長壽互換的運(yùn)行機(jī)制與定價(jià)模型

謝世清

(北京大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，北京 100871)

引言

近半個(gè)世紀(jì)以來，科技進(jìn)步和經(jīng)濟(jì)發(fā)展使得人們的生活水平日益提高，世界人口的年齡分布正發(fā)生著深刻變化，死亡率持續(xù)下降，逐步走向人口老齡化，并導(dǎo)致了系統(tǒng)性的長壽風(fēng)險(xiǎn)。對個(gè)體而言，可通過社會養(yǎng)老保險(xiǎn)或年金來減輕生存期延長帶來的財(cái)務(wù)壓力。但對提供此類服務(wù)的年金保險(xiǎn)公司而言，在投保群體中系統(tǒng)性存在的長壽風(fēng)險(xiǎn)難以通過大數(shù)法則進(jìn)行分散。為吸收長壽風(fēng)險(xiǎn)的最終損失，年金保險(xiǎn)公司需保證一定數(shù)量的經(jīng)濟(jì)資本，但經(jīng)濟(jì)資本占用將損害保險(xiǎn)公司的盈利能力。因此，系統(tǒng)性長壽風(fēng)險(xiǎn)仍是年金保險(xiǎn)公司亟待解決的問題。

近年來，長壽風(fēng)險(xiǎn)證券化已成為長壽風(fēng)險(xiǎn)管理領(lǐng)域中的重要創(chuàng)新，是壽險(xiǎn)證券化中頗為活躍的領(lǐng)域。尤其是2008年國際金融危機(jī)后，在國際市場上不斷涌現(xiàn)出一些新產(chǎn)品，如長壽債券、長壽互換和q遠(yuǎn)期合約等衍生品。其中，長壽互換是指一種交易雙方基于目標(biāo)人群未來實(shí)際生存率和預(yù)期生存率之間的差異定期交換現(xiàn)金流的合約，是一種重要的長壽風(fēng)險(xiǎn)證券化產(chǎn)品。與長壽債券相比，長壽互換有著交易成本低、操作簡捷、靈活性高等優(yōu)勢，因此在金融市場具有較強(qiáng)的吸引力。

目前國外對長壽互換的研究主要集中在兩個(gè)方面：首先，在運(yùn)行機(jī)制上，Lin and Cox (2005)[8]對觸發(fā)型長壽債券現(xiàn)金流進(jìn)行了調(diào)整，率先設(shè)計(jì)出帶觸發(fā)機(jī)制的長壽互換。在其基礎(chǔ)上，Dowd et al.(2006)[7]進(jìn)行了設(shè)計(jì)上的改進(jìn)，提出了普通長壽互換；其次，在定價(jià)方法上，Dowd et al.(2006)[7]、Dawson et al.(2010)[5]和Chang et al.(2010)[4]提出了對長壽風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行Wang轉(zhuǎn)換的定價(jià)解析式。國內(nèi)關(guān)于長壽互換的研究甚少，本文旨在對長壽互換的運(yùn)行機(jī)制和定價(jià)模型進(jìn)行分析，以填補(bǔ)這一領(lǐng)域的缺失。

長壽互換的市場發(fā)展

一、長壽互換的市場發(fā)展情況

2008年7月，J.P.摩根向加拿大壽險(xiǎn)公司發(fā)行了第一筆長壽互換合約。該長壽互換合約的面值為5億英鎊，有效期40年。該長壽互換與q遠(yuǎn)期合約相比有三點(diǎn)顯著區(qū)別：(1)不與市場公開發(fā)布的死亡率指數(shù)掛鉤，轉(zhuǎn)移的是加拿大壽險(xiǎn)公司英國年金業(yè)務(wù)中12萬5千人以上年金受益人實(shí)際的長壽風(fēng)險(xiǎn)；(2)不是風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值的對沖工具，而是每年的現(xiàn)金流對沖工具；(3)長壽風(fēng)險(xiǎn)通過J.P.摩根直接轉(zhuǎn)移到資本市場投資者(Blake et al., 2013)[2]。

