關(guān)于胡克定律和彈簧問題的分析

王飛

高中物理教材中彈簧模型是一個(gè)重要的模型，在中學(xué)階段，凡涉及的彈簧都不考慮其質(zhì)量，稱之為“輕彈簧”，是一種常見的理想化物理模型.彈簧在彈性限度內(nèi)遵從胡克定律，彈簧發(fā)生彈性形變時(shí)，彈力的大小F跟彈簧伸長（或縮短）的長度x成正比，即：F=kx，式中k叫做彈簧的勁度系數(shù)，單位是牛頓每米，符號是N/m.

關(guān)于胡克定律的理解要注意以下幾點(diǎn)：

1.胡克定律的成立是有條件的，彈簧要發(fā)生“彈性形變”，即在彈性限度內(nèi)才適用.

2.表達(dá)式中的x是彈簧的形變量，是彈簧伸長（或縮短）的長度，而不是彈簧的原長，也不是彈簧形變后的長度.

3.表達(dá)式中的勁度系數(shù)k，反映了彈簧的“軟”“硬”程度，其大小與彈簧的材料、形狀、長度有關(guān).

4.由于彈簧的形變量x常以“cm”為單位，而勁度系數(shù)k又往往以“N/m”為單位，在應(yīng)用公式時(shí)要注意將各物理量的單位統(tǒng)一.

5.胡克定律的另一種表達(dá)形式：設(shè)勁度系數(shù)為k的彈簧，在形變量為X1、x2時(shí)產(chǎn)生的彈力分別為F1、F2，則根據(jù)胡克定律F=kx，有，兩式相減，有，即△F=k△x.上式表明：彈簧發(fā)生彈性形變時(shí)，彈力的變化△F與彈簧長度的變化△x成正比.

彈簧的彈力是一種由形變而決定大小和方向的力.當(dāng)題目中出現(xiàn)彈簧時(shí)，要注意彈力的大小與方向時(shí)刻要與當(dāng)時(shí)的形變相對應(yīng).在題目中一般應(yīng)從彈簧的形變分析人手，先確定彈簧原長位置、現(xiàn)長位置，找出形變量x與物體空間位置變化的幾何關(guān)系，分析形變所對應(yīng)的彈力大小、方向，以此來分析計(jì)算物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的可能變化，

例1 如圖1所示，四個(gè)完全相同的彈簧都處于水平位置，它們的右端受到大小皆為F的拉力作用，而左端的情況各不相同：①中彈簧的左端固定在墻上，②中彈簧的左端受大小也為F的拉力作用，③中彈簧的左端拴一小物塊，物塊在光滑的桌面上滑動(dòng)，④中彈簧的左端拴一小物塊，物塊在有摩擦的桌面上滑動(dòng).若認(rèn)為彈簧的質(zhì)量都為零，以依次表示四個(gè)彈簧的伸長量，則有（）

解析 無論彈簧的左端情況怎樣，輕彈簧的兩端拉力總相等.設(shè)彈簧兩端拉力分別為F、F，則F-F=ma，輕彈簧的質(zhì)量為0，因此ma=0，即F=F.且此拉力等于彈簧的彈力，則根據(jù)胡克定律得到四個(gè)彈簧應(yīng)該是，所以四個(gè)彈簧一樣長.所以選擇D選項(xiàng).

例2 如圖2示，兩木塊的質(zhì)量分別為m1和m2，兩輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù)分別為k1和k2，上面木塊壓在上面的彈簧上（但不拴接），整個(gè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài).現(xiàn)緩慢向上提上面的木塊，直到它剛離開上面彈簧，在這過程中下面木塊移動(dòng)的距離為（）

解析 題中空間距離的變化，要通過彈簧形變量的計(jì)算求出.注意緩慢上提，說明整個(gè)系統(tǒng)處于一動(dòng)態(tài)平衡過程，直至m1離開上面的彈簧.開始時(shí)，下面的彈簧被壓縮，比原長短，而m.剛離開上面的彈簧，下面的彈簧仍被壓縮，比原長短，因而m2移動(dòng)的距離，所以選C.

例3 量得一只彈簧測力計(jì)3N和5N兩刻線之間的距離為2.5㎝，求：

（1）這只彈簧測力計(jì)所用彈簧的勁度系數(shù)：

（2）這只彈簧測力計(jì)3N刻線與零刻線之間的距離.

解析 （1）根據(jù)

（2）由.得

點(diǎn)撥 F=kx是胡克定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，F(xiàn)與x的關(guān)系還可以用圖象來描述，橫軸為白變量x，縱軸為因變量F，其圖象是一條過原點(diǎn)的直線，如圖3所示，圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)（x，F(xiàn)）反映彈簧的一個(gè)工作狀態(tài)，所以這一條直線是彈簧所有狀態(tài)的集合，直線的斜率反映了彈簧的勁度系數(shù)，從圖象還可以看到：F與x對應(yīng)，△F與△x對應(yīng)，彈簧的勁度系數(shù)可用計(jì)算，也可用計(jì)算，這樣使胡克定律的應(yīng)用變得更加靈活.

例4 如圖4所示為一輕質(zhì)彈簧的長度和彈力大小的關(guān)系圖象，根據(jù)圖象判斷，下列結(jié)論正確的是（）

A.彈簧的勁度系數(shù)為1N/m

B.彈簧的勁度系數(shù)為100N/m

C.彈簧的原長為6cm

D.彈簧伸長0.2m時(shí)，彈力的大小為4N

y解析 圖線與橫軸交點(diǎn)為彈簧原長，即原長為6cm；勁度系數(shù)為直線斜率；彈簧伸長0.2m時(shí)，彈力F=kx=100×0.2N=20N.所以選項(xiàng)B、C正確.

例5 如圖5所示，光滑斜面傾角為θ=30°，一個(gè)重20N的物體在斜面上靜止不動(dòng).輕質(zhì)彈簧原長為10cm，現(xiàn)在的長度為6cm.

（1）求彈簧的勁度系數(shù)；

（2）若斜面粗糙，將這個(gè)物體沿斜面上移6 cru（彈簧與物體相連），物體仍靜止于斜面上，求物體受到的摩擦力的大小和方向.

解析 （1）對物體受力分析，受到重力、支持力、彈簧的彈力F，則有：mgsinθ=F，此時(shí)F=kx聯(lián)立代人數(shù)據(jù)得：k=250N/m

（2）物體上移，則摩擦力方向沿斜面向上，此時(shí)重力的分力加上彈簧的彈力等于物體受到沿斜面向上的摩擦力.有：F_f=mgsinθ+F此時(shí)F=kx₂=5N，代人上式得F_f=15N，方向沿斜面向上.