基于LQR的二級旋轉(zhuǎn)倒立擺電液控制系統(tǒng)研究

曾紹平，張超

(1.江西工業(yè)職業(yè)技術(shù)學院機械工程分院，江西南昌330039;

2.江蘇城鄉(xiāng)建設職業(yè)學院公用事業(yè)系，江蘇常州213016)

0 前言

目前，順著控制技術(shù)和計算機技術(shù)的快速發(fā)展，各種電液控制系統(tǒng)面向高度集成化、精確度高、非線性強和穩(wěn)定性好的方向發(fā)展［1］。作為一種檢測比較控制算法的實驗平臺，倒立擺 (Inverted Pendulum)裝置在電液控制系統(tǒng)中得到廣泛應用。原因在于倒立擺裝置的特性 (高階次、不穩(wěn)定、強耦合、非線性等)與工業(yè)過程的非線性系統(tǒng)具有很強的相似性。倒立擺作為一個自然非線性不穩(wěn)定系統(tǒng)，需要通過人為的控制，讓其達到穩(wěn)定狀態(tài)，通過對該裝置的系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究，能夠揭示系統(tǒng)控制過程中的各種問題，如系統(tǒng)不確定性、傳感器靈敏度、控制算法的可靠性等。對倒立擺的研究有很多，有對擺起控制方法的研究，有對倒立擺行程方面的研究，還有研究倒立擺仿真和控制器魯棒性方面。而對于倒立擺的研究起源20世紀50年代，麻省理工學院專家成功地設計了一級倒立擺實驗設備，該設備是參考火箭發(fā)射助推器原理設計出的［2］。進入60年代，倒立擺被人們以非線性的控制實例正式地推到研究人員的面前，其中以Schaefer和Cannon為代表的成功將Bang-Bang控制理論和倒立擺結(jié)構(gòu)結(jié)合，實現(xiàn)了曲軸在倒立擺裝置的穩(wěn)定［3］。60年代后期和70年代初，倒立擺作為一個不穩(wěn)定、嚴重非線性系統(tǒng)，專家學者提出了多種控制算法，并用其檢驗控制方法對不穩(wěn)定、非線性和快速性系統(tǒng)的處理能力，受到世界各國科學家的重視［4-6］。

CASTILLO T B和SOOYONG J針對傳統(tǒng)倒立擺行程問題設計了環(huán)形倒立擺結(jié)構(gòu)，能夠有效的克服行程限制，實現(xiàn)3個自由度的多方向運動［6-7］。文獻 ［8］在能量的甩控基礎上對單擺甩起時間進行了最優(yōu)化的求解，給出了最短時間的計算模型;文獻 ［9］改進了基于滑塊的魯棒控制的滑模趨近律，減小了系統(tǒng)輸出的振動性，縮短了趨近運動時間;文獻 ［10］研究了控制系統(tǒng)的魯棒性和抖振之間的關系，表明二者關系成反比關系，有一定的矛盾性。本文針對控制系統(tǒng)的魯棒性和抖振狀況，以旋轉(zhuǎn)倒立擺裝置 (行程無限制)為研究對象，建立理論模型，并設計Linear Quadratic Regulator(LQR，線性二次型調(diào)節(jié)器)控制器，測試選著合適的Q、R參數(shù)，通過計算機仿真研究倒立擺控制系統(tǒng)的控制效果即魯棒性以及抖振狀況，從實時圖中可以看出二級倒立擺裝置在跟蹤輸入方波時，有一定的抖振現(xiàn)象，在出現(xiàn)人工干擾狀況下，系統(tǒng)能夠及時反應達到平衡狀態(tài)，表現(xiàn)出較強的魯棒性，并對抖振現(xiàn)象有一定的削弱作用。說明文中設計的控制方法對二級倒立擺的控制是十分優(yōu)越的一種控制方法。