與長壽債券市場相比，長壽互換的市場發(fā)展非常迅速。繼2008年加拿大壽險(xiǎn)公司和J.P.摩根簽訂了第一筆長壽互換合約以后，全球又進(jìn)行了多筆長壽互換交易。其中，僅在英國市場上就有6筆發(fā)行到資本市場。如表1所示，2008～2012年，英國市場上長壽互換發(fā)行面值總額達(dá)到76億英鎊。其中，最大規(guī)模面值的長壽互換發(fā)行金額高達(dá)30億英鎊，是勞斯萊斯公司2011年11月針對英國分公司養(yǎng)老計(jì)劃的長壽互換。

值得注意的是，長壽互換還有另一種再保險(xiǎn)性質(zhì)的長壽互換。第一筆再保險(xiǎn)性質(zhì)長壽互換于2007年4月發(fā)行，交易雙方為瑞士再保險(xiǎn)和英國壽險(xiǎn)公司Friends Provident，其長壽風(fēng)險(xiǎn)來自于Friends Provident在2001～2006年間簽訂的包含7萬余人、總額為17億英鎊的養(yǎng)老金合約。再保險(xiǎn)性質(zhì)的長壽互換并非真正的資本市場工具，其風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移也僅限于再保險(xiǎn)公司。限于篇幅，本文只討論將長壽風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移到資本市場的非再保險(xiǎn)性質(zhì)的長壽互換。

與長壽債券相比，長壽互換具備一些顯著優(yōu)勢：(1)長壽互換的發(fā)行成本較低，且相對更易取消；(2)作為柜臺交易的產(chǎn)品，長壽互換能按照投資者特殊的長壽風(fēng)險(xiǎn)管理需求為其“量身定做”，比債券更能適宜多變的市場環(huán)境；(3)長壽互換的發(fā)行并不依賴于有較強(qiáng)流動性的市場，其發(fā)展的動力來源于承受死亡率風(fēng)險(xiǎn)的交易雙方的相對優(yōu)勢，或交易雙方對未來死亡率不同的看法(Dowdet al., 2006)[7]。

表1 2008～2012年發(fā)行到資本市場的長壽互換 (單位：百萬英鎊)

二、市場發(fā)展的推動與障礙因素

長壽互換市場發(fā)展的推動因素主要有以下三個(gè)方面：首先，長壽互換能夠?yàn)槟杲鸨ｋU(xiǎn)公司提供多種風(fēng)險(xiǎn)管理手段：(1)不同國家或地域人群的死亡率之間的相關(guān)性較低，跨境的長壽互換能夠?qū)崿F(xiàn)對不同人群的長壽風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行多元化經(jīng)營管理；(2)不同年齡段人群對年金產(chǎn)品的需求不同，通過長壽互換可使年金保險(xiǎn)公司獲得不同年齡段的長壽風(fēng)險(xiǎn)暴露，對其死亡率期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整；(3)長壽互換還包括死亡率差額互換、跨幣種長壽互換、以非死亡率指數(shù)為標(biāo)的的長壽互換以及內(nèi)含期權(quán)的長壽互換等(Dowd et al., 2006)[7]。

第二，長壽互換也受到投資銀行等金融機(jī)構(gòu)的青睞。首先，長壽互換是基于年金保險(xiǎn)公司承受的長壽風(fēng)險(xiǎn)發(fā)展而來的金融衍生品，而目標(biāo)群體的死亡率與宏觀經(jīng)濟(jì)運(yùn)行并無顯著聯(lián)系(Beta較低)，所以金融機(jī)構(gòu)會利用長壽互換來分散風(fēng)險(xiǎn)。與此同時(shí)，投資銀行通過與保險(xiǎn)公司進(jìn)行長壽互換并同時(shí)發(fā)行死亡率債券，可獲得較高的中間利潤。所以，長壽互換受到市場金融機(jī)構(gòu)的廣泛關(guān)注。

