電學(xué)中的對(duì)稱美及其在高職電工基礎(chǔ)教學(xué)中的運(yùn)用

徐 茜

（深圳職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣東 深圳 518055）

科學(xué)的本質(zhì)是“真、善、美”，這種科學(xué)美，歷來(lái)為科學(xué)大師所推崇，法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利·龐加萊（Jules Henri Poincaré，1854-1912）曾說(shuō)：“一個(gè)名符其實(shí)的科學(xué)家，尤其是數(shù)學(xué)家，他在自己的工作中體驗(yàn)到和藝術(shù)家一樣的印象。他的樂(lè)趣和藝術(shù)家的樂(lè)趣具有同樣的性質(zhì)，是同樣偉大的東西?！盵1]這種科學(xué)美在電工基礎(chǔ)理論中也有明顯表現(xiàn)，電工基礎(chǔ)理論所揭示的真理是真與美的統(tǒng)一。對(duì)稱美是電工基礎(chǔ)理論中常見的美學(xué)的特征，分析和探討電工基礎(chǔ)理論的對(duì)稱美學(xué)特征，并把它應(yīng)用到高職教學(xué)中，對(duì)于改進(jìn)教學(xué)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓寬思路改善思維方式有重要作用。

1 電工基礎(chǔ)理論中的對(duì)稱美

對(duì)稱（偶）性普遍存在于宇宙之中，在日常生活中處處都可見到對(duì)稱，潔白的雪花，彩色的蝴蝶，絢麗的花瓣等無(wú)不呈現(xiàn)出妙趣天成的對(duì)稱性。人們對(duì)于對(duì)稱性美的體驗(yàn)，來(lái)自對(duì)于人體、動(dòng)物、植物、山川、河流等外形美的觀感上，自然美的外觀表現(xiàn)是自然美的形式美。在中國(guó)的國(guó)粹文化中，對(duì)稱美具有獨(dú)特的地位，中國(guó)的建筑、繪畫、詩(shī)歌、楹聯(lián)、圖章、書法等，都閃耀著對(duì)稱美的光輝。對(duì)稱性的美學(xué)價(jià)值是一個(gè)神秘而有趣的現(xiàn)象。

電路是由電氣器件相互連接而構(gòu)成的，具有傳輸電能、處理信號(hào)、測(cè)量、控制等功能。我們知道，分析集總參數(shù)電路，主要是基于兩類約束方程的求解，一類是元件約束方程，一類是電路結(jié)構(gòu)約束方程（或拓?fù)浼s束方程）。元件約束是構(gòu)成電路的每個(gè)元件上的電壓電流關(guān)系或稱伏安特性，如線性電阻元件，其元件約束滿足歐姆定律 u=Ri；結(jié)構(gòu)約束是電路的連接關(guān)系確定后，各元件的電流之間或電壓之間受到的約束關(guān)系，表示這類約束關(guān)系的是基爾霍夫定律，它只與電路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有關(guān)，即對(duì)任意一個(gè)結(jié)點(diǎn)，與結(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)的支路電流滿足基爾霍夫電流定律 ∑i=0，對(duì)任意回路，與回路關(guān)聯(lián)的各部分電壓滿足基爾霍夫電壓定律 ∑u=0。

在電路分析中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象，一些電路變量、元器件、電路結(jié)構(gòu)乃至電路定律定理等會(huì)成對(duì)出現(xiàn)，其間會(huì)存在明顯的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種特性稱為電路的對(duì)稱（偶）性。比如電壓u和電流i、電阻R和電導(dǎo)G、感抗和容抗、阻抗Z和導(dǎo)納Y、電感L與電容C、電壓源和電流源、VCCS和CCVS、VCVS和CCCS、網(wǎng)孔（回路）和結(jié)點(diǎn)、串聯(lián)和并聯(lián)、開路和短路、分壓和分流、基爾霍夫電流定律和電壓定律、戴維南定理和諾頓定理等等。顯然，線性電阻的伏安關(guān)系為u=Ri，線性電導(dǎo)的伏安關(guān)系為i=Gu，兩個(gè)關(guān)系式中，如果u和i、R和G互換，則兩個(gè)關(guān)系式可以互相轉(zhuǎn)換。同樣的，基爾霍夫電流定律表述為：對(duì)任意結(jié)點(diǎn)，有約束關(guān)系∑i=0，基爾霍夫電壓定律表述為：對(duì)任意回路（網(wǎng)孔），有約束關(guān)系 ∑u=0，如果結(jié)點(diǎn)和回路、i和 u互換，則兩個(gè)約束關(guān)系也可以互換。由于電路分析的兩類約束關(guān)系均存在這種互換性，可以推論，電路分析中，由這兩類約束關(guān)系推導(dǎo)得到的電路定理、電路分析方法等也存在這種互換性。上述具有這種一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以互換的元素稱為對(duì)偶元素。

