基于響應(yīng)面法的印制電子噴印機(jī)結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)

劉德仿，顧春榮，周臨震，王斌

(1.鹽城工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，江蘇鹽城224051;2.南通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇南通226019)

0 前言

與傳統(tǒng)電路制版方法相比，印制電子技術(shù)具有很多優(yōu)勢(shì)［1］。印制電子噴印機(jī)通過(guò)其運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)與打印噴頭，在預(yù)先編制程序的控制下，將導(dǎo)電墨水噴到基材上形成線路［2］。目前，國(guó)外印制電子噴印產(chǎn)品重量約為國(guó)內(nèi)同類產(chǎn)品的60%。因此使噴印機(jī)具有較小的重量來(lái)降低生產(chǎn)成本，已成為國(guó)內(nèi)印制電子噴印產(chǎn)品設(shè)計(jì)的迫切需求。同時(shí)，作為一個(gè)移動(dòng)設(shè)備，噴印機(jī)必然會(huì)受到電機(jī)的激勵(lì)，為確保噴印機(jī)在減重的同時(shí)，滿足打印精度與穩(wěn)定性的設(shè)計(jì)要求，其機(jī)械結(jié)構(gòu)須具有良好的動(dòng)態(tài)特性。

對(duì)印制電子噴印機(jī)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，實(shí)際上是在減重過(guò)程中保證其機(jī)械結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)性能的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。由于噴印機(jī)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，其約束函數(shù)、目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)絕多數(shù)不連續(xù)，難以用顯示表達(dá)，采用傳統(tǒng)基于梯度的優(yōu)化方法很難找到最優(yōu)解。目前，運(yùn)用基于統(tǒng)計(jì)學(xué)的響應(yīng)面法能大大降低計(jì)算量，在一定程度上很好地解決復(fù)雜機(jī)械結(jié)構(gòu)的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，如姜衡等人［3］將響應(yīng)面法應(yīng)用與立式加工中心結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，在保證原整機(jī)動(dòng)靜態(tài)性能的前提下減輕整機(jī)質(zhì)量，取得了很好地優(yōu)化結(jié)果。夏鏈等人［4］采用正交試驗(yàn)法構(gòu)造響應(yīng)面模型，對(duì)床身結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)并得到最優(yōu)解，大大降低了試驗(yàn)次數(shù)，提高了優(yōu)化設(shè)計(jì)效率。

本文作者簡(jiǎn)要介紹了響應(yīng)面法，制定了噴印機(jī)結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)路線，以噴印機(jī)結(jié)構(gòu)重量和動(dòng)態(tài)特性為優(yōu)化目標(biāo)，利用響應(yīng)面法與多目標(biāo)遺傳算法，基于ANSYS Workbench協(xié)同仿真平臺(tái)，通過(guò)調(diào)整和優(yōu)化其關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)，實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

1 有限元模型的建立及其動(dòng)態(tài)特性

建立印制電子噴印機(jī)結(jié)構(gòu)的有限元模型，并進(jìn)行模態(tài)分析，可以得到其動(dòng)態(tài)特性，將其作為優(yōu)化問(wèn)題的約束與目標(biāo)，為后續(xù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供依據(jù)。

1.1 有限元模型的建立

印制電子噴印機(jī)機(jī)械結(jié)構(gòu)主要分為床身、工作臺(tái)及基座3個(gè)部分，如圖1所示。噴印機(jī)共有3個(gè)方向運(yùn)動(dòng):X軸運(yùn)動(dòng)模組為含有噴頭的Z模組工作運(yùn)動(dòng);Y軸運(yùn)動(dòng)模組為放置基材的工作臺(tái)運(yùn)動(dòng);Z軸運(yùn)動(dòng)模組為噴頭的上下運(yùn)動(dòng)以調(diào)整基材的厚度。