第三，長壽互換等非標(biāo)準(zhǔn)化合約與債券等傳統(tǒng)場內(nèi)工具能相互匹配并充分管理長壽風(fēng)險(xiǎn)。首先，場內(nèi)市場交易具有流動性、交易機(jī)制設(shè)計(jì)等方面的優(yōu)勢。場內(nèi)市場可設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)化合約、設(shè)置死亡率指數(shù)，以增加合約最終使用者數(shù)量和類型，從而將各種信息和預(yù)期迅速反映到市場競爭中，提高市場透明度和風(fēng)險(xiǎn)配置效率。而場外市場可為投資者量身設(shè)計(jì)用以對沖系統(tǒng)性死亡率風(fēng)險(xiǎn)的非標(biāo)準(zhǔn)化合約，從而有效降低“基差風(fēng)險(xiǎn)”。

另一方面，長壽互換市場發(fā)展還存在三點(diǎn)障礙因素：(1)長壽互換交易屬于場外市場交易，其交易成本相比標(biāo)準(zhǔn)化的場內(nèi)交易合約而言更高；(2)長壽互換也容易產(chǎn)生一定的違約的信用風(fēng)險(xiǎn)；(3)由于長壽風(fēng)險(xiǎn)目前還難以用模型精確地刻畫，很難保證對長壽互換進(jìn)行精準(zhǔn)的建模定價(jià)，難以使互換雙方的損失與收益互惠對等。

長壽互換的運(yùn)行機(jī)制

長壽互換(longevity swaps)是針對目標(biāo)人群潛在長壽風(fēng)險(xiǎn)的雙方協(xié)議。互換雙方約定在協(xié)議到期前，基于目標(biāo)人群未來實(shí)際生存率和預(yù)期生存率之間的差異而定期交換現(xiàn)金流。Dowd et al.(2006)[7]首先提出了普通生存互換(vanilla survivor swaps)概念，通常簡稱為長壽互換(longevity swaps)，即互換一方以固定現(xiàn)金流交換另一方根據(jù)實(shí)際生存率水平?jīng)Q定的浮動現(xiàn)金流。此外，Sweeting(2007)[9]、Biffis and Blake(2009)[1]和Chang et al.(2010)[4]等也對長壽互換進(jìn)行過研究。

Lin and Cox(2005)[8]對觸發(fā)型長壽債券現(xiàn)金流進(jìn)行了調(diào)整，率先設(shè)計(jì)出帶觸發(fā)機(jī)制的長壽互換。他們首先將長壽債券中年金保險(xiǎn)公司期初支付的費(fèi)用平攤為有效期內(nèi)的一系列固定現(xiàn)金流，投資銀行每年依據(jù)實(shí)際生存率和觸發(fā)閾值來確定支付給年金保險(xiǎn)公司的實(shí)際浮動現(xiàn)金流。這樣便構(gòu)成了由固定支付與浮動支付組成的長壽互換。

在Lin and Cox(2005)[8]的研究基礎(chǔ)上，Dowd et al.(2006)[7]提出了長壽互換，其運(yùn)行機(jī)制如圖1所示：每年，年金保險(xiǎn)公司(長壽風(fēng)險(xiǎn)對沖機(jī)構(gòu))從投資銀行(長壽互換提供商)處獲得浮動現(xiàn)金流Bt，即根據(jù)年金保險(xiǎn)公司保單池真實(shí)死亡率或市場公開死亡率指數(shù)計(jì)算出來的支付額。相應(yīng)地，年金保險(xiǎn)公司每年向投資銀行支付固定額(1+π)Ht，其中，Ht為根據(jù)生命表中目標(biāo)人群的預(yù)期生存率，π為互換價(jià)格。

假設(shè)年金保險(xiǎn)公司保單池內(nèi)被保人年齡為X，人數(shù)為lx，則t年后保單池內(nèi)被保人數(shù)為lx+t，每人每年收到的年金金額為h。因此，年金保險(xiǎn)公司在保險(xiǎn)市場上每年給付給保單受益人的年金總額為lx+t×h。假設(shè)互換合約不存在基差風(fēng)險(xiǎn)，則有Bt=lx+t×h。