1 二級旋轉(zhuǎn)倒立擺理論模型

1.1 二級旋轉(zhuǎn)倒立擺物理模型

文中研究的旋轉(zhuǎn)倒立擺裝置，相比于研究較多的直線倒立擺裝置具有行程無限制的特點。其主要結(jié)構(gòu)如圖1所示，主要有自由擺桿和驅(qū)動臂組成。驅(qū)動臂圍點O做旋轉(zhuǎn)運動，因為在驅(qū)動臂運動過程中，增加了離心力，表現(xiàn)為具有3個自由度，旋轉(zhuǎn)運動過程給控制帶了更大的難度。進入對控制算法提出了更高的要求。自由擺桿分為上擺桿和下擺桿，在驅(qū)動臂運動過程中，分別繞中心點O1和O2做自由運動，保持倒立狀態(tài)。

圖1 二級倒立擺物理模型

對圖1中的二級倒立擺物理模型參數(shù)進行設定，設驅(qū)動臂的長度為L0，旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動慣量為J0，τ為驅(qū)動臂上的控制力矩，C0為驅(qū)動臂的摩擦力矩系數(shù)，θ0、·θ為驅(qū)動臂的轉(zhuǎn)角和角速度;下擺桿的質(zhì)量為m，01桿長為L1，擺桿質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸O1的距離為l1，設C1為下擺桿的摩擦力矩系數(shù)，θ、·θ為下擺桿的轉(zhuǎn)角和角11速度;m2、L2、l2分別表示為上擺桿的質(zhì)量、桿長和擺桿質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸O2的距離，設C2為上擺桿的摩擦力矩系數(shù)。針對以上物理模型設定的相關參數(shù)變量，建立旋轉(zhuǎn)二級倒立擺理論模型。

1.2 理論模型的建立

在忽略各種空氣流動干擾因素下，根據(jù)1.1中設定的物理模型參數(shù)，以驅(qū)動臂所處位置為勢能的零位置，進行理論推導，分別對驅(qū)動臂、下擺桿和上擺桿進行動能、勢能和耗散能的求解。

(1)驅(qū)動臂的勢能、動能和耗散能

式中:T0、V0、D0分別代表是驅(qū)動臂的動能、勢能和耗散能。

(2)下擺桿的勢能、動能和耗散能

對下擺桿動能、勢能、耗散能的求解過程，需要將通過坐標之間的轉(zhuǎn)換矩陣，進行不同坐標系的質(zhì)量的坐標轉(zhuǎn)化。通過一次轉(zhuǎn)動和一個平動完成坐標系Oxyz→O1x1y1z1的轉(zhuǎn)換，其轉(zhuǎn)換矩陣為:

根據(jù)公式 (2)，實現(xiàn)下擺桿坐標到旋轉(zhuǎn)桿坐標之間的轉(zhuǎn)換，得到下擺桿質(zhì)點的速度:

(3)上擺桿的勢能、動能和耗散能

根據(jù)下擺桿能量求解過程方法，對上擺桿坐標系到下擺桿坐標以及再到旋轉(zhuǎn)臂坐標系進行齊次矩陣變換，視Oxyz→O1x1y1z1→O2x2y2z2為坐標系的在OTO1基礎上的一個平動，表達式如下:

將上擺桿上的一點坐標 (xs2，ys2，zs2，1)轉(zhuǎn)化到驅(qū)動臂坐標中的表達式為:

對公式 (6)右邊的轉(zhuǎn)換坐標進行求導，得到上擺桿上該質(zhì)點的速度，根據(jù)上擺桿對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量J2和勢能、動能以及耗散求解公式，求得上擺桿的動能、勢能和耗散能分別為:

(4)系統(tǒng)總勢能、動能和耗散能

系統(tǒng)的總動能、勢能和耗散能包括對驅(qū)動臂、下擺桿、驅(qū)動臂的能量總和，如下所示:

(5)拉格朗日法建立微分方程

根據(jù)拉格朗日函數(shù)和拉格朗日方程建立系統(tǒng)的微分方程:

求解微分方程，得到旋轉(zhuǎn)二級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學模型:

其中:F ＝ ［τ、0、0］T，Θ ＝ ［θ0、θ1、θ2］T，G ＝［0、 -(m1gl1＋ m2gL1)sinθ1、 -m2gl2sinθ2］，M 和 C是3×3的系數(shù)矩陣，求解系數(shù)表達式如下:

至此二級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學模型和參數(shù)定義已經(jīng)完成。

2 理論參數(shù)的確定

對二級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學模型中設計的結(jié)構(gòu)參數(shù)進行取值，如表1所示。

表1 旋轉(zhuǎn)二級倒立擺模型結(jié)構(gòu)參數(shù)

倒立擺在平衡位置時θ1和θ2都接近于零度，可利用近似關系sinθ＝0，cosθ＝1，并忽略高次項，對非線性模型在不穩(wěn)定平衡位置進行線性化。

如果取 u ＝ Vm，取狀態(tài)變量為 X ＝［θ0、θ1、θ2、目的是為了補償當控制器作用時，由于不可避免的系統(tǒng)測量偏差所引起的穩(wěn)態(tài)誤差。將已知參數(shù)代入后可得狀態(tài)方程為:

基于LQR最優(yōu)控制對二級倒立擺系統(tǒng)的進行控制系統(tǒng)的設計，因此選定Q和R的參數(shù)分別為:

3 二級倒立擺LQR控制器設計與仿真實現(xiàn)

針對以上建立的旋轉(zhuǎn)二級倒立擺數(shù)學模型，設計線性二次型調(diào)節(jié)器 (LQR)，其特點系統(tǒng)的狀態(tài)方程是線性的，性能指標函數(shù)表現(xiàn)為二次性函數(shù)，具有較明確的物理概念，能夠處理各種擾動信號適用于時變系統(tǒng)。為使得二次性能指標函數(shù)達到最小，選著合適的參數(shù)輸入使得系統(tǒng)具有較好的魯棒性與穩(wěn)定性?？紤]系統(tǒng)被控對象的狀態(tài)空間方程公式 (12)。其中，A為n×n維常數(shù)矩陣，X為n維狀態(tài)向量，B為n×r維常數(shù)矩陣，u為r維控制向量，且不受約束。

對狀態(tài)反饋控制律進行選著:

通過反饋控制方程 (15)，基于控制系的性能指標最下化，求得最優(yōu)控制矩陣K。進一步通過構(gòu)造漢密爾頓 (Hamilton)函數(shù)并對其求導數(shù)和化簡可得黎卡提 (Riccati)方程:

求解黎卡提 (Ricatti)方程可得狀態(tài)控制律為:

求得最優(yōu)控制矩陣K的表達式為:

可見，對線性二次型指標數(shù)學處理能夠?qū)崿F(xiàn)對反線性反饋規(guī)律進行線性表達，實現(xiàn)了系統(tǒng)狀態(tài)的閉環(huán)控制和線性反饋閉，是系統(tǒng)的設計分析的一種有效方法。

在控制效果方面，LQR控制器能夠?qū)刂浦笜诉M行約束，從而能夠控制指標變化的幅度，且可通過系統(tǒng)設計過程中的自然特性，考慮對控制量變化和跟蹤誤差來選擇合適的LQR的加權(quán)矩陣Q和R的參數(shù)，從而求得最小的狀態(tài)反饋增益矩陣K，表現(xiàn)出較強的魯棒性。

完成了控制器的設計，就可以建立系統(tǒng)離線仿真，并參照第2部分相應參數(shù)Q和R的選取，進行控制系統(tǒng)的實時仿真。

4 二級倒立擺的實時仿真結(jié)果

根據(jù)第3部分選定的最佳狀態(tài)反饋增益K，將K代入反饋控制器U＝-KX中，實現(xiàn)實時仿真系統(tǒng)的仿真，獲取各個狀態(tài)變量的實時變化曲線。在仿真系統(tǒng)輸入過程中，加入了一個幅值為1，頻率為0.1的方波信號作為擾動，同時人為持續(xù)對倒立擺穩(wěn)態(tài)狀態(tài)進行干擾，從而觀測控制效果如圖2—6所示。

