直角平分線，第二、四象限的直角平分線）的方程？請說明理由。

A.x-y=0

B.x+y=0

C. x3-x2-xy2+y2=0

D.x2-y2=0

【感悟】一個(gè)概念的形成往往是螺旋式上升的，逐步深化的，一般要經(jīng)過具體到抽象，局部到整體，感性到理性的過程。教學(xué)中設(shè)計(jì)一些反例，讓學(xué)生通過正、反例的對比辨析、鑒別真?zhèn)?，從不同角度來認(rèn)識定義文字所隱含的內(nèi)容，從而達(dá)到“有比較才能鑒別，有鑒別才能深化認(rèn)識”的學(xué)習(xí)效果。

對策5：返璞歸真，升華概念

任何一門藝術(shù)的最高境界就是“返樸歸真”，張奠宙先生曾經(jīng)說過：“數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性關(guān)鍵在于對數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握、揭示和體驗(yàn)”。這種“對數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握、揭示和體驗(yàn)”只有在應(yīng)用中才能得到驗(yàn)證，在應(yīng)用的同時(shí)使得概念學(xué)習(xí)得到“升華”，從而讓學(xué)生的思維變得更開闊，更活躍，更富有活力。

【案例5】“古典概型”習(xí)題課教學(xué)片斷

問題：某信鴿訓(xùn)練場向甲、乙兩林區(qū)放飛4只鴿子，則甲林區(qū)剛好有一只鴿子的概率是多少？

生1：甲乙兩林區(qū)的鴿子數(shù)如右圖，甲林區(qū)剛好有一只鴿子是五種情形中的一種，故所求概率為1/5。

（顯然，該生錯(cuò)在對“等可能事件”的理解上，而且存在這種錯(cuò)誤理解的可能不止少部分學(xué)生，鑒于此，我并沒有立即評價(jià)，而是讓學(xué)生繼續(xù)考慮還有什么思路？略停一分鐘）

生2：每只鴿子有兩種放飛途徑，共有24=16種放飛方式，而甲林區(qū)有一只鴿子的方式只有4種。

故，所求概率為1/4！。（這時(shí)候?qū)W生發(fā)現(xiàn)兩個(gè)結(jié)論不一致?。?/p>

針對以上兩個(gè)結(jié)論，組織學(xué)生展開討論：

師：上述兩種思路，你能確定哪一種是錯(cuò)誤的？

生齊答：第一種！

師：為什么錯(cuò)？

生：（無語）

師：那我們分別按方法2的思路研究其它四種情形發(fā)生的概率：

師生共同討論產(chǎn)生下表：

甲林區(qū)鴿子數(shù)乙林區(qū)鴿子數(shù)0 4 1 3 2 2 3 1 4 0

情形 甲林區(qū)鴿子數(shù) 乙林區(qū)鴿子數(shù) 發(fā)生的概率1 0 4 1/16 2 1 4/16 3 2 2 6/16 4合計(jì)1 4/16 5 4 0 1/16 3 1 3

這時(shí)學(xué)生恍然大悟：情形1 ～5不是等可能事件，當(dāng)然概率不是1/5！

【感悟】以上過程讓學(xué)生更深層地領(lǐng)會(huì)到等可能事件發(fā)生的意義，在應(yīng)用中學(xué)生對“等可能事件”的認(rèn)識升華。數(shù)學(xué)概念的教學(xué)如果僅僅停留在記憶的層面上肯定不夠，還必須上升到抽象層面去理解應(yīng)用，在應(yīng)用中將抽象的定義轉(zhuǎn)換為具體的形態(tài)，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)概念才是數(shù)學(xué)解題的“靈魂”，引導(dǎo)學(xué)生感受和領(lǐng)悟隱含于概念形成中的思想方法，在概念的運(yùn)用和推廣中滲透數(shù)學(xué)思想方法，這才是概念生成的核心。

三、結(jié)束語

數(shù)學(xué)概念教學(xué)，不僅要讓學(xué)生明白一些原理，更要讓學(xué)生學(xué)會(huì)一種思維，一種對數(shù)學(xué)精神的領(lǐng)悟。成功的概念課，就如同一段美好的旋律，給人一種美好的體驗(yàn)，要讓學(xué)生體會(huì)前輩的心路歷程，探索先哲的數(shù)學(xué)思想，這才是數(shù)學(xué)教學(xué)的真諦，這才是數(shù)學(xué)育人功能的最好注釋。