一般而言，互換雙方每年只交換凈現(xiàn)金流，即如果(1+π)Ht大于Bt，則年金保險(xiǎn)公司將向投資銀行支付凈現(xiàn)金流((1+π)Ht-Bt)；若(1+π)Ht小于Bt，則投資銀行將向年金保險(xiǎn)公司支付凈現(xiàn)金流(Bt-(1+π)Ht)；當(dāng)(1+π)Ht等于Bt時(shí)，該互換在t時(shí)刻凈現(xiàn)金流為零。綜合考慮年金保險(xiǎn)公司在保險(xiǎn)市場和長壽互換中的各現(xiàn)金流，可得每年總凈現(xiàn)金流出為：lx+t×h+(1+π)Ht-Bt=(1+π)Ht。

圖1 長壽互換的運(yùn)行機(jī)制

上式中，(1+π)Ht在期初互換協(xié)議簽訂時(shí)便已確定。由此可見年金保險(xiǎn)公司通過長壽互換可使每年的總凈現(xiàn)金流出確定，避免了隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn)，從而能夠?qū)﹂L壽風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行對沖。若在一定時(shí)期內(nèi)目標(biāo)人群的壽命大于預(yù)期水平，年金保險(xiǎn)公司雖然因原始保險(xiǎn)市場上的年金支付金額增加遭受損失，但可被與此同時(shí)在長壽互換上的收益所對沖。因此，該長壽互換可以使年金保險(xiǎn)公司對其所面臨的長壽風(fēng)險(xiǎn)實(shí)現(xiàn)長期而又“量身定做”的對沖。

然而，長壽互換中年金保險(xiǎn)公司承擔(dān)著基差風(fēng)險(xiǎn)。如果浮動現(xiàn)金流與市場指數(shù)掛鉤，而不是由保單池真實(shí)生存率決定，即Bt往往不等于lx+t×h。若保單池真實(shí)生存率高于市場同期水平，年金保險(xiǎn)公司則不能對沖所有長壽風(fēng)險(xiǎn)。因此，如何對基差風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行有效的測量和控制對長壽互換市場的發(fā)展十分重要。Sweeting(2007)[9]在給互換定價(jià)時(shí)考慮了基差風(fēng)險(xiǎn)，并認(rèn)為當(dāng)標(biāo)的保單的被保人壽命不小于市場指數(shù)相關(guān)人群的壽命時(shí)，基差風(fēng)險(xiǎn)將很小。

值得注意的是，長壽互換與金融市場上的利率互換類似，兩者都是固定現(xiàn)金流和浮動現(xiàn)金流進(jìn)行交換，但兩者存在著以下三點(diǎn)差異：(1)利率互換的固定現(xiàn)金流數(shù)額在到期日前通常保持不變，但長壽互換的固定現(xiàn)金流數(shù)額通常隨著時(shí)間推移由于預(yù)期年金支付額的減少而下降(見圖2)；(2)與利率互換浮動現(xiàn)金流掛鉤的市場指數(shù)一般是市場利率指數(shù)(如LIBOR)，而與長壽互換浮動現(xiàn)金流掛鉤的市場指數(shù)一般是死亡率指數(shù)；(3)由于貨幣市場流動性高、利率期限結(jié)構(gòu)完整，所以可用無套利方法對利率互換進(jìn)行定價(jià)，而長壽互換市場是不完整的，基本不用該法對其進(jìn)行定價(jià)(Dowd et al., 2006)[7]。

圖2 長壽互換現(xiàn)金流示意圖 (單位：百萬美元)

長壽互換的定價(jià)模型

金融市場中的利率互換可以采用資本資產(chǎn)定價(jià)模型(CAPM)和無套利方法進(jìn)行定價(jià)。但由于長壽互換市場的不完全性，這兩種定價(jià)方法并不適用于長壽互換。目前，國外學(xué)者主要采用Wang轉(zhuǎn)換定價(jià)法(Lin and Cox,2005; Dowd et al., 2006; Chang et al., 2010)[8][7][4]和風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法(Cairns et al., 2006; Dawson et al., 2010; Deng et al., 2012)[3][5][6]對長壽互換和長壽q遠(yuǎn)期合約進(jìn)行定價(jià)。本文采用單因子Wang轉(zhuǎn)換定價(jià)法推導(dǎo)長壽互換的具體定價(jià)解析式。

