算法初步中蘊(yùn)含的思想方法

劉慧

“算法初步”是新課程標(biāo)準(zhǔn)中的新增內(nèi)容，旨在使大家體會(huì)算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，培養(yǎng)條理思考與表達(dá)能力，提高邏輯思維能力. 這部分內(nèi)容，常與函數(shù)求值、方程求解、不等式求解、數(shù)列求和、統(tǒng)計(jì)量計(jì)算等問題結(jié)合交匯命題. 在算法初步中蘊(yùn)含了許多常見的數(shù)學(xué)思想，本文以近幾年的高考、統(tǒng)考試題為載體，進(jìn)行探究說明.

一、函數(shù)與方程的思想

例1 （1）如圖1所示的程序中，輸出的[S]的值為 .

（2）執(zhí)行圖2的程序框圖，若輸入的[ε]的值為0.25，則輸出[n]的值為 .

解析 本題重點(diǎn)考查賦值語句在框圖中的作用. 考查運(yùn)算求解能力以及分析問題、解決問題的能力.

（1）根據(jù)多次賦值的意義，有[a=5]，[b=6]，[c=6]，[∴S=5+6+6=17.]

（2）逐次計(jì)算的結(jié)果是F1=3，F(xiàn)0=2，n=2；F1=5，F(xiàn)0=3，n=3，此時(shí)輸出，故輸出結(jié)果為3.

點(diǎn)撥 要深刻理解算法語句中的賦值語句和變量，必須運(yùn)用函數(shù)的思想去體會(huì). 輸入、輸出和賦值語句是任何一個(gè)算法中必不可少的語句. 在賦值語句中，一定要注意其格式的要求. 將賦值號(hào)右邊的表達(dá)式的值賦給賦值號(hào)左邊的變量；變量的值始終等于最近一次賦給它的值，先前的值將會(huì)被替換. 算法初步中通常會(huì)遇到賦值語句與幾個(gè)常用變量，如計(jì)數(shù)變量、累加變量和累乘變量. 而明確賦值語句的功能和變量的作用，實(shí)質(zhì)就是要運(yùn)用函數(shù)與方程的思想來理解.

二、分類討論的思想

例2 閱讀圖3所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的結(jié)果[i=] .

解析 本題考查程序框圖，意在考查同學(xué)們對(duì)程序框圖中的三種結(jié)構(gòu)的掌握情況. 重點(diǎn)考查條件結(jié)構(gòu)的辨識(shí)與運(yùn)用.

[a=10≠4]且[a]是偶數(shù)，則[a=102=5]，[i=2]；

[a=5≠4]且[a]是奇數(shù)，則[a=3×5+1=16]，[i=3]；

[a=16≠4]且[a]是偶數(shù)，則[a=162=8]，[i=4]；

[a=8≠4]且[a]是偶數(shù)，則[a=82=4]，[i=5].

所以輸出的結(jié)果是[i=5].

點(diǎn)撥 本題主要考查條件結(jié)構(gòu)，根據(jù)指定條件選擇執(zhí)行不同指令的控制結(jié)構(gòu)，需要運(yùn)用分類討論的思想來解決. 算法初步中的條件結(jié)構(gòu)的應(yīng)用，是考查的熱點(diǎn)，它通常與分類討論的思想緊密地聯(lián)系在一起. 利用條件結(jié)構(gòu)解決算法問題時(shí)，要引入判斷框，根據(jù)題目的要求引入一個(gè)或多個(gè)判斷框，而判斷框的條件不同，對(duì)應(yīng)的下一個(gè)程序框中的內(nèi)容和操作也相應(yīng)地發(fā)生變化，故要逐個(gè)分析判斷框內(nèi)的條件，分類討論.

三、變換與轉(zhuǎn)化的思想

例3 執(zhí)行如圖4所示的程序框圖，如果輸入的[x，y∈R]，那么輸出的[S]的最大值為（ ）

[開始] [輸出[S]] [結(jié)束] [輸入x，y] [是][否]

圖4

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

解析 [x≥0，y≥0，x+y≤1，]由線性規(guī)劃的圖解法知，目標(biāo)函數(shù)[S=2x+y]的最大值為2，否則，[S]的值為1. 所以輸出的[S]的最大值為2.

答案 C

點(diǎn)撥 根據(jù)算法框圖所表達(dá)的意義，將其轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解.

例4 執(zhí)行如圖5所示的程序框圖，若輸出[k]的值為6，則判斷框內(nèi)可填入的條件是（ ）

[開始] [輸出[k]] [結(jié)束] [是][否]

圖5

A. [S>12？] B. [S>35？]

C. [S>710？] D. [S>45？]

解析 此題重點(diǎn)考查程序框圖的補(bǔ)全. 程序框圖的執(zhí)行過程如下：[S=1]，[k=9]；[S=910]，[k=8]；[S=910×89=810]，[k=7]；[S=810×78=710]，[k=6]，循環(huán)結(jié)束. 故可填入的條件為“[S>710？]”.

