倒雙譜的分形維數(shù)在故障診斷中的應(yīng)用

吳文兵，葉福蘭，陳章斌

(福州外語外貿(mào)學(xué)院，福建福州350018)

0 前言

高階譜由高階累積量進(jìn)行多次傅里葉變換得來。高階累積量可以消除高斯噪聲，因而可以提取復(fù)雜信號中的非高斯信號。與功率譜相比，高階譜同時含有信號的幅度信息和相位信息。高階累積量可以檢測和描述系統(tǒng)的非線性，因而常用于機(jī)械系統(tǒng)非線性振動信號的研究［1-2］。高階譜估計主要有以下幾個方面的應(yīng)用:聲納與雷達(dá)處理、多維信號處理、非線性系統(tǒng)分析、生物醫(yī)學(xué)信號處理、諧波恢復(fù)、信號檢測、陳列處理等。由于機(jī)械振動信號的非線性、非高斯性和環(huán)境中噪聲的高斯性，因而高階譜方法可以去除振動信號中的高斯噪聲，保留其中的非高斯信息，為故障處理提供有力的分析方法。倒譜分析也是機(jī)械故障診斷的有效方法，倒譜是將對數(shù)功率譜進(jìn)行反傅立葉變換后得到的，它可以進(jìn)一步將信道特性和激勵特性有效地分開，但噪聲對倒譜分析的結(jié)果具有較大的影響［3-4］。機(jī)械設(shè)備故障診斷是通過測量機(jī)械設(shè)備工作狀態(tài)的特征信號來識別其狀態(tài)的。由于實際測量獲得的信號的切片譜在一定的尺度上具有分形特征，即這些信號切片譜的分形維數(shù)會隨著系統(tǒng)狀態(tài)的改變而變化，因此分形維數(shù)能在一定程度上反映機(jī)械設(shè)備的運(yùn)行狀態(tài)［5-7］。提取分形維數(shù)這一特征量，將有助于對機(jī)械設(shè)備的正常工作狀態(tài)和故障狀態(tài)進(jìn)行診斷和識別。

本文作者將倒譜分析、雙譜分析以及分形理論相結(jié)合，針對溢流閥故障信號具有的機(jī)械振動信號非線性等共性，提出了通過計算倒雙譜的分形維數(shù)進(jìn)行故障檢測和診斷的方法，并應(yīng)用到溢流閥的故障診斷中。

1 倒譜與倒雙譜

設(shè){x(n)}為零均值k階平穩(wěn)隨機(jī)過程，功率譜定義為:

雙譜定義為:

設(shè)ω1＝ω2＝ω時，即得到AR雙譜的對角切片Bx(ω，ω)，其中 c3x(τ1，τ2)為三階累積量:

功率譜對數(shù)值的逆傅里葉變換稱為倒譜。設(shè)信號x(n)的功率譜為Sx(ω)，則倒譜Cx(τ)為

將Bx(ω，ω)代入上式，代替Sx(ω)，即得到倒雙譜。

實際計算中倒雙譜采用下式:

2 容量維與關(guān)聯(lián)維

按照文獻(xiàn) ［5］，即采用盒子覆蓋算法來計算功率譜的容量維數(shù)。對于Dc維物體:

N(r)∝(1/r)Dc→lim N(r)＝(1/r)Dc

取對數(shù)得容量相似維數(shù):

式中:L為線段長度，r為尺子長度，L與r之比為N。

按照文獻(xiàn)［7］，關(guān)聯(lián)維數(shù)可以由實測一維時間序列，利用基于相空間重構(gòu)的G-P算法直接計算得到。

基于相空間重構(gòu)，考察m維相空間中的一對相點(diǎn)

設(shè)其距離為εij(m)，則有

式中:‖·‖為范數(shù)，則關(guān)聯(lián)積分為:

式中:Nm＝n-(m-1)τ為相點(diǎn)數(shù)，ε為m維超球半徑 (標(biāo)度)，θ是Heaviside階躍函數(shù)，即有

適當(dāng)選取標(biāo)度ε，在無標(biāo)度區(qū)內(nèi)有:

則D2(m)即為關(guān)聯(lián)維數(shù)。

3 數(shù)據(jù)采集

溢流閥在每個液壓系統(tǒng)中幾乎都要用到，其性能的好壞對整個系統(tǒng)的正常工作有很大影響。它可作為安全閥、卸荷閥和加載閥等使用，也可與遠(yuǎn)程調(diào)壓閥組合以實現(xiàn)遠(yuǎn)距離調(diào)壓等。圖1中，先導(dǎo)型溢流閥在液壓回路中用作安全閥，防止液壓系統(tǒng)過載。正常工作情況下，系統(tǒng)壓力不超過溢流閥的調(diào)定壓力時，溢流閥關(guān)閉不起溢流作用。當(dāng)系統(tǒng)壓力達(dá)到溢流閥的調(diào)定壓力值時，溢流閥打開，將油液溢回油箱，使壓力不再上升，以保證系統(tǒng)的安全。文中進(jìn)行的實驗人為設(shè)置了在主閥芯的阻尼孔處穿上一根細(xì)導(dǎo)線的故障。

圖1 溢流閥工作回路

實驗分別在溢流閥正常工作狀態(tài)和故障狀態(tài)各自采集了10組和11組共21組數(shù)據(jù)。實驗使用的數(shù)據(jù)個數(shù)為512個。