電路中某些元素之間的關(guān)系（或方程），用他們的對(duì)偶元素對(duì)應(yīng)地置換后，所得到的新關(guān)系（或方程）也一定成立，這個(gè)新關(guān)系（或方程）與原有的關(guān)系（或方程）互為對(duì)偶，這就是電路中有著美學(xué)特性的重要理論對(duì)偶原理[2]。

2 教學(xué)實(shí)踐中對(duì)稱美學(xué)的運(yùn)用

高等職業(yè)技術(shù)院校各專業(yè)電工課程，并未將電路理論的對(duì)偶原理納入課程教學(xué)大綱，但這并不影響我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中，很自然地引入哲學(xué)和美學(xué)范疇的“對(duì)偶（稱）”概念，它本身是一種自然的屬性，比如：遠(yuǎn)近、高低、圓缺、胖瘦、大小、東西、男女、美丑、開關(guān)、增減、升降、上下、陰陽(yáng)等等，對(duì)偶（稱）現(xiàn)象無(wú)處不在，而且因?yàn)樾纬蓪?duì)偶的兩個(gè)元素之間對(duì)比強(qiáng)烈，給大腦留下深刻印記，對(duì)偶在中國(guó)詩(shī)文中，常表現(xiàn)為對(duì)仗為大眾喜愛。

首先，通過(guò)引入對(duì)偶概念，加深對(duì)一些抽象電路概念的理解記憶。電路中，用足以反映其電磁特性的理想元件及其組合來(lái)模擬實(shí)際電路中的器件，即電路模型，其中，電阻R、電感L、電容C和電壓源模型的概念相對(duì)容易接受，而電流源是一個(gè)新的概念，因?yàn)樯钪袩o(wú)從體驗(yàn)，所以顯得更抽象。我們可以從相對(duì)熟悉的電感元件L和電容元件C引出對(duì)偶概念，L和C一個(gè)儲(chǔ)存磁場(chǎng)能，一個(gè)儲(chǔ)存電場(chǎng)能，磁場(chǎng)和電場(chǎng)是一對(duì)對(duì)偶量，L和C是一對(duì)對(duì)偶元件，進(jìn)而提出，電壓源和電流源也存在對(duì)偶關(guān)系，電壓和電流也是對(duì)偶量。我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)偶概念不僅反映在電路元件對(duì)偶（對(duì)偶元件）、電路結(jié)構(gòu)對(duì)偶、電路特性對(duì)偶，也反映在電路定律和定理中，它是電路中普遍存在的現(xiàn)象。借助對(duì)偶概念，我們可以很自然地引入與電阻R對(duì)偶的一個(gè)電路元件電導(dǎo)G，以及歐姆定律對(duì)偶形式u=Ri和 i=Gu，發(fā)現(xiàn)基爾霍夫電壓定律和電流定律是一個(gè)對(duì)偶的結(jié)論∑i=0和∑u=0。

在電工教學(xué)中，我們一開始就自然引入對(duì)偶概念，不僅能加強(qiáng)對(duì)抽象概念的記憶，同時(shí)也能從宏觀上把握電路的規(guī)律性，讓初學(xué)者賞心悅目，感受到電學(xué)之美，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。電路中常見對(duì)偶元素見表1。

