基于樣條插值的不完備信息系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)

李 珍,魏利勝?,程運(yùn)昌(.安徽工程大學(xué)電氣工程學(xué)院,安徽蕪湖,4000; .國(guó)網(wǎng)霍邱縣供電有限責(zé)任公司,安徽六安,37400)

基于樣條插值的不完備信息系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)

李 珍1,魏利勝1?,程運(yùn)昌2
(1.安徽工程大學(xué)電氣工程學(xué)院,安徽蕪湖,241000; 2.國(guó)網(wǎng)霍邱縣供電有限責(zé)任公司,安徽六安,237400)

研究一種不完備信息系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)插補(bǔ)法.首先將每個(gè)輸入信號(hào)加上時(shí)間戳,即將輸入信號(hào)進(jìn)行時(shí)間順序排序,使數(shù)據(jù)在特定的時(shí)刻缺失;并采用樣條插補(bǔ)法,自適應(yīng)補(bǔ)充缺失數(shù)據(jù),即當(dāng)缺失一個(gè)輸出數(shù)據(jù)時(shí),應(yīng)用線性樣條插值法填補(bǔ)缺失數(shù)據(jù),當(dāng)連續(xù)缺失兩個(gè)或兩個(gè)以上的數(shù)據(jù)時(shí),應(yīng)用三次樣條插值法進(jìn)行補(bǔ)充;在此基礎(chǔ)上應(yīng)用粒子群算法對(duì)插補(bǔ)后的不完備信息系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)精確估計(jì);最后,通過MATLAB仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法在不同缺失率下,其參數(shù)估計(jì)的精確性與有效性.

不完備信息;樣條插值;粒子群算法;參數(shù)估計(jì)

系統(tǒng)辨識(shí)已廣泛應(yīng)用于各行各業(yè)[1].系統(tǒng)的參數(shù)估計(jì)是根據(jù)已知的輸入信號(hào)與輸出數(shù)據(jù)來估計(jì)此系統(tǒng)中控制器的參數(shù)值.在此過程中,往往會(huì)因?yàn)閮x器或人為因素導(dǎo)致某些數(shù)據(jù)的丟失.如果直接使用存在丟失的數(shù)據(jù)來估計(jì)參數(shù),結(jié)果顯然會(huì)存在偏差[2].因此,必須采取一種方法如插補(bǔ)法將缺失的數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整,再進(jìn)行參數(shù)的估計(jì)[3].目前,由于數(shù)據(jù)缺失使得很多系統(tǒng)研究都不能更順利地進(jìn)行,因此插補(bǔ)法已成為廣大研究者們關(guān)注的焦點(diǎn).加權(quán)估計(jì)法、似然插補(bǔ)法以及多重插補(bǔ)法等被廣泛運(yùn)用[4];Cheti Nicoletti[5]對(duì)不同插補(bǔ)方法進(jìn)行了比較;Hai Zhong[6]對(duì)多重插補(bǔ)法又做了新的探討;林東方[7]對(duì)期望最大化算法進(jìn)行了探討;R Pintelon[8]等將缺失的數(shù)據(jù)當(dāng)作未知的參數(shù);而譚彥華[9]將樣條插值法應(yīng)用到模糊系統(tǒng)中.

對(duì)于插補(bǔ)法的研究已取得了一定的成績(jī),但是,當(dāng)缺失多個(gè)數(shù)據(jù)時(shí),回歸插補(bǔ)法效果不好;缺失單個(gè)數(shù)據(jù)時(shí),多重插補(bǔ)法的效果不好;缺失率大的時(shí)候,似然插補(bǔ)法效果不好.加權(quán)插補(bǔ)法需要假設(shè)同一調(diào)整組內(nèi)的單元具有相等的回答概率[2].而當(dāng)缺失單一的數(shù)據(jù)時(shí),采取線性的樣條插補(bǔ)法.當(dāng)缺失兩個(gè)或兩個(gè)以上的數(shù)據(jù)時(shí),就應(yīng)用三次樣條插值法.樣條插值可以在缺失率相對(duì)較大時(shí)仍具有良好的插補(bǔ)效果,且不需要添加辨識(shí)的參數(shù).而粒子群算法的程序較簡(jiǎn)單,需要修改的參數(shù)很少.因此,采用樣條插值法與粒子群算法的結(jié)合來實(shí)現(xiàn)對(duì)不完備信息系統(tǒng)參數(shù)的較精確估計(jì).