4 譜圖

為了進(jìn)行故障識別，將實驗中測得的正常狀態(tài)和故障狀態(tài)的21組數(shù)據(jù)分別求出其雙譜對角切片和倒雙譜。在正常狀態(tài)和故障狀態(tài)下，在3種不同的油壓下 (1 MPa、2 MPa、4 MPa)，將兩種狀態(tài)的雙譜對角切片和倒雙譜各選取1組示于圖2—5。其中圖2、3的x軸表示頻率，單位為Hz，y軸表示歸一化后的幅值大小，無量綱。由圖4、5的x軸表示數(shù)據(jù)，單位為個，y軸與圖2、3相同，也表示歸一化后的幅值大小，無量綱。可以看出，在倒譜方式下，從圖像峰值的構(gòu)成和數(shù)量來看，2種狀態(tài)的區(qū)分較為明顯。

圖2 正常狀態(tài)雙譜對角切片圖

圖3 故障狀態(tài)雙譜對角切片圖

圖4 正常狀態(tài)倒雙譜圖

圖5 故障狀態(tài)倒雙譜圖

5 實驗結(jié)果與分析

為了有效判別故障，分別利用雙譜對角切片和倒雙譜作為工具，鑒于雙譜對角切片的光滑性和倒雙譜的時序性，分別計算了信號在正常狀態(tài)和故障狀態(tài)下雙譜對角切片的容量維以及倒雙譜的關(guān)聯(lián)維。正常狀態(tài)以及故障狀態(tài)倒雙譜的關(guān)聯(lián)維數(shù)值示于表1。為了在直觀上有效區(qū)分故障診斷結(jié)果，通過EXCEL軟件繪制了倒雙譜關(guān)聯(lián)維數(shù)值的點(diǎn)折線圖，見圖6。圖6的橫坐標(biāo)代表數(shù)據(jù)，單位為組，縱坐標(biāo)表示計算出的關(guān)聯(lián)維數(shù)值，無量綱。從圖6中可以看出，在倒譜方式下，正常狀態(tài)和故障狀態(tài)下信號的關(guān)聯(lián)維數(shù)在整體上區(qū)別較為明顯，為了準(zhǔn)確統(tǒng)計診斷正確率，特選定故障狀態(tài)第1組數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)維數(shù)值作為分界值，即以關(guān)聯(lián)維數(shù)值大于等于0.456 2確定為故障狀態(tài)，以小于0.456 2確定為正常狀態(tài)，則正常狀態(tài)和故障狀態(tài)誤判的數(shù)據(jù)個數(shù)分別是2個和1個，總體正確率為3/21＝1/7，超過了85%，這一結(jié)果在故障診斷中算是良好的。文中同時對相同信號的雙譜對角切片的容量維進(jìn)行了計算，結(jié)果如圖7。圖7的橫坐標(biāo)代表數(shù)據(jù)，單位為組，縱坐標(biāo)表示計算出的容量維數(shù)值，無量綱。從圖中可以看出，兩種狀態(tài)難以區(qū)分。為了進(jìn)行對比，還對信號的倒譜計算了關(guān)聯(lián)維以及信號的功率譜計算了容量維，信號的倒譜和功率譜分別在正常狀態(tài)和故障狀態(tài)下選取一組，如圖8—11所示。圖8、9的坐標(biāo)意義與圖4、5相同，圖10、11的坐標(biāo)意義則與圖2、3相同。倒譜關(guān)聯(lián)維和功率譜容量維的計算結(jié)果見圖12和圖13，圖12和圖13的坐標(biāo)意義分別與圖6、7相同。圖12和圖13所表示的2種狀態(tài)均難以區(qū)分。

表1 正常狀態(tài)和故障狀態(tài)倒雙譜的關(guān)聯(lián)維數(shù)值

圖6 正常狀態(tài)和故障狀態(tài)倒雙譜關(guān)聯(lián)維折線圖

圖7 正常狀態(tài)和故障狀態(tài)雙譜對角切片容量維折線圖

圖8 正常狀態(tài)倒譜

圖9 故障狀態(tài)倒譜

圖10 正常狀態(tài)功率譜

圖11 故障狀態(tài)功率譜

圖12 正常狀態(tài)和故障狀態(tài)倒譜關(guān)聯(lián)維折線圖

圖13 正常狀態(tài)和故障狀態(tài)功率譜容量維折線圖

文中在所選用實驗數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，通過對比功率譜、倒譜、雙譜對角切片以及倒雙譜的故障診斷效果，得出了倒雙譜能取得最佳診斷效果的結(jié)果。由于雙譜可以從采集信號中最大限度地剔除掉噪聲的干擾，從而有效提取信號中的信息。這說明雙譜具有很強(qiáng)的消噪能力，理論上可以抑制高斯噪聲。對信號進(jìn)行分析得出它的倒譜參數(shù)的過程稱為同態(tài)處理，倒譜參數(shù)所包含的信息也比其他參數(shù)多，同時受信號傳遞路徑的影響較小，但噪聲對倒譜分析的結(jié)果具有較大的影響。倒雙譜則將兩者的優(yōu)點(diǎn)很好地結(jié)合了起來。由于分形維數(shù)能在直觀上度量不規(guī)則圖形的粗糙度，因而振動信號倒雙譜的分形維數(shù)可以在一定程度上反映機(jī)械設(shè)備在不同運(yùn)行期間運(yùn)行性質(zhì)的變化，可以直接反映該設(shè)備在此期間的運(yùn)行狀況。因此，文中的實驗數(shù)據(jù)在通過功率譜、倒譜以及雙譜對角切片都未能取得理想效果時，通過計算倒雙譜的分形維數(shù)而取得了良好的故障診斷效果是完全可以從理論上得到合理解釋的。

6 結(jié)論

通過計算倒雙譜的分形維數(shù)而取得了良好的故障診斷效果，說明在現(xiàn)有理論的基礎(chǔ)上，通過將各種方法的優(yōu)點(diǎn)相結(jié)合的方式來提高機(jī)械故障診斷正確率的方式是可行的。

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