其次，在電路分析中不斷強(qiáng)化應(yīng)用電學(xué)美學(xué)特性。如圖1所示，電阻的串、并聯(lián)電路，分析圖1（a）電路，得到，等效電阻 R=R1+R2，分壓公式：對(duì)于圖1（b）電路，只要分析說(shuō)明它與圖1(a) 的對(duì)稱（偶）關(guān)系，電路結(jié)構(gòu)對(duì)稱：并聯(lián)對(duì)串聯(lián)；電路變量對(duì)稱：電流對(duì)電壓；電路功能對(duì)稱：分流對(duì)分壓；電路元件的對(duì)稱：電導(dǎo)對(duì)電阻。并聯(lián)電路中的電阻常用電導(dǎo)參數(shù)表示，即G1=1/R1，G2=1/R2 ，這樣做的理由，僅僅是為了讓兩個(gè)電路完全對(duì)稱起來(lái)。于是得到圖1（b）電路等效電導(dǎo)G=G1+G2，分流公式：

表1 電路常見對(duì)偶元素一覽

圖1 電阻串、并聯(lián)電路

這里，重點(diǎn)是對(duì)電路對(duì)稱（偶）特性的認(rèn)識(shí)，方便記憶分壓分流公式，而且，這個(gè)結(jié)論可以推廣至n個(gè)電阻（導(dǎo)）串（并）聯(lián)的情況。

另外，借助電路對(duì)稱（偶）性特性，可以加深對(duì)電路抽象概念的理解。例如，電路模型中，有理想電壓源，自然就會(huì)有理想電流源。一個(gè)實(shí)際電源，可以用理想電壓源和一個(gè)電阻串聯(lián)來(lái)表示，與之對(duì)應(yīng)，一個(gè)實(shí)際電源也可以用一個(gè)理想電流源和一個(gè)電導(dǎo)并聯(lián)來(lái)表示，這樣，可以自然而然地引出實(shí)際電源的兩種電源模型等等。在教學(xué)中，不斷地發(fā)現(xiàn)、認(rèn)識(shí)、應(yīng)用電路的對(duì)稱（偶）性、統(tǒng)一性等美學(xué)特性，達(dá)到事半功倍的效果。

3 幾點(diǎn)討論

3.1 從美學(xué)的觀點(diǎn)考察電學(xué)有利于思維方式的多樣化

現(xiàn)代科學(xué)是以概念為中心依靠邏輯推理建立起來(lái)的理論體系，電學(xué)也不例外，通過(guò)這套體系的嚴(yán)格邏輯性保證了電學(xué)的可靠性。但從美學(xué)的觀點(diǎn)考察電學(xué)，提供另外一個(gè)相對(duì)直觀的思維方式與觀察方法，有利于促進(jìn)研究和教學(xué)的多樣化。

就電學(xué)中的對(duì)稱美來(lái)說(shuō)，對(duì)偶原理的本質(zhì)是電路中對(duì)應(yīng)的對(duì)偶元素互換后，相應(yīng)的數(shù)學(xué)方程（模型）是不變的，所以方程的解不變。它是電網(wǎng)絡(luò)理論中重要的電路定理。教學(xué)實(shí)踐中，我們更注重其在思維方法上的指導(dǎo)作用。通過(guò)對(duì)電路對(duì)偶元素的認(rèn)識(shí)，運(yùn)用對(duì)偶關(guān)系，使學(xué)生對(duì)基本概念、電路分析方法、電路定律、電路定理有更好的理解，記憶更牢固。在教學(xué)中，啟發(fā)學(xué)生善于比較分析，及時(shí)總結(jié)發(fā)現(xiàn)規(guī)律性的東西。

3.2 電工中的美學(xué)概念尚有許多可以深挖之處

除了對(duì)稱美的現(xiàn)象與概念之外，電學(xué)還有許多美學(xué)現(xiàn)象與概念可以進(jìn)一步研究和探討。和諧統(tǒng)一性美就是一個(gè)例子。和諧是事物在矛盾對(duì)立的諸多因素相互作用下實(shí)現(xiàn)的統(tǒng)一。人的和諧感覺是與自然的和諧規(guī)律相統(tǒng)一的，它是一個(gè)合理的自然的運(yùn)作規(guī)律。和諧統(tǒng)一是指由于相互之間恰到好處在整體上呈現(xiàn)出的協(xié)調(diào)，給人以統(tǒng)一、自洽、對(duì)應(yīng)的美感。電學(xué)中的和諧美主要體現(xiàn)在電工理論形式與內(nèi)容的統(tǒng)一、電路定律形式簡(jiǎn)單、內(nèi)涵豐富、和諧統(tǒng)一。形式的統(tǒng)一性，就是美的事物在外在形式所具有的相對(duì)獨(dú)立的審美特性。