一、Wang轉(zhuǎn)換方法

首先，闡述單因子Wang轉(zhuǎn)換定價(jià)方法。Wang(2000)[10]假設(shè)FX(x)=Pr(X≤x)是隨機(jī)變量的累積概率分布函數(shù)，0≤FX(x)≤1，λ為風(fēng)險(xiǎn)的市場價(jià)值，Φ(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積概率分布函數(shù)，則單因子Wang轉(zhuǎn)換算子為：

其中，λ能夠根據(jù)市場上可交易的金融資產(chǎn)的價(jià)格進(jìn)行計(jì)算。假設(shè)壽險(xiǎn)年金市場中第t年的生存率的隨機(jī)分布為pt，記F(pt)為其累積概率分布函數(shù)，則通過Wang轉(zhuǎn)換后的生存率累積概率分布函數(shù)為：

二、服從OU過程的生存指數(shù)模型

其次，采用帶Ornstein-Uhlenbeck(OU)跳過程的死亡率序列來刻畫生存指數(shù)(尚勤，2008)[11]。假設(shè)隨機(jī)計(jì)數(shù)過程N(yùn)是雙隨機(jī)的，強(qiáng)度為λ(與前文中的風(fēng)險(xiǎn)市場價(jià)值不同)，則Ns-Nt服從參數(shù)為的泊松分布。假設(shè)期初壽命為x的人群的未來壽命Tx服從強(qiáng)度為λx的雙隨機(jī)停時(shí)，即強(qiáng)度為λx的隨機(jī)計(jì)數(shù)過程N(yùn)的首次跳躍時(shí)刻為Tx，且當(dāng)時(shí)Tx＞t,Nt=0，當(dāng)Tx≤t,時(shí)，Nt＞0，則生存函數(shù)可寫為：

再設(shè)λx服從帶跳的OU過程，即：

其中，W(t)是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動；J(t)是純復(fù)合泊松跳躍過程，泊松到達(dá)強(qiáng)度為l＞0，跳躍幅度服從均值為μ＜0的指數(shù)分布，且布朗運(yùn)動、泊松過程以及指數(shù)分布彼此相互獨(dú)立。

在λx服從具有上述特征的分布的基礎(chǔ)上，根據(jù)式(4)，生存概率t Px可以表述為：

其中，A(t)和B(t)需要通過解下列常微分方程組得出：

當(dāng)邊界條件為A(0)=0，B(0)=0時(shí)，求解可得：

這樣，生存概率t px可以進(jìn)一步表述為：

三、長壽互換定價(jià)解析式

最后，根據(jù)年金保險(xiǎn)公司在長壽互換中的現(xiàn)金流特征來計(jì)算長壽互換的價(jià)格。借鑒Dowd et al.(2006)[7]的研究，年金保險(xiǎn)公司對投資銀行每年支付固定金額(1+π)Ht，其現(xiàn)值為年金保險(xiǎn)公司從投資銀行每年獲得浮動金額Bt，其現(xiàn)值為為第t年的貼現(xiàn)因子?；Q協(xié)議在簽訂之初對互換雙方的價(jià)值均為零，所以固定現(xiàn)金流現(xiàn)值必須與浮動現(xiàn)金流現(xiàn)值相等，即因此，可得到長壽互換的價(jià)格π為：

不難看出，通過式(10)求解互換價(jià)格π的關(guān)鍵在于推導(dǎo)出經(jīng)過Wang轉(zhuǎn)換后的浮動現(xiàn)金流的期望值E*(Bt)，以下借鑒Lin and Cox(2005)[8]的研究，在長壽互換的現(xiàn)金流交換機(jī)制中加入生存率閾值這一觸發(fā)條件，對E*(Bt)進(jìn)行推導(dǎo)：