1 樣條插值法基本原理

根據(jù)完備信息系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)的原理框圖來畫出不完備信息系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)的原理框圖如圖1所示.在已知系統(tǒng)輸入信號(hào)u(t)與噪聲信號(hào)v(t)的前提下,應(yīng)用樣條插補(bǔ)法將存在數(shù)據(jù)缺失的輸出補(bǔ)充完整,得到輸出值z(mì)(t).將插補(bǔ)后的系統(tǒng)輸出值z(mì)(t)與選擇的數(shù)學(xué)模型輸出值^Z(t)之間的誤差e(t)返回到粒子群算法,粒子群算法辨識(shí)出一組參數(shù),將該組參數(shù)帶入數(shù)學(xué)模型,重新產(chǎn)生一個(gè)數(shù)學(xué)模型輸出值^Z(t).重復(fù)取兩者之間的誤差,直到達(dá)到事先規(guī)定的迭代次數(shù)或者誤差e(t)在事先規(guī)定的精度范圍內(nèi)時(shí),停止運(yùn)算,此時(shí)對(duì)應(yīng)的參數(shù)組就是該算法辨識(shí)的參數(shù)大小.

1.1 樣條插值法基本原理

根據(jù)已知的數(shù)據(jù)對(duì),尋求一組較好的擬合多項(xiàng)式[10].運(yùn)用該多項(xiàng)式來擬合每對(duì)相鄰數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的函數(shù)曲線,然后求出缺失值[3].將區(qū)間[a,b]劃分成n等份,即a＝t1＜…＜tn＝b,稱為Ω.函數(shù)z(t)需要滿足:

線性樣條插值法:

當(dāng)z(t)在每對(duì)[ti,ti＋1](i＝1,2,…,n－1)上的多項(xiàng)式次數(shù)不超過1次,并且滿足1個(gè)以上的子區(qū)間函數(shù)最高次數(shù)為1次,則稱z(t)是關(guān)于Ω的線性樣條函數(shù).線性樣條函數(shù)的表達(dá)式如下:

三次樣條插值法:

當(dāng)z(t)在每對(duì)區(qū)間[ti,ti＋1](i＝1,2,…,n－1)上都是次數(shù)不超過3次的多項(xiàng)式,并且最少在1個(gè)子區(qū)間上函數(shù)最高次數(shù)為3次,就稱z(t)是關(guān)于Ω劃分的三次樣條函數(shù).令經(jīng)過已知n個(gè)樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)(ti, Yi)(i＝1,2,…,n),t1＜t2＜…＜tn的三次樣條函數(shù)為z(t)[9].令:其中,未知系數(shù)ai,bi,ci,di需要滿足條件:z(ti)＝Y(jié)i,z(ti－0)＝z(ti＋0)和z′(ti－0)＝z′(ti＋0),z″(ti－0)＝z″(ti＋0).此處添加的是第2類邊界條件即z″(a)＝Y(jié)″(a),z″(b)＝Y(jié)″(b).又令z″(ti)＝Ni,z″(ti＋1)＝Ni＋1,令hi＝ti＋1－ti[8].將z″(t)進(jìn)行兩次積分得到如下的表達(dá)式:

根據(jù)z(ti)＝Y(jié)i,z(ti＋1)＝Y(jié)i＋1,可得:

保持z(t)在節(jié)點(diǎn)處的連續(xù)性,即z′(ti－0)＝z′(ti＋0)和z′i(ti－0)＝z′i＋1(ti＋0).令再把第一邊界條件z′(t1)＝Y(jié)′1,z′(tn)＝Y(jié)′n帶入z′(t)得出下列的方程組:

1.2 粒子群優(yōu)化算法基本原理

設(shè)實(shí)函數(shù)F是定義在歐式空間ED的某一區(qū)域S上的.空間維數(shù)為D,粒子個(gè)數(shù)為L(zhǎng),那么第i個(gè)粒子在該區(qū)域S中的位置、速度以及該時(shí)刻的適應(yīng)度分別表示為:X 0i＝(X 0i1,X 0i2,…,X 0iD)T∈S,Vi＝(Vi1,Vi2,…,ViD)和Fitnessi＝F(X 0i),其中i＝1,2,…,L.第i個(gè)粒子尋求到曾經(jīng)的最佳位置和對(duì)應(yīng)的最佳適應(yīng)度分別是:Y 0i和p(i)[1].第i個(gè)粒子搜索到的全部粒子中的最優(yōu)位置和對(duì)應(yīng)的最佳適應(yīng)度分別表示為:pg和fitness(D,pg).引入慣性權(quán)重w的粒子群算法的步驟如文獻(xiàn)[1]中所示.

其中d＝1,2,…,D,每個(gè)粒子的位置與速度按下式變化如下:

收斂性證明:

其中w∈(0,1)的隨機(jī)數(shù),同時(shí)c1,c2∈(0,2)的隨機(jī)數(shù).Vi、X 0i是相互獨(dú)立的,因此可以對(duì)其一維進(jìn)行分析.由于每一個(gè)粒子的自身歷史最優(yōu)位置Y 0與全部粒子中的最優(yōu)位置pg是保持不變的[11],因此可以將Y 0、pg、w、c1及c2當(dāng)作常數(shù).化簡(jiǎn)式(8)、式(9)得:

又

將式(10)、式(11)帶入式(12)得出:

運(yùn)用特征方程法來求解式(13)c.＝c1＋c2,此一元二次方程的求解有3種情況:當(dāng)Δ＝0時(shí),λ＝λ1＝λ2＝此時(shí)X 0(i)＝(A0＋A1?i)?λi,其中A0,A1為待定的系數(shù);當(dāng)Δ＞0時(shí),λ1,2＝此時(shí)X 0(i)＝A0＋A1?λi1＋A2?λi2;其中待定系數(shù)為A0,A1,A2;若Δ＜0時(shí),那么X 0(i)＝A0＋A1?λi1＋A2?λi2,其中待定系數(shù)為A0,A1,A2.

2 基于樣條插值的不完備信息的參數(shù)辨識(shí)

對(duì)于不完備信息的一類單輸入單輸出線性系統(tǒng)[13]基本結(jié)構(gòu)圖如圖2所示.由圖2可知,系統(tǒng)的輸入信號(hào)、噪聲信號(hào)分別為u1(k)、v1(k).v1(k)是均值為零,方差為σ2的高斯白噪聲.系統(tǒng)的傳遞函數(shù)用G(z－1)來表示,輸出用Z(k)來表示.存在數(shù)據(jù)缺失的輸出是Z0(k).u1(k)與Z0(k)是可以觀測(cè)的.z(k)是采用插補(bǔ)法插補(bǔ)后的系統(tǒng)輸出.一般情況下有下列表達(dá)式:

當(dāng)滿足如式(17)關(guān)系時(shí),該系統(tǒng)是滑動(dòng)模型.

已知參數(shù)的階次na,nb和nd,令:

化簡(jiǎn)式(17),得到該系統(tǒng)的最小二乘格式:

運(yùn)用粒子群算法將辨識(shí)的問題轉(zhuǎn)化成優(yōu)化問題來思考.由式(14)可表示出系統(tǒng)的偏差準(zhǔn)則函數(shù):

粒子群算法是從進(jìn)化的方面來考慮問題的,Pbest(θ)是該算法的適應(yīng)度函數(shù).由于式(20)是在線的優(yōu)化問題,因此運(yùn)用PSO(Particle Swarm Optimization,粒子群優(yōu)化)算法探求滿足適應(yīng)度函數(shù)值最優(yōu)(即值最小)的參數(shù),這些參數(shù)就是需要估計(jì)的參數(shù)大小.