答案 C

點(diǎn)撥 解答這類題目時(shí)，一定要理解掌握各種框圖的作用，特別要注意問題表述與框圖表示之間的相互轉(zhuǎn)化.

例5 如圖6是一個(gè)算法流程圖，則輸出的[n]的值是 .

[開始] [否] [輸出[n]] [是] [結(jié)束]

圖6

解析 此題重點(diǎn)考查程序框圖的執(zhí)行問題. 根據(jù)框圖可知，程序框圖的功能是輸出不等式2n>20的最小整數(shù)解. 所以，由2n>20的整數(shù)解為[n≥5]，故輸出[n=5].

點(diǎn)撥 讀懂程序框圖，識(shí)別處理的問題，運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想，將其化歸為不等式的求解問題.

例6 如果執(zhí)行如圖7所示的程序框圖，那么輸出的值為 .

[開始] [否] [輸出[S]] [是] [結(jié)束]

圖7

解析 解決一些有規(guī)律的科學(xué)計(jì)算問題，往往利用循環(huán)結(jié)構(gòu)進(jìn)行考查. 在數(shù)列[{an}]中，[an=cosnπ3]，[a1=12]，[a2=-12]，[a3=-1]，[a4=-12]，[a5=12]，[a6=1]，該數(shù)列是以6為周期的數(shù)列，且其前6項(xiàng)和等于0. 注意到2014=6×335+4，因此其前2014項(xiàng)和等于335×0+[12]-[12]-1-[12]=[-32]，結(jié)合題中的程序框圖得知，最后輸出的值等于數(shù)列[{an}]的前2014項(xiàng)和，即等于[-32].

點(diǎn)撥 讀懂算法框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)列求和，三角函數(shù)周期等相關(guān)的問題. 高考對(duì)算法的考查集中在程序框圖，特別是帶有循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，主要通過數(shù)列求和、求積，統(tǒng)計(jì)中的平均數(shù)、方差的計(jì)算，函數(shù)值的計(jì)算等帶有解決算法的交匯性問題設(shè)計(jì)試題. 解決的方法是讀懂程序框圖中的計(jì)數(shù)變量和累加變量的關(guān)系，弄清循環(huán)結(jié)束的控制條件，通過逐步運(yùn)算模擬程序的計(jì)算方法，明確交匯知識(shí)，運(yùn)用變換與轉(zhuǎn)化的思想找到問題的本質(zhì)，將其解決.

四、建模的思想

例7 如果執(zhí)行圖8中的程序框圖，輸入正整數(shù)[N][（N≥2）]和實(shí)數(shù)[a1，a2，…，an]，輸出A，B，則（ ）

A. A+B為[a1，a2，…，an]的和

B. 為[a1，a2，…，an]的算術(shù)平均數(shù)

C. A和B分別是[a1，a2，…，an]中最大的數(shù)和最小的數(shù)

D. A和B分別是[a1，a2，…，an]中最小的數(shù)和最大的數(shù)

[是] [結(jié)束] [否][是] [輸入[N，a1，a2，…，aN]] [x>A] [x>A] [x

圖8

解析 對(duì)較為復(fù)雜的算法框圖功能識(shí)別的考查. 結(jié)合題中程序框圖，由當(dāng)[x>A]時(shí)[A=x]可知[A]應(yīng)為[a1，a2，…，an]中最大的數(shù)，由當(dāng)[x

點(diǎn)撥 此題重點(diǎn)考查算法框圖功能的識(shí)別，撥開迷霧看清本質(zhì). 算法框圖功能的識(shí)別是算法初步中考查的重點(diǎn). 為解決此類問題，先弄清變量的初始值；再按照從上到下或從左到右的順序，依次對(duì)每個(gè)語句，每個(gè)判斷框進(jìn)行讀取，在讀取判斷框時(shí)，應(yīng)注意判斷后的條件分別對(duì)應(yīng)著什么樣的結(jié)果，然后按照對(duì)應(yīng)的結(jié)果繼續(xù)往下讀取算法框圖，或根據(jù)規(guī)律總結(jié)出該算法框圖的功能. 認(rèn)真分析，聯(lián)想，建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型. 運(yùn)用建模的思想不失為解決此類問題的一種好方法.

[練習(xí)]

1. 圖9是某地區(qū)參加2014年高考的學(xué)生身高的條形統(tǒng)計(jì)圖，從左至右的各條形圖表示的學(xué)生人數(shù)依次記為A1，A2，A3，…，A10，如A2表示身高（單位：cm）在[150，155）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)，圖10是圖9中統(tǒng)計(jì)身高在一定范圍內(nèi)學(xué)生人數(shù)的一個(gè)算法程序框圖. 現(xiàn)要統(tǒng)計(jì)身高在[160，180）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)，那么流程圖中判斷框內(nèi)整數(shù)[k]的值為 .