假設(shè)lx+1為x歲的目標(biāo)人群第t年的實(shí)際隨機(jī)生存概率；Xt為第t年生存率閾值，并假定有一個(gè)確定的生存率上限C。同時(shí)，假設(shè)年金保險(xiǎn)公司出售的n份年金保單每份的年支付額m相同，所以當(dāng)前所有年金支付總額為I=m×n，則可知年金保險(xiǎn)公司在第t年的年金支付額為I×lx+1。當(dāng)?shù)趖年的實(shí)際生存率lx+1大于閾值Xt時(shí)，年金保險(xiǎn)公司根據(jù)互換協(xié)議從投資銀行獲得超出觸發(fā)條件的年金支付額；當(dāng)?shù)趖年的實(shí)際生存率lx+1達(dá)到并超過上限C時(shí)，年金保險(xiǎn)公司可以獲得一個(gè)固定的數(shù)額。

借鑒Lin and Cox(2005)[8]的研究，年金保險(xiǎn)公司第t年從投資銀行獲得的浮動現(xiàn)金流Bt可表達(dá)為：

將上式右邊的I移到左邊，即可得到：

對上式兩邊求期望可得：

其中，lx+t為隨機(jī)數(shù)，服從初始生存率lx與未來生存率t px的二項(xiàng)分布，由于lx是確定數(shù)值，因此lx+t的隨機(jī)性來自于式(10)的t px。因此式(13)中的結(jié)果取決于經(jīng)過Wang轉(zhuǎn)換后的生存率即根據(jù)中心極限定理可知，當(dāng)lx很大時(shí)lx+t的隨機(jī)分布無限趨近正態(tài)分布。因此，當(dāng)lx很大時(shí)，

由于給定隨機(jī)變量X，且E(X)＜+∞，則有：

其中，F(xiàn)(x)=Pr(X≤x)。假設(shè)X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則式(14)可改寫為：

φ(k)和Φ(k)很容易計(jì)算，并且由于lx+t近似服從正態(tài)分布近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。因此，利用式(16)和經(jīng)過Wang轉(zhuǎn)換后的參數(shù)μ*和σ*便能計(jì)算出

因此，將式(17)和式(18)代入式(13)整理可得第t年浮動現(xiàn)金流Bt經(jīng)過Wang轉(zhuǎn)換后的期望值為：

最后，將式(19)代入式(10)可得到長壽互換的價(jià)格為：

結(jié)語

長壽互換是一種雙方協(xié)議，互換雙方針對未來長壽風(fēng)險(xiǎn)規(guī)定一次性或定期交換現(xiàn)金流，并且至少有一方的現(xiàn)金支付額是變動的。通過觸發(fā)機(jī)制，年金保險(xiǎn)公司采用長壽互換可以有效地對沖所面臨的長壽風(fēng)險(xiǎn)，從而能提高年金保險(xiǎn)公司的承保能力。對長壽互換進(jìn)行準(zhǔn)確的定價(jià)，對長壽互換市場的發(fā)展至關(guān)重要。由于長壽互換市場的不完全性，不能采用傳統(tǒng)金融工具的資本資產(chǎn)模型和無套利方法進(jìn)行定價(jià)。目前國際上對長壽互換定價(jià)研究集中于不完全市場定價(jià)法——Wang轉(zhuǎn)換定價(jià)法和風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法。

目前我國人口的平均壽命不斷延長，人口老齡化問題日益嚴(yán)重。我國社保基金已出現(xiàn)大規(guī)模的虧空，延遲退休年齡或成為必然的選擇。而壽險(xiǎn)公司也將面臨養(yǎng)老年金產(chǎn)品支付期大大延長的長壽風(fēng)險(xiǎn)。如何提高壽險(xiǎn)公司的長壽風(fēng)險(xiǎn)管理能力，成為了亟待解決的重要問題。與長壽債券相比，長壽互換有一定的獨(dú)特優(yōu)勢。因此如何開發(fā)適合我國國情的長壽互換產(chǎn)品，對于我國具有重大現(xiàn)實(shí)意義。本文系統(tǒng)分析了長壽互換的運(yùn)行機(jī)制與定價(jià)方法，希望能夠引起國內(nèi)業(yè)界和學(xué)術(shù)界對長壽互換的關(guān)注與研究。