圖1 印制電子噴印機(jī)機(jī)械結(jié)構(gòu)圖

噴印機(jī)機(jī)械結(jié)構(gòu)是作為重要組成部件，承載著整機(jī)的全部質(zhì)量，因此文中主要針對(duì)機(jī)械結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模與分析。同時(shí)，為提高分析效率、改善網(wǎng)格劃分質(zhì)量，需要簡(jiǎn)化或去除模型中對(duì)分析結(jié)果影響較小的零部件或細(xì)節(jié)特征 (如工藝孔、倒角等)。對(duì)伺服電機(jī)、底封板和擋板等附件用集中質(zhì)量單元來(lái)模擬對(duì)噴印機(jī)的影響。采用Solidworks建立噴印機(jī)簡(jiǎn)化后的三維參數(shù)化模型，完成后通過(guò)修改模型中的關(guān)鍵尺寸參數(shù)名稱 (加前綴“DS_”)，將其導(dǎo)入ANSYSWorkbench的DM模塊中，實(shí)現(xiàn)模型與設(shè)計(jì)變量的無(wú)縫連接。

大理石平臺(tái)、龍門橫梁及兩個(gè)立柱采用濟(jì)南花崗石，其余零部件采用結(jié)構(gòu)鋼。六面體網(wǎng)格具有網(wǎng)格數(shù)量少且計(jì)算精度高等特點(diǎn)，通過(guò)對(duì)復(fù)雜零件的切片的方式，使模型能夠被掃掠，從而在網(wǎng)格劃分時(shí)生成規(guī)則的六面體單元。對(duì)于結(jié)合面接觸，采用綁定接觸和不分離接觸來(lái)分別模擬噴印機(jī)的固定結(jié)合面和導(dǎo)軌結(jié)合面。由于整個(gè)打印機(jī)是依靠底面的四個(gè)腳與地面接觸來(lái)支撐的，將機(jī)床四個(gè)底面與地面的摩擦理想化為無(wú)窮大，即無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，施加約束時(shí)將四個(gè)腳支座處的接觸面設(shè)為固定約束。建好的噴印機(jī)有限元模型如圖2所示。

圖2 噴印機(jī)有限元模型

1.2 有限元模態(tài)分析結(jié)果

對(duì)噴印機(jī)有限元模型進(jìn)行模態(tài)分析，得到其固有頻率與振型。由于高階固有頻率對(duì)結(jié)構(gòu)影響較小，文中只取噴印機(jī)前4階模態(tài)，分析結(jié)果如表1和圖3所示。

表1 噴印機(jī)前4階模態(tài)分析結(jié)果

圖3 噴印機(jī)前4階振型

由分析結(jié)果可知，噴印機(jī)第1階固有頻率為46.75 Hz，但由于實(shí)際生產(chǎn)與工作環(huán)境的影響，噴印機(jī)的實(shí)際頻率會(huì)低于理論值，故應(yīng)適當(dāng)對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，提高噴印機(jī)打印精度與穩(wěn)定性，改善其動(dòng)態(tài)性能。

2 響應(yīng)面模型的建立

2.1 響應(yīng)面法

響應(yīng)面法 (Response Surface Methodology，RSM)［5］是一種數(shù)理統(tǒng)計(jì)與試驗(yàn)設(shè)計(jì)相結(jié)合的優(yōu)化方法，通過(guò)對(duì)指定設(shè)計(jì)點(diǎn)集合進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)，構(gòu)造顯式近似表達(dá)式將涉及設(shè)計(jì)變量的目標(biāo)與約束隱式函數(shù)替代為顯示函數(shù)關(guān)系，得到響應(yīng)面模型，從而預(yù)測(cè)未試驗(yàn)點(diǎn)的響應(yīng)值。文中選用準(zhǔn)確性較高的完全二階多項(xiàng)式響應(yīng)面模型［6］，對(duì)于n個(gè)設(shè)計(jì)變量可表示為:

式中:y(X)為擬合函數(shù);X＝(x1，x2，…，xi，…，xn) 為設(shè)計(jì)變量;β0、βi、βii、βij為未知系數(shù)，通過(guò)最小二乘法擬合確定。

2.2 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

試驗(yàn)點(diǎn)的選取直接關(guān)系著響應(yīng)面模型的構(gòu)造精度，而試驗(yàn)設(shè)計(jì)是建立響應(yīng)面近似模型的取樣策略，試驗(yàn)設(shè)計(jì)理論可以保證生成合理的設(shè)計(jì)點(diǎn)。采用中心復(fù)合試驗(yàn)設(shè)計(jì) (Central Composite Designs，CCD)［7］，它能以最少的試驗(yàn)循環(huán)來(lái)提供設(shè)計(jì)變量與試驗(yàn)誤差的信息。對(duì)于n因子、2水平試驗(yàn)，試驗(yàn)點(diǎn)包含以下三部分:

(1)1個(gè)中心點(diǎn)，用于提供一致精度與純誤差的估計(jì)，即圖4中立方體中心點(diǎn);

(2)2n個(gè)軸向點(diǎn)，表示每個(gè)設(shè)計(jì)變量所在軸上距中心點(diǎn)距離為α的2個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，用于估計(jì)響應(yīng)面模型純平方項(xiàng)βii，即圖4中各○點(diǎn);

(3)2n-ζ個(gè)析因點(diǎn)，用于估計(jì)一階項(xiàng)系數(shù)βi及交互作用項(xiàng)系數(shù)βij，即圖4中立方體各頂點(diǎn)。

圖4 中心復(fù)合試驗(yàn)設(shè)計(jì)組成部分

故中心復(fù)合試驗(yàn)設(shè)計(jì)共需 (2n-ζ＋2n＋1)個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)。

2.3 響應(yīng)面模型的評(píng)價(jià)

對(duì)于建立的近似函數(shù)模型，即響應(yīng)面模型，其優(yōu)劣程度直接影響到優(yōu)化結(jié)果，因此需要對(duì)響應(yīng)面模型進(jìn)行評(píng)價(jià)。采用擬合優(yōu)度 (Goodness of Fit)來(lái)評(píng)價(jià)響應(yīng)面模型對(duì)試驗(yàn)設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)的擬合程度，通常用復(fù)相關(guān)系數(shù)R2表示，其數(shù)值在 ［0，1］變化，且越接近1，說(shuō)明誤差越小，即響應(yīng)面越準(zhǔn)確。

式中:E為響應(yīng)值與響應(yīng)估計(jì)值的平方和，Y為響應(yīng)值與響應(yīng)均值差的平方和。

3 多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)流程

基于響應(yīng)面法的印制電子噴印機(jī)結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)思路如下:首先，根據(jù)噴印機(jī)床身與基座結(jié)構(gòu)，明確影響優(yōu)化目標(biāo)的關(guān)鍵參數(shù)，在Solidworks平臺(tái)建立三維參數(shù)化模型，通過(guò)無(wú)縫連接接口將簡(jiǎn)化的模型導(dǎo)入ANSYS Workbench并進(jìn)行有限元模態(tài)分析，為后續(xù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供依據(jù)。然后選用中心復(fù)合試驗(yàn)來(lái)確定試驗(yàn)點(diǎn)，并進(jìn)行有限元分析計(jì)算，利用這些試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)據(jù)建立響應(yīng)面模型。接著，運(yùn)用轉(zhuǎn)移哈默斯利(Shifted Hammersley)［8］序列抽樣技術(shù)抽取樣本點(diǎn)，當(dāng)作多目標(biāo)優(yōu)化算法的初始種群。最后，通過(guò)多目標(biāo)遺傳算法，得到噴印機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)的最優(yōu)解。具體噴印機(jī)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)流程如圖5所示。

圖5 噴印機(jī)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)流程圖

4 多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)

4.1 多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

以印制電子噴印機(jī)結(jié)構(gòu)主要零部件關(guān)鍵尺寸與位置關(guān)系為設(shè)計(jì)變量，取值在設(shè)計(jì)允許范圍內(nèi)，這里取設(shè)計(jì)變量初始值的10%左右，提取的設(shè)計(jì)變量如表2所示。以降低噴印機(jī)質(zhì)量和提高結(jié)構(gòu)第1階固有頻率為優(yōu)化目標(biāo)，第2階和第3階固有頻率為約束條件。

具體的噴印機(jī)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型描述如下:式中:y1(X)為噴印機(jī)結(jié)構(gòu)質(zhì)量，y2(X)為結(jié)構(gòu)第1階固有頻率，yj(X)為第j階固有頻率，yj為優(yōu)化前固有頻率，X為決策向量，xL、xU分別為設(shè)計(jì)變量的下限值和上限值。