3 仿真實(shí)驗(yàn)

仿真實(shí)驗(yàn)采取MATLAB軟件來完成.首先在完整數(shù)據(jù)的條件下,采用最小二乘遺傳遞推算法、PSO算法產(chǎn)生輸入信號(hào)、噪聲信號(hào)、輸出信號(hào)、初始隨機(jī)位置矩陣和對(duì)應(yīng)的速度矩陣以及一些輔助信號(hào),在不同缺失率下產(chǎn)生不同的輸出,結(jié)合保存下來的數(shù)據(jù),分別采用樣條插值粒子群算法和無(wú)插值最小二乘遺傳遞推算法來實(shí)現(xiàn)該類系統(tǒng)的參數(shù)辨識(shí)[13].

對(duì)于該系統(tǒng)的樣條插補(bǔ)粒子群優(yōu)化算法和無(wú)插補(bǔ)最小二乘遺傳遞推算法的仿真結(jié)果如式(21)所示:

式中,v(k)是零均值的白噪聲,輸入u(k)采用6階M序列,幅度為1,數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)L＝100,D＝5,加權(quán)陣取單位陣.給定初始條件:beita＝0.999,miu＝beita^2,P 0＝10^6?eye(D),theta 0＝10^(－3)?ones(D,1), P(1:D,1:D,1)＝P 0,theta(1:D,1)＝theta 0,A(k)＝1.學(xué)習(xí)的因子:c1＝1.496 2,c2＝1.496 2,其慣性權(quán)重w＝0.729 8,最大循環(huán)次數(shù)Max DT＝100,待估計(jì)參數(shù)個(gè)數(shù)為D.滿足w＜1,c＞0與2?w－c＋2＞0,所以算法收斂.最后比較兩種插補(bǔ)方法插補(bǔ)后系統(tǒng)的參數(shù)估計(jì)、性能函數(shù).以下給出仿真的所有數(shù)據(jù)與圖形,為樣條插值法在系統(tǒng)辨識(shí)領(lǐng)域的應(yīng)用打下基礎(chǔ).

模型產(chǎn)生的隨機(jī)輸入信號(hào)、噪聲信號(hào)如圖3所示,圖3中噪聲信號(hào)的不同線條個(gè)數(shù)代表了不同的維數(shù),噪聲信號(hào)是一個(gè)L×L維的信號(hào).

不同缺失率下不同插補(bǔ)辨識(shí)法的參數(shù)估計(jì)值如表1所示.由表1可知,在相同的數(shù)據(jù)缺失率下,采取樣條插值粒子群算法使不完備系統(tǒng)的參數(shù)估計(jì)較準(zhǔn)確、收斂速度較快、穩(wěn)定性也較強(qiáng).5%缺失率時(shí),參數(shù)及性能函數(shù)的變化情況如圖4所示.10%缺失率時(shí),參數(shù)及性能函數(shù)的變化情況如圖5所示.20%缺失率時(shí),參數(shù)及性能函數(shù)的變化情況如圖6所示.30%缺失率時(shí),參數(shù)及性能函數(shù)的變化情況如圖7所示.在圖4～圖7中,a1表示參數(shù)a1的真實(shí)值;a11表示參數(shù)a1在各缺失率下采用樣條插值粒子群算法進(jìn)行辨識(shí)的估計(jì)值;a12表示參數(shù)a1在各缺失率下采用文獻(xiàn)[14]方法即無(wú)插值最小二乘遺傳遞推算法進(jìn)行辨識(shí)的估計(jì)值;Pbest表示該系統(tǒng)在各缺失率下采用樣條插值粒子群算法進(jìn)行辨識(shí)的性能函數(shù);J表示該系統(tǒng)在各缺失率下采用無(wú)插值最小二乘遺傳遞推算法進(jìn)行辨識(shí)的性能函數(shù).圖4中其他參數(shù)的表示同a1的各種表示意義是一樣的.