直流電路中，元件約束方程的形式，即歐姆定律U=RI（直流電路中，電感L、電容C分別視為短路和開路）；電路拓?fù)浼s束方程的形式，即基爾霍夫電流定律和電壓定律：∑I=0（對(duì)任意結(jié)點(diǎn)），∑U=0（對(duì)任意回路）。電路分析實(shí)際上是一組線性代數(shù)方程的求解。

正弦交流穩(wěn)態(tài)電路中，電感L、電容C不再被視為短路和開路，和電阻R類似，L、C在電路中對(duì)電流也有“阻礙”作用，很顯然這種“阻礙”作用的特性與電阻R是不一樣的。時(shí)域中，對(duì)電阻R，其元件約束方程依然是歐姆定律u=Ri，對(duì)電感L，其元件約束方程為對(duì)電容C，其元件約束方程為電路拓?fù)浼s束方程依然是基爾霍夫定律 ∑i=0 （對(duì)結(jié)點(diǎn)）和∑u=0 （對(duì)回路），因此，正弦穩(wěn)態(tài)電路分析實(shí)際上是常系數(shù)n階微分（積分）方程的求解（其特解）。微分方程的求解比線性代數(shù)方程組求解繁雜得多，為此，正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析常用相量法。相量法本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)變換，通過(guò)變換，建立時(shí)域的正弦量與相量域的相量的對(duì)應(yīng)關(guān)系。我們發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用相量法，正弦穩(wěn)態(tài)電路兩類約束方程在形式上與直流電路是相似的：元件約束方程I&Z （對(duì)電阻Z=R，對(duì)電感Z=jwL，對(duì)電容稱為相量形式歐姆定律；同樣地，電路拓?fù)浼s束方程：∑I=0（對(duì)結(jié)點(diǎn)），∑0=（對(duì)回路），稱為相量形式基爾霍夫定律。兩類約束方程形式上的高度統(tǒng)一性，使得用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路時(shí)，直流電路中的所有分析方法、電路定理等可以直接引用。這充分展現(xiàn)了電工理論簡(jiǎn)潔、和諧統(tǒng)一之美。

3.3 從美學(xué)視角認(rèn)識(shí)、學(xué)習(xí)電工理論知識(shí)是提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣有效方法

愛因斯坦說(shuō)過(guò)：“興趣是最好的老師。教育應(yīng)當(dāng)使所提供的東西讓學(xué)生作為一種寶貴的禮物來(lái)接受，而不是作為一種艱苦的任務(wù)要他去負(fù)擔(dān)?！彪姽せA(chǔ)課程的學(xué)習(xí)，對(duì)高職學(xué)生來(lái)講普遍存在一定的困難：概念抽象、理論性強(qiáng)。因此，從探討電工理論中的美學(xué)概念入手，為學(xué)生提供一種相對(duì)直觀的思維方式和方法，善于引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、認(rèn)識(shí)電路的對(duì)稱（偶）性、統(tǒng)一性，把它和生活中的審美結(jié)合起來(lái)，對(duì)于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣提高學(xué)習(xí)效果極為有效。從第一堂課開始，就引入電路對(duì)稱（偶）性概念，目的不是介紹一個(gè)電路定理，而是一個(gè)認(rèn)知的過(guò)程，從元件、結(jié)構(gòu)、現(xiàn)象、功能等的對(duì)稱（偶）性，進(jìn)而到電路公式、電路定理的對(duì)稱性，學(xué)習(xí)的過(guò)程變得有趣、生動(dòng)，公式和定理不再只是死記硬背。

[1] 徐本治．?dāng)?shù)學(xué)中的美學(xué)方法[M]．大連：大連理工大學(xué)出版社，2008．

[2] 邱關(guān)源．電路（第四版）[M]．北京：高等教育出版社，1999．

[3] 楊紅，徐茜．電工及電氣測(cè)量技術(shù)[M]．北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2013．