表2 床身關(guān)鍵結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù) mm

4.2 優(yōu)化過(guò)程與分析

通過(guò)中心復(fù)合試驗(yàn)設(shè)計(jì)生成45個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)及其有限元分析響應(yīng)結(jié)果，再運(yùn)用二次插值函數(shù)生成響應(yīng)面與局部靈敏度模型。采用擬合度曲線來(lái)評(píng)價(jià)響應(yīng)面擬合優(yōu)度，如圖6所示。橫坐標(biāo)為設(shè)計(jì)點(diǎn)實(shí)際觀測(cè)值，縱坐標(biāo)為響應(yīng)面預(yù)測(cè)值，由圖可知，優(yōu)化目標(biāo)質(zhì)量和第1階固有頻率樣本點(diǎn)均在對(duì)角線附近，表示復(fù)相關(guān)系數(shù)R2趨近于1，響應(yīng)面擬合優(yōu)度較高。

圖6 擬合度曲線

采用3D圖形模式表示響應(yīng)面模型，選擇兩個(gè)設(shè)計(jì)變量分別作為輸入?yún)?shù)的X軸與Y軸，一個(gè)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)作為輸出參數(shù)的Z軸，生成的響應(yīng)面模型如圖7所示。

圖7 響應(yīng)面模型

由圖可知，龍門橫梁Y向長(zhǎng)度P5與Z向長(zhǎng)度P2對(duì)噴印機(jī)結(jié)構(gòu)質(zhì)量影響較大，而模型中灰色部分為單目標(biāo)最優(yōu)部位，即達(dá)到結(jié)構(gòu)質(zhì)量最輕，由于未考慮其它設(shè)計(jì)變量和優(yōu)化目標(biāo)，因此這并不能作為輸出結(jié)果最優(yōu)解。

圖8為各輸出參數(shù)的局部靈敏度，即6個(gè)設(shè)計(jì)變量對(duì)4個(gè)輸出參數(shù)的影響程度。通過(guò)分析可知，對(duì)結(jié)構(gòu)質(zhì)量影響較大的是大理石平臺(tái)Z向長(zhǎng)度P4，龍門橫梁Y向長(zhǎng)度P5次之;對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率影響較大的是基座立柱厚度P6，而由于床身質(zhì)量越大，整機(jī)中心越高，床身零部件的尺寸 (P2、P3、P4和P5)對(duì)固有頻率有負(fù)面影響。

圖8 局部靈敏度

利用多目標(biāo)遺傳算法 (MOGA)［9］對(duì)目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化求解，設(shè)定初始樣本數(shù)為100，最大迭代次數(shù)為20，收斂準(zhǔn)則為70%，結(jié)構(gòu)重量與最大變形的權(quán)重大小一致，經(jīng)過(guò)計(jì)算得到Pareto最優(yōu)解集［10］，如圖9所示，兩個(gè)坐標(biāo)系分別對(duì)應(yīng)2個(gè)優(yōu)化目標(biāo)，橫坐標(biāo)為噴印機(jī)質(zhì)量，縱坐標(biāo)為1階固頻。

圖9 質(zhì)量與1階固有頻率Pareto最優(yōu)解集

從Pareto最優(yōu)解集中選取效果較好的一組作為最優(yōu)解，并以它為設(shè)計(jì)點(diǎn)驗(yàn)證優(yōu)化后的效果，優(yōu)化前后與圓整后結(jié)果如表3、4所示。

表3 關(guān)鍵結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化前后值 mm

表4 優(yōu)化前后結(jié)果對(duì)比

由表4可知，優(yōu)化并經(jīng)圓整后的噴印機(jī)結(jié)構(gòu)重量為544.26 kg，比優(yōu)化前降低了8.7%;而第1階固有頻率為54.171 Hz，比優(yōu)化前提高了15.8%。噴印機(jī)的結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性得到較大提升，滿足了產(chǎn)品的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)要求。

5 結(jié)論

(1)以減輕印制電子噴印機(jī)重量和提高結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)性能為目標(biāo)，基于ANSYS Workbench協(xié)同仿真平臺(tái)，結(jié)合響應(yīng)面法與多目標(biāo)遺傳算法，對(duì)噴印機(jī)的機(jī)械結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，經(jīng)優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)重量比優(yōu)化前降低了8.7%，而1階固有頻率提高了15.8%，實(shí)現(xiàn)了噴印機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì);

(2)采用響應(yīng)面法，能夠合理有效地確定初始種群，保證多目標(biāo)優(yōu)化算法能夠快速地收斂，從而在可行域內(nèi)得到Pareto最優(yōu)解集，提高了多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)效率。

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