在相同缺失率下,采用樣條插值粒子群算法估計(jì)的參數(shù)值更接近真實(shí)值,且其收斂的速度也更快.由表1可知,在缺失率為5%時(shí),對(duì)于參數(shù)a1,采用樣條插值粒子群算法估計(jì)值a11為－1.499 3,而采用無(wú)插值最小二乘遺傳遞推算法的估計(jì)值a12為－1.107 1;對(duì)于參數(shù)a2,采用樣條插值粒子群算法估計(jì)值a21為0.698 4,而采用無(wú)插值最小二乘遺傳遞推算法的估計(jì)值a22為0.366 1;對(duì)于參數(shù)b1,采用樣條插值粒子群算法估計(jì)值b11為0.982 4,而采用無(wú)插值最小二乘遺傳遞推算法的估計(jì)值b12為1.106 0;對(duì)于參數(shù)b2,采用樣條插值粒子群算法估計(jì)值b21為0.495 8,而采用無(wú)插值最小二乘遺傳遞推算法的估計(jì)值b22為0.397 7;對(duì)于參數(shù)d1,采用樣條插值粒子群算法估計(jì)值d11為0.932 7,而采用無(wú)插值最小二乘遺傳遞推算法的估計(jì)值d12為0.004 5.從數(shù)字可以直觀看出,樣條插值粒子群算法的估計(jì)值更準(zhǔn)確.表格中的其他缺失率下的數(shù)據(jù)同樣可以得出此結(jié)論.

表1 不同缺失率下不同插補(bǔ)辨識(shí)法的參數(shù)估計(jì)值(迭代100次)

在相同缺失率下,由圖5可知,在缺失率為10%時(shí),對(duì)于參數(shù)a1采用樣條插值粒子群算法估計(jì)值a11,在進(jìn)化次數(shù)達(dá)到40次左右的時(shí)候就開始趨向收斂,且波動(dòng)比較平緩,最終收斂于－1.473 4;而采用無(wú)插值最小二乘遺傳遞推算法的估計(jì)值a12,在進(jìn)化次數(shù)達(dá)到60次左右的時(shí)候才開始趨向收斂,且波動(dòng)不夠平緩,最終收斂于－0.807 1.在缺失率為10%時(shí),對(duì)于參數(shù)a2采用樣條插值粒子群算法估計(jì)值a21,在進(jìn)化次數(shù)達(dá)到30次左右的時(shí)候就開始趨向收斂,且波動(dòng)比較平緩,最終收斂于0.665 5;而采用無(wú)插值最小二乘遺傳遞推算法的估計(jì)值a22,在進(jìn)化次數(shù)達(dá)到40次左右的時(shí)候才開始趨向收斂,且波動(dòng)不夠平緩,最終收斂于0.096 5.在缺失率為10%時(shí),對(duì)于參數(shù)b1采用樣條插值粒子群算法估計(jì)值b11,在進(jìn)化次數(shù)達(dá)到35次左右的時(shí)候就開始趨向收斂,且波動(dòng)比較平緩,最終收斂于0.905 2;而采用無(wú)插值最小二乘遺傳遞推算法的估計(jì)值b12,在進(jìn)化次數(shù)達(dá)到70次左右的時(shí)候才開始趨向收斂,且波動(dòng)不夠平緩,最終收斂于0.987 6.在缺失率為10%時(shí),對(duì)于參數(shù)b2采用樣條插值粒子群算法估計(jì)值b21,在進(jìn)化次數(shù)達(dá)到35次左右的時(shí)候就開始趨向收斂,且波動(dòng)比較平緩,最終收斂于0.479 2;而采用無(wú)插值最小二乘遺傳遞推算法的估計(jì)值b22在進(jìn)化次數(shù)達(dá)到60次左右的時(shí)候才開始趨向收斂,且波動(dòng)不夠平緩,最終收斂于0.713 4.在缺失率為10%時(shí),對(duì)于參數(shù)d1采用樣條插值粒子群算法估計(jì)值d11,在進(jìn)化次數(shù)達(dá)到35次左右的時(shí)候就開始趨向收斂,且波動(dòng)比較平緩,最終收斂于0.876 6;而采用無(wú)插值最小二乘遺傳遞推算法的估計(jì)值d12,在進(jìn)化次數(shù)達(dá)到60次左右的時(shí)候才開始趨向收斂,且波動(dòng)不夠平緩,最終收斂于0.038 5.