圖2 一級擺桿轉(zhuǎn)角

圖3 二級擺桿轉(zhuǎn)角

圖4 一級擺桿角速度

圖5 二級擺桿角速度

圖6 電機控制電壓變化曲線

圖2 和圖3分別一級擺桿和二級擺桿的角度的實時變化曲線。圖2中，一級擺桿角度θ1的初始狀態(tài)為3.3 rad，在5 s內(nèi)，角度基本回歸到0位，系統(tǒng)很快的到達平衡位置，由于系統(tǒng)輸入0.1的方波信號作為擾動，故在平衡位置角度0.1 rad的范圍內(nèi)表現(xiàn)出一定的抖振，但是還是比較穩(wěn)定，說明文中針對旋轉(zhuǎn)二級倒立擺裝置設置的控制器和選用的參數(shù)具有較好的控制效果，反應了控制系統(tǒng)的控制性能的快速性和穩(wěn)定性。在圖3中，二級擺桿的角度的變化大體跟隨輸入信號的方波變動而變化，整體表現(xiàn)出較好的穩(wěn)定性，在3、8、20和40 s等個別時間點，表現(xiàn)出較大的波動，原因在于人為的對倒立擺穩(wěn)定狀態(tài)的干擾。在干擾效果上來看，人為干擾給系統(tǒng)的穩(wěn)定控制帶來了不穩(wěn)定因素，但是擺角能夠很快的回復到平衡位置，最大超調(diào)量不超過0.4 rad，最大恢復不超過2 s，表現(xiàn)出較快的反應速度，說明設計的控制系統(tǒng)能夠?qū)ο到y(tǒng)抖振有一定的削弱，具有較高的靈敏性。

設計系統(tǒng)的靈敏性還可從圖4和圖5中可以看出。圖4和圖5分別為一級擺桿和二級擺桿角速度變化曲線，對應與圖2和圖3可以看出，人工干擾情況下，角度超調(diào)量突然變大以及回歸平衡位置，這個過程能夠從角速度的突變曲線間接反應出系統(tǒng)的控制的實時性和靈敏度，表現(xiàn)出較好的抗干擾性和魯棒性。

圖6為電機控制電壓變化曲線，控制曲線的電壓幅值一般穩(wěn)定在±2 V，只有在系統(tǒng)受到外部干擾狀況下，電機電壓輸出曲線表現(xiàn)出較大的幅值變動，整個過程表現(xiàn)出良好的穩(wěn)定性。

從圖2—6，觀察各個狀態(tài)變量的實時變化曲線，總的來說，除了作為擾動信號的方波信號以外，人為的干擾給系統(tǒng)的的穩(wěn)定性帶來很大的波動。但文中設計的LQR控制器對二級倒立擺系統(tǒng)進行了有效的控制，能夠很快對二級倒立擺進行精確的控制，使二級倒立擺在跟蹤輸入方波擾動時，能夠迅速達到平衡狀態(tài)并削弱抖振現(xiàn)象，控制擺角的精確度在10-3數(shù)量級，表現(xiàn)出較好的控制效果。

5 結(jié)論

從離線仿真及實時控制效果來看，此系統(tǒng)的控制指標是令人滿意的，觀察各個狀態(tài)變量的實時變化曲線，可以得出，系統(tǒng)控制器的性能是很好的，對二級倒立擺進行了精確的控制。二級擺相對于一級擺自由度多了一個，非線性、抖振性和耦合特性等更加嚴重，給控制器提出了更高的要求。所設計的LQR控制器，通過反復測試選擇合適的Q，R，選擇最佳的參數(shù)對二級倒立擺系統(tǒng)進行了有效的控制，使二級倒立擺在跟蹤輸入方波擾動時，能夠迅速達到平衡狀態(tài)，削弱抖振現(xiàn)象，同時控制擺角的精確度在10-3數(shù)量級，證明文中設計的基于LQR方法對二級倒立擺的控制是十分優(yōu)越的一種控制方法。

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