從表1和參數(shù)仿真圖都可以看出,隨著缺失率的增大,辨識(shí)的效果越來越差.由表1可知,同樣采用樣條插值粒子群算法進(jìn)行參數(shù)估計(jì),對(duì)于參數(shù)a1,在缺失率為5%時(shí),估計(jì)的值a11為－1.499 3;在缺失率為10%時(shí),估計(jì)的值a11為－1.473 4;在缺失率為20%時(shí),估計(jì)的值a11為－1.383 9;在缺失率為30%時(shí),估計(jì)的值a11為－1.045 6.從數(shù)字的變化可以證明該結(jié)論.同樣的,由圖4b、圖5b、圖6b和圖7b可以看出,同樣采用樣條插值粒子群算法進(jìn)行參數(shù)估計(jì),對(duì)于參數(shù)b1,在缺失率為5%時(shí),進(jìn)化次數(shù)達(dá)到28次左右就開始趨向收斂,波動(dòng)很平緩;在缺失率為10%時(shí),進(jìn)化次數(shù)達(dá)到35次左右開始趨向收斂,波動(dòng)平緩;在缺失率為20%時(shí),進(jìn)化次數(shù)達(dá)到40次左右開始趨向收斂,波動(dòng)相對(duì)較平緩;在缺失率為30%時(shí),進(jìn)化次數(shù)達(dá)到50次左右開始趨向收斂,波動(dòng)不夠平緩.

在相同的缺失率下,采用樣條插值粒子群算法的系統(tǒng)性能函數(shù)收斂速度快得多.由圖4f、圖5f、圖6f和圖7f可知,在缺失率為5%時(shí),采用樣條插值法粒子群算法的系統(tǒng)性能指標(biāo)Pbest只需要20次左右就開始趨于收斂,性能函數(shù)的最大值只有110,收斂于6.420 2;采用無(wú)插值最小二乘遺傳遞推算法的系統(tǒng)性能指標(biāo)J需要60次左右才開始趨于收斂,性能函數(shù)的最大值接近3 400,收斂于2.291 671 2e＋002.但是隨著缺失率的增大,不管是樣條插值粒子群算法還是無(wú)插補(bǔ)最小二乘遺傳遞推算法,插補(bǔ)后系統(tǒng)的性能指標(biāo)的收斂速度都漸漸降低,性能指標(biāo)的最大值都越來越大,同時(shí)最終收斂的值也隨之變大.如采用樣條插值粒子群算法的系統(tǒng),在缺失率為10%時(shí),系統(tǒng)的性能指標(biāo)Pbest的最大值只有130,收斂于26.687 9;在缺失率為20%時(shí),系統(tǒng)的性能指標(biāo)J的最大值達(dá)到190,收斂于66.544 3.

4 結(jié)論

通過仿真圖及仿真數(shù)據(jù)可以直觀地看出,對(duì)于不完備信息系統(tǒng),在相同的數(shù)據(jù)缺失率下,樣條插值法可以實(shí)現(xiàn)較好的插補(bǔ)效果.在缺失率達(dá)到較高的數(shù)值時(shí),樣條插值法依然能夠?qū)崿F(xiàn)有價(jià)值的插補(bǔ)作用,從而使得該系統(tǒng)的參數(shù)得以較準(zhǔn)確地估計(jì).但是在缺失率增加到一定值時(shí),由辨識(shí)參數(shù)的圖形和大小以及系統(tǒng)的性能函數(shù)可知,該插補(bǔ)法已無(wú)法較精確地模擬完整數(shù)據(jù)的系統(tǒng).文章主要討論的是不同缺失率下樣條插值粒子群算法對(duì)系統(tǒng)參數(shù)的估計(jì)問題.樣條插值法是一種應(yīng)用較為廣泛的插補(bǔ)法,但將其運(yùn)用在需要辨識(shí)參數(shù)的系統(tǒng)中還較少.為了進(jìn)一步探討樣條插值法的適用價(jià)值,可以在缺失率更高時(shí)采取其他的辨識(shí)方法,來實(shí)現(xiàn)更精確的參數(shù)估計(jì).

[1] 劉黨輝,蔡遠(yuǎn)文,蘇永芝,等.系統(tǒng)辨識(shí)方法及應(yīng)用[M].北京:國(guó)防工業(yè)出版社,2010.

[2] 金勇進(jìn),邵軍.缺失數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)處理[M].北京:中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社,2009.

[3] 陳浩,華燈鑫,張毅坤,等.基于三次樣條函數(shù)的激光雷達(dá)數(shù)據(jù)可視化插值法[J].儀器儀表學(xué)報(bào),2013,34(4):831-837.

[4] R J A Little,D B Rubin.Statistical analysis with missing data[M].U.S.A:Wiley&Sons,2002.

[5] U Nur,N T Longford,J E Cade,et al.The impact of handling missing data on alcohol consumption estimates in the UK wemon cohort study[J].Eur J Epidemiol,2009,24(1):589-595.

[6] H Zhong.The impact of missing data in the estimation of concentration index:a potential source of bias[J].Eur J Heslth Econ,2010,11(1):255-266.

[7] 林東方,宋迎春,金昊.不完全測(cè)量數(shù)據(jù)的EM處理算法[J].大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué),2011,31(4):112-115.

[8] R Pintelon,J Schoukens.Identification of continuous-time systems with missing data[J].Instrumentation and Measurement,IEEE Transactions on,1999,48(3):736-740.

[9] 譚彥華,李洪興,馬秀娟,等.B樣條函數(shù)在模糊系統(tǒng)中的應(yīng)用[J].控制理論與應(yīng)用,2013,30(11):1 445-1 456.

[10]張曉丹,邵帥,劉欽圣.基于樣條函數(shù)的光滑支持向量機(jī)模型[J].北京科技大學(xué)學(xué)報(bào),2012,34(6):718-725.

[11]高尚,湯可宗,蔣新姿.粒子群優(yōu)化算法收斂性分析[J].科學(xué)技術(shù)與工程,2006,6(12):1 625-1 627.

[12]杜大軍,商立立,漆波,等.一種不完全信息下遞推辨識(shí)方法及收斂性分析[J].自動(dòng)化學(xué)報(bào),2015,41(8):1 502-1 515.

[13]侯媛彬,汪梅,王立琦.系統(tǒng)辨識(shí)及其MATLAB仿真[M].北京:科學(xué)出版社,2004.

[14]S Rhode,F Gauterin.Online estimation of vehicle driving resistance parameters with recursive least squares and recursive total least squares[J].Intelligent Vehicles Symposium(IV),2013 IEEE,2013,10(1109):269-276.

Parameter estimation for the incomplete information system based on spline interpolation

LI Zhen1,WEI Li-sheng1?,CHENG Yun-chang2
(1.College of Electrical Engineering,Anhui Polytechnic University,Wuhu 241000,China; 2.State Grid Huoqi County Electric Power Supply Company,Luan 237400,China)

In this issue,a recognition and interpolation method of parameter in an incomplete information system was discussed.Firstly,made the data lost on a certain time by sorting the input signals in the order of time after adding timestamp on each of them.The missing message was supplemented adaptively using spline interpolating,which means the data was supplemented adaptively using linear spline interpolating when one output signal was lost,using the cubic interpolating when two or more output signals were lost.Based on these,the parameter was precisely estimated by particle swarm optimization in the interpolation system.Finally,the precision and effectiveness of the parameter estimation in different missing rates was verified by the method of MATLAB simulation experiment.

incomplete information;spline interpolating;particle swarm optimization;parameter estimation

TP273

A

1672-2477(2015)05-0069-09

2015-09-24

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61203033、61172131、61271377)

李 珍(1989-),女,安徽樅陽(yáng)人,碩士研究生.

魏利勝(1978-),男,安徽巢湖人,